Получите доступ к огромной базе учебных материалов на каждый урок с возможностью удалённого управления...

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Была в сети 21.04.2024 10:06

Таирова Эльвира Наильевна

учитель математики

35 лет

942

51 761

Подписчики

Подписки

Местоположение

Россия, Ульяновск

Специализация

Информатика

Математика

Завучу

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Решение задач на максимум и минимум

Категория: Алгебра

23.04.2018 05:34

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Учебник. Колмогоров А.Н. и др. (2008, 384с.)

Тема: 24. Примеры применения производной к исследованию функции .... 151

Класс: 11

Предмет: алгебра и начала математического анализа

Тема урока: «Задачи на максимум и минимум»

Тип урока Комбинированный.

Основные методы: методы организации учебно-познавательной деятельности (репродуктивный, частично-поисковый), методы стимулирования и мотивации (создание ситуации успеха, опора на жизненный опыт, выполнение творческих заданий).

Основные формы организации познавательной деятельности: фронтальная, парная, индивидуализированная, групповая.

Оборудование: мультимедийная установка и презентация к уроку, листы на печатной основе для каждого ученика.

Просмотр содержимого документа
«карточки для учащихся»

Лист на котором работали дети.

Задачи на максимум или минимум.

Если знать алгоритм решения задач на максимум и минимум, то, по словам русского математика Пафнутия Львовича Чебышева, мы можем «располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды».

Таблица оценок

На каждом этапе оценивай свою работу и по команде учителя, оценку заноси В таблицу:

Этап урока	Теоретический опрос	Задача Дидоны	Физические задачи	Итоговая оценка
Оценка
Настроение

1. Теоретический опрос.

Задание. Установи соответствие с помощью стрелок между началом и концом утверждения. Ниже в таблице под номером вопроса поставь только выделенную букву.

1. Если точка х₀ является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то		точка, в которой производная равна нулю или её не существует.
2. Путь точка движется по закону s=s(t), тогда		функция f(x) убывает на I.
3. Критической точкой функции f(х)на отрезке называется		она равна нулю.
4. Если производная функции меньше нуля в каждой точке интервала I, то		х₀ точка максимума
5. Если в точке х₀ производная меняет знак с минуса на плюс, то		функция f(x) возрастает на I
6. Если в точке х₀ производная меняет знак с плюса на минус , то		первая производная определяет скорость точки, а вторая производная определяет ускорение точки в момент времени t
7. Если производная функции больше нуля и каждой точке интервала I. то		х₀ точка минимума

Таблица получившихся ответов

1	2	3	4	5	6	7

Взаимооценка Поставь «5», если ответил на все вопросы правильно; «4», если ответил на 6 вопросов, «3», если ответил на 5 вопросов.

Каково настроение? Отметь в таблице оценок и не забывай это делать на каждом этапе

3 этап. Задача Дидоны.

Согласно легенде, Дидона – первая царица и основательница Карфагена вместе со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей землю для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура. Хитроумная Дидона разрезала воловью шкуру на узкие ремешки и, разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь прямоугольной формы, примыкающую к берегу моря. Какие размеры должен иметь прямоугольник, если длина линии из ремешков получилась 16 километров?

Подсказка. Алгоритм решения задач на максимум и минимум.

1. Задачу «переводим» на язык функций. Для этого выбираем удобный параметр х, через который интересующую величину выражаем как функцию от х.

2. Находим наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке.

3. Интерпретируем найденный результат («переводим» с языка математики на язык первоначальной задачи)

Составь математическую модель задачи и реши совместно в группе.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Какую оценку ты ставишь себе за решённую задачу?

4 этап Физическая задача

Уровень А:

Материальная точка движется по прямой согласно закону s(t)= 12t²-2⁄3t³, где s(t)- путь в метрах и t – время в секундах. В какой момент времени из промежутка [4;10] скорость движения точки будет наибольшей?

Уровень Б:

Путь точки, движущейся прямолинейно, изменяется по закону s(t)=t⁴⁄24-2t^3., где s(t)- путь в метрах и t – время в секундах. В какой момент времени из промежутка [10;50] ускорение движения точки будет наименьшей?

Какую оценку ты ставишь себе за решённую задачу?

