Решение задач на производительность

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Лицей» города Абакана

Решение задач на производительность

Абакан,2017

Введение 3

1. Способы решения текстовых задач 4

2. Виды задач на производительность 4

3. Способы решения текстовых задач 5

Заключение 10

Список литературы 11

Умение решать задачи является одним из основных показателей математического развития, глубины освоения учебного материала. Текстовые задачи – традиционно трудный для значительной части школьников материал. С этим столкнулся я и мои одноклассники при решении 22 задачи из ОГЭ. Поэтому я решил свою работу посветить задачам на производительность из ОГЭ.

Цель: создание методического пособия для подготовки к успешному решению задач на производительность.

Объект: задачи на производительность.

Предмет: методы решения текстовых задач на производительность.

Для реализации поставленной цели поставлены следующие задачи:

• изучить литературу по данной теме;

• изучить методику решения текстовых задач на производительность;

• описать методы решения задач на производительность;

• составить подборку задач для самостоятельного решения.

1. Способы решения текстовых задач

1. Арифметический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью чисел и знаков арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления, то есть с помощью нескольких действий над числами, связанных между собой.

2. Алгебраический способ – это способ решения текстовой задачи  с помощью введения переменных и составления соответствующего уравнения или неравенства, или системы уравнений или неравенств.

3.  Геометрический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью применения геометрических знаний.

4.  Схематический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью схем.

5. Графический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью графиков в прямоугольной системе координат.

1. Виды задач на производительность

Текстовые задачи на производительность наряду с задачами на движение являются одними из наиболее популярных видов задач на экзаменах разного уровня. Как в задачах на движение, в которых присутствуют элементы v –скорость, t –время и S – расстояние, так и в задачах на производительность и грузоперевозки есть аналогичные элементы.

В задачах на производительность существуют:

р – производительность, аналог скорости, то есть количество работы, производимой в единицу времени;

t – время работы;

А – объём работы, аналог расстояния.

.

В основном в экзаменационных тестах есть 2 вида задач на производительность и они различаются количеством рабочих , задачи с 2 рабочими и с 3.

Пример: 2 рабочих. На изготовление 231 детали ученик тратит на 11 часов больше , чем мастер на изготовление 462 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?

1. Способы решения текстовых задач

При решении задач на производительность в основном используют 2 способа – алгебраический и арифметический. При чем арифметический способ встречается очень редко, потому что в ОГЭ обычно не известно 2 пункта из 3, и без использования переменной не возможно решить задачу.

Примечание. В задач с совместной работой производительности складываются.

Пример: Паша с Витей красят забор за 2 часа 1/(П+В)= ½ (П и В – время за которое каждый красит забор один).

Если объем работы неизвестен и его не нужно найти по условия задачи, то берем его за единицу.

Рассмотрим несколько задач на производительность.

Задача 1 .На изготовление 231 детали ученик тратит на 11 часов больше , чем мастер на изготовление 462 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?

Решение:

1. Нам известен объем работы 231 деталь делает ученик и 462 детали делает учитель A1= 231 , A2= 462.

2.Производительность неизвестна , но мы знаем что ученик за 4 детали за час делает меньше чем учитель

Обозначим за x производительность ученика за час, значит производительность мастера будет x+4 . p1=x ,p2=x+4.

3. Время не известно, но мы знаем, что ученик на изготовление 231 детали тратит на 11 часов больше чем мастер на 462 ,т.к. t = A/p ,то t1=231/x, t2=462/x+4.

Составим уравнение.

Т.к. ученик тратит на 11 часов больше , то 231/x – 462/x+4 = 11 = 231x + 924 – 462x = 11x² + 44x =-275x + 924 = 11x² = 11x² + 275x - 924 = 0 = x² + 25x – 84 = 0 . По теореме Виета x1 = -28 и x2 = 3 .

-28 не подходит т.к. невозможно делать отрицательное кол-во деталей . Ответ : 3 детали за час делает ученик

Задача 2.

Игорь и Паша кра­сят забор за 18 часов. Паша и Во­ло­дя кра­сят этот же забор за 20 часов, а Во­ло­дя и Игорь — за 30 часов. За сколь­ко минут маль­чи­ки по­кра­сят забор, ра­бо­тая втроём?