5. Рефлексия

«Я» - как чувствовал себя, с каким настроением работал, доволен ли собой.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

«МЫ» - комфортно ли было работать, какие затруднения были в работе.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

«ДЕЛО» - достиг ли цели учения, какие затруднения возникли, как преодолевали трудности.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Домашнее задание.

Найти и решить задачи на максимум и минимум :

1 группа в химии

2 группа в физике,

3 группа в медицине,

4 группа в биологии.

Если не найдёте не расстраивайтесь, а просто выполните №5.99

Просмотр содержимого документа
«конспект урока»

Конспект урока выполнила учитель МБОУ Первомайской СШ Таирова Э.Н.

Класс: 11

Предмет: алгебра и начала математического анализа

Тема урока: «Задачи на максимум и минимум»

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Учебник. Колмогоров А.Н. и др.

Триединая дидактическая цель:

1. Обучающая. Овладение системой знаний и умений:

Знания. Ученик должен знать определение максимума и минимума функции на отрезке, точек максимума и минимума, второй производной, алгоритм решения задач на максимум и минимум.
Понимания. Ученик должен понимать достаточный признак возрастания и убывания функции, признак максимума и минимума функции; значение идей, методов и результатов математического анализа для построения моделей реальных ситуаций.
Применение Ученик должен уметь решать задачи на нахождение наибольшего значения функции на промежутке.
Использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для решения прикладных задач на наибольшее и наименьшее значение с применением аппарата математического анализа.

2. Интеллектуальное развитие. Создать условия для развития логического мышления, алгоритмической культуры, развития математического мышления и интуиции.

3. Воспитание. Способствовать воспитанию средствами математики культуры личности: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.

Формирование общеучебных умений и навыков. Создать условия для совершенствования опыта: поисковой деятельности, работы с текстом, планирования и осуществления алгоритмической деятельности; построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач; проверки и оценки своей работы, соотнесения их с поставленной задачей.

Тип урока Комбинированный.

Организационная форма

Планирование структуры и содержания учебного занятия:

Задача этапа учебного занятия

Деятельность

Планируемый результат

учителя

учащихся

1.Организационно-мотивационный

1. Раскрыть цели и план работы

2. Обеспечить психологический настрой

-На прошлом уроке мы узнали, что такое задачи на максимум и минимум, усвоили алгоритм решения таких задач, а сегодня на уроке мы дадим ответ на вопрос: Прав ли был Лобачевский, когда сказал, что «Нет ни одной области математики, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира»?

-Как из круглого бревна выпилить прямоугольную балку с наименьшим количеством отходов? Каких размеров должен быть ящик, чтобы при заданном расходе материала его объём был наибольший? В каком месте следует построить мост через реку, чтобы дорога, проходящая через него и соединяющая два города, была кратчайшей?

Какое название получили эти задачи в математике?

- Если знать алгоритм решения этих задач, то, по словам русского математика Пафнутия Львовича Чебышева, мы можем «Располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды», но до 17 века этот алгоритм был неизвестен.

Задачи, где требуется определить условия, при которых некоторая величина принимает наибольшее или наименьшее значение, называют задачами на экстремум или задачами на максимум или минимум

Задачи на максимум и минимум.

Учащиеся принимают цели урока

2. Этап всесторонней проверки знаний

1. Выявить уровень знаний, умений учащихся, пробелы в знаниях.

2. Устранить обнаруженные пробелы.

3. Организовать самостоятельную работу учащихся

Сейчас каждый из вас самостоятельно вспомнит теоретический материал и при необходимости устранит обнаруженные пробелы.

На листе найдите первое задание: Установи соответствие с помощью стрелок между началом и концом утверждения. Ниже в таблице под номером вопроса поставь только выделенную букву.

1. Если точка х₀ является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то		точка, в которой производная равна нулю или её не существует.
2. Путь точка движется по закону s=s(t), тогда		функция f(x) убывает на I.
3. Критической точкой функции f(х)на отрезке называется		она равна нулю.
4. Если производная функции меньше нуля в каждой точке интервала I. то		Х₀ точка максимума
5. Если в точке х₀ производная меняет знак с минуса на плюс, то		функция f(x) возрастает на I
6. Если в точке х₀ производная меняет знак с плюса на минус , то		первая производная определяет скорость точки, а вторая производная определяет ускорение точки в момент времени t
7. Если производная функции больше нуля и каждой точке интервала I. то		Х₀ точка минимума

Осуществляется взаимопроверка. Ставится оценка за работу на этом этапе.

Выполняют задание, осуществляют взаимопроверку.

Проверены знания, установлены пробелы в их усвоении. Приняты меры по ликвидации пробелов за счёт оптимального сочетания контроля учителя, и взаимоконтроля

3. Усвоение новых знаний.

1. Обеспечить восприятие, осмысление и запоминание изучаемого материала.

Мы получили фамилию великого учёного математика Лейбница не случайно. В 17 веке произошла математическая революция. Произошёл переход от элементарной математики к математическому анализу, предметом изучения которого является функция. Эту революцию свершили два величайших ума независимо друг от друга, один из них Готфрид Лейбниц, а о другом мы узнаем позже. В чём заслуга этих учёных? Ответ мы найдём после работы в группах. Задание: Прочитайте текст и ответьте на вопрос.

Зарождение математического анализа

Официальным годом рождения дифференциального исчисления считают 1684 год, тогда была опубликована первая печатная работа, в которой излагаются основные понятия и методы дифференциального исчисления. Это была знаменитая статья Лейбница «Новый метод максимумов и минимумов...». В ней Лейбниц изложил условия для экстремумов, сформулировал признаки возрастания и убывания, применил свой метод для большого числа задач.

Научные интересы Лейбница были разнообразны. Он внёс вклад не только в математику, но и физику, философию, лингвистику, психологию, биологию, был известным политиком и дипломатом. По его инициативе был создан научный журнал, он организовал Академию наук в Берлине, Встречался с Петром I, по его плану была создана Петербургская Академия наук.

Во время поездки в Лондон он познакомился с Ньютоном. В последствие вел с ним переписку. Независимо друг от друга оба этих ученых пришли к дифференциальному исчислению. Но символика Лейбница оказалась более удобной, чем знаки, предложенные Ньютоном, ею пользуются по сей день.

Ньютон на 11 лет раньше создал дифференциальные исчисления. В шестидесятые годы семнадцатого столетья, чтобы исследовать и выражать законы физики, Ньютону приходилось заниматься математикой. Свои результаты он изложил в трактате «Метод флюксий и бесконечных рядов»

ВОПРОС 1 группе: Какое отношение Лейбниц имеет к выражению «Новый метод максимумов и минимумов»?

ВОПРОС 2 группе: Как связаны с именем Лейбница Эпоха просвещения, Петр I. страна Россия?

ВОПРОС 3 группе: Что связывало Ньютона и Лейбница?

ВОПРОС 4 группе: Чему был посвящён трактат Ньютона и как он назывался?

Оцени себя по критерию участия в работе.

В группе добывают знания, Активно участвуют в подведении итогов работы.

Правильность и осознанность выполнения работы по овладению знаниями

4. Этап применения знаний

Закрепить способы действий

Применение в геометрии

В вышеназванной работе Лейбниц рассмотрел решение единым методом задач на максимум и минимум, в том числе и геометрических. Самая древняя задача на экстремум изложена в «Началах» Евклида: какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Такие задачи называли изопериметрическими или задачами Дидоны.

Согласно легенде, Дидона – царица и основательница Карфагена, со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей землю для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура.

Хитроумная Дидона разрезала воловью шкуру на узкие ремешки и, разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь прямоугольной формы, примыкающую к берегу моря. Какие размеры должен иметь прямоугольный участок, если длина линии из ремешков получилась 16 километров?

-Вспомним алгоритм решения задач на максимум и минимум.

Составьте модель задачи и решите её в группе.

Проверка на слайде.

Применение в физике

Пришло время сказать и о заслуге второго учёного Ньютона. В отличие от Лейбница он не любил делиться своими открытиями и многие его научные труды стали известны только после смерти. В своей работе «Метод флюксий и бесконечных рядов» Ньютон описал все физические процессы с помощью производных. Ньютон открыл, что производная – это скорость изменения функции. В частности это выражено в физическом смысле первой и второй производной.

Давайте вспомним физический смысл производной.

А теперь решим самостоятельно задачи.