1.Т.к. объем работы неизвестен , то обозначим его за единицу . A = 1

2.Время каждого нам неизвестно , но в парах

Известно , поэтому время каждого обозначим

Игорь – И , Паша – П , Володя – В , тогда И + П = 18 часов , П + В = 20, В + И = 30.

3. Покраска забора за час ,то есть производительность p = 1/И+П = 1/18 , 1/П+В = 1/20 и 1/В+И = 1/30

Т.к. нам нужно найти их время работая втроем , то есть за сколько они покрасят забор в 3 , то просто сложим их производительности , а позже зная их совместную производительность можно будет узнать время .

1/18 + 1/20 + 1/30 =25/180 = 5/36 . т.к. сложив их производительности по парам получилось что работает 2 Игоря, Паши и Володи поэтому разделим их производительность на 2 .5/72 забора они покрасят за час , а т.к. A = 1 то 1/(5/72) = 14,4 часов они покрасят весь забор т.к. нам надо найти в минутах, то умножим на 14,4 часа на 60 . 14,4 * 60 = 864 мин.

Ответ : За 864 мин они покрасят забор.

Задача 3.Дима и Саша выполняют одинаковый тест. Дима отвечает за час на 12 вопросов теста, а Саша — на 22. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Дима закончил свой тест позже Саши на 75 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Решение:

Обозначим за x объем работы , т.к. они выполняют один и тот же тест . Производительность Димы равна 12 вопросов в час , а Саши 22. Время Димы x/12 , а Саши x/22. Зная что Дима закончил тест позже Саши на 75 минут или 1,25 часа составим уравнение

x/12 – x/22 = 1,25 = (11x – 6x)/132 = 1,25 = 5x/165 = x= 33

Ответ 33 вопроса.

Задача 4. Чтобы на­ка­чать в бак 117 л воды, тре­бу­ет­ся на 5 минут боль­ше времени, чем на то, чтобы вы­ка­чать из него 96 л воды. За одну ми­ну­ту можно вы­ка­чать на 3 л воды больше, чем накачать. Сколь­ко лит­ров воды на­ка­чи­ва­ет­ся в бак за минуту?

Обозначим производительность накачивания за x , тогда производительность выкачивания будет x+3.

Объем работы накачивания 117 литров , а выкачивания 96.t= A/p . Время накачивания 117/x , а выкачивания 96/x+3.

Зная что чтобы накачать в бак 117 воды ,требуется на 5 минут больше времени ,чем на то , чтобы накачать составим уравнение. 117/x – 96/x+3 = 5 =21x+351 = 5x² + 15x = 5x² - 6x – 351 = 0 = x1 = 9 ,x2 = -7.8 .и получаем 9 литров в минуту накачивается в минуту.

Задача 5.

Два оператора, ра­бо­тая вместе, могут на­брать текст га­зе­ты объ­яв­ле­ний за 8 ч. Если пер­вый опе­ра­тор будет ра­бо­тать 3 ч, а вто­рой 12 ч, то они вы­пол­нят толь­ко 75% всей работы. За какое время может на­брать весь текст каж­дый оператор, ра­бо­тая отдельно?

Решение:

Объем работы неизвестен поэтому возьмём его за единицу , обозначим за x время за которое выполнит работу 1 оператор ,а за y время второго. Тогда их производительность будет 1/x и 1/y , если мы поделим время за которое по они выполняют ¾ работы ,то есть 3 и 12 часов , на время которое они выполняют полную работу , то есть на x и y ,то мы получим объем работы каждого оператора , и из полученных данных мы сможем составить систему уравнений.

1/x+1/y = 1/8 и 3/x + 12/y =3/4 = 1/x+1/y = 1/8 и 1/x = ¼ - 4/y = 3/y =1/8 = y=24 . 1/x = 2/24 = 2x = 24 = x=12.

Ответ: за 12 часов выполнит работу 1 оператор и за 24 второй.

Перейдем к задачам с 3 рабочими .

Задача 6 . Игорь и Паша кра­сят забор за 20 часов. Паша и Во­ло­дя кра­сят этот же забор за 24 часа, а Во­ло­дя и Игорь — за 30 часов. За сколь­ко часов маль­чи­ки по­кра­сят забор, ра­бо­тая втроём?

Решение:

Объем работы единица . Обозначим каждого мальчика 1 именем его буквы . tИ+П = 20 , tП+В = 24 , tВ+И = 30 .И производительность pИ+П = 1/20 , pП+В = 1/24 , pВ+И =1/30 . Сложим их производительность и получим общую производительность , а позже разделим объем работы на общую производительность. Т.к. мы сложили попарно , то разделим на 2 их производительность. 1/20 + 1/24 + 1/30 = 15/120 = 5/40 = 1/8 . 1/(1/16) = 16 часов.

Ответ: За 16 часов они покрасят забор.

4. Задачи для самостоятельного решения

1.Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом  400 литров она заполняет на 2 часа 20 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объёмом 900 литров?

2. Две бригады, работая вместе, могут выполнить некоторую работу за 12 часов. Первая бригада, работая одна, могла бы выполнить эту работу на 10 часов быстрее, чем вторая. Сколько часов потребовалось бы первой бригаде для выполнения этой работы?

3. Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 8 часов 45 минут, а одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 21 часов. За сколь­ко часов на­пол­ня­ет бас­сейн одна вто­рая труба?

4. Пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 9 де­та­лей боль­ше, чем вто­рой, и вы­пол­ня­ет заказ, со­сто­я­щий из 112 де­та­лей, на 4 часа быст­рее, чем вто­рой ра­бо­чий, вы­пол­ня­ю­щий такой же заказ. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий?

5. На изготовление 180 деталей первый рабочий тратит на 3 часа меньше. чем второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 3 детали больше.

6. Первый кран разгрузит баржу за 3 часа, второй кран разгрузит сухогруз за 8 часов. Во сколько раз производительность первого крана больше производительности второго, если первый кран разгрузит сухогруз на 10 часов быстрее, чем второй кран баржу?

7. Игорь и Паша кра­сят забор за 10 часов. Паша и Во­ло­дя кра­сят этот же забор за 15 часов, а Во­ло­дя и Игорь — за 21 час. За сколь­ко часов маль­чи­ки по­кра­сят забор, ра­бо­тая втроём?

8. Три бри­га­ды вме­сте из­го­то­ви­ли 114 син­хро­ни­за­то­ров передач. Известно, что вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла син­хро­ни­за­то­ров в 3 раза больше, чем первая, и на 16 син­хро­ни­за­то­ров меньше, чем третья. На сколь­ко син­хро­ни­за­то­ров пе­ре­дач боль­ше из­го­то­ви­ла тре­тья бригада, чем первая.

9. Три бри­га­ды из­го­то­ви­ли вме­сте 248 де­та­лей. Из­вест­но, что вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла де­та­лей в 4 раза боль­ше, чем пер­вая и на 5 де­та­лей мень­ше, чем тре­тья. На сколь­ко де­та­лей боль­ше из­го­то­ви­ла тре­тья бри­га­да, чем пер­вая.

Цель и задачи поставленные в работе выполнены. В частности изучили литературу по данной теме, методику и методы решения и составил подборку заданий для самостоятельного решения. Не секрет что очень важно сдать экзаменационные тесты и после изучения данной методики вы сможете решить 22 задачу из ОГЭ . Умение решать текстовые задачи очень пригодится в жизни и как говорилось в начале , является одним из основных показателей математического развития , именно поэтому время , усилия и внимание потраченное на изучение данной темы не напрасно , а даже на оборот .

1. https://oge.sdamgia.ru/test?theme=77

2. http://www.fipi.ru/

3. http://youclever.org/book/zadachi-na-rabotu-1

4. http://www.egesdam.ru/page242.php

5. https://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/zadachi_na_proizvoditelnost

6. http://matematika-doma.ru/tematicheskie-9/278-oge-2015-reshenie-zadach-modul-algebra-2-chast-zadanie-22-povyshennyy-uroven.html

7. https://matematikalegko.ru/rabota/zadachi-na-rabotu-chast