Уровень А: Материальная точка движется по прямой согласно закону s(t)= 12t²-2⁄3t³, где s(t)- путь в метрах и t – время в секундах. В какой момент времени из промежутка [4;10] скорость движения точки будет наибольшей?

Уровень Б: Путь точки, движущейся прямолинейно, изменяется по закону s(t)=t⁴⁄24-2t^3., где s(t)- путь в метрах и t – время в секундах. В какой момент времени из промежутка [10;50ускорение движения точки будет наименьшей?

Проверить решение на доске.

Поставить оценку.

Выполняют самостоятельное задание на применение знаний в группах

2. Находим наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке.

3. Интерпретируем найденный результат («переводим» с языка математики на язык первоначальной задачи)

Если при прямолинейном движении путь есть функция от времени, то скорость точки есть производная от пути по времени, а вторая производная определяет ускорение этой точки.

Учащиеся воспроизводят алгоритм и пользуются им в стандартных и изменённых ситуациях

5. Подведение итогов занятия. Информация о домашнем задании

Пришло время подвести итоги.

Ответим на вопросы:

1. На примере темы «Применение производной» прав ли был Лобачевский, когда сказал, что «Нет ни одной области математики, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира»? А почему?

2. Имеет ли изученная тема практическую значимость?

3.Чем занимается математический анализ? В чём его научная значимость?

Да в том, что он формулирует процессы химии, физики, биологии языком математики.

4. И дома вы должны будете найти и решить задачи Найти и решить задачи на максимум и минимум :

1 группа в химии

2 группа в физике,

3 группа в медицине,

4 группа в биологии.

Если не найдёте не расстраивайтесь, а просто выполните №5.99

Мы сказали, что производная – это скорость изменения функции. Ответьте на языке производных на вопрос: являются ли успехи в учёбе производной от багажа знаний?

Осуществляют рефлексию по осознанию результатов своей деятельности и деятельности других учащихся.

Получают домашнее задание в соответствии с результатами деятельности на учебном занятии

Чем быстрее изменяется (увеличивается) багаж знаний, тем быстрее изменяются (увеличиваются) успехи в учёбе.

Усвоение способов решения возникших в ходе учебного занятия проблем

Готовность учащихся к выполнению домашнего задания

6. Рефлексия

Организовать индивидуальную и коллективную работу.

Реализация рефлексивного алгоритма:

«Я» - как чувствовал себя, с каким настроением работал, доволен ли собой.

«МЫ» - комфортно ли было работать, какие затруднения были в работе.

«ДЕЛО» - достиг ли цели учения, какие затруднения возникли, как преодолевали трудности.

Просмотр содержимого презентации
«Решение задач на максимум м минимум»

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ

Выполнила учитель

МБОУ Первомайской СШ

Таирова Э.Н.

«Располагать

средствами

своими для

достижения по

возможности

большей выгоды»

П.Л.Чебышев

ЗАЧЕМ надо уметь решать задачи на максимум и минимум?

Как из круглого бревна выпилить прямоугольную балку с наименьшим количеством отходов?
Каких размеров должен быть ящик, чтобы при заданном расходе материала его объём был наибольший?
В каком месте следует построить мост через реку, чтобы дорога, проходящая через него и соединяющая два города, была кратчайшей?

"САМАЯ ТОНКАЯ ОБЛАСТЬ МАТЕМАТИКИ"

интегральное

исчисление

дифференциальное

исчисление

«Новый метод максимумов и минимумов»

Исаак Ньютон

(1643-1727)

Жозеф Луи

Лагранж

(1736-1813)

Ферма Пьер

(1601-1665)

Архимед

из Сиракуз

(287г.до н.э.

-212 г. до н.э .

"Без настоящих единиц не может быть и множества."

Эпоха Просвещения Петр I Россия

Готфрид

Лейбниц

(1646-1716), немецкий философ и математик.

Ньютон

французский математик и механик

английский учёный

французский математик

древнегреческий ученый

Петр Первый

Задача Дидоны

Согласно легенде, Дидона, первая царица и основательница Карфагена, со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей землю для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура.

Решение задачи

Применение производной к физике

Подведём итоги.

Прав ли был Лобачевский, когда сказал, что «Нет ни одной области математики, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира», если говорить о теме «Применение производной»? А почему?
Имеет ли тема урока практическую значимость?
Чем занимается математический анализ? В чём его научная значимость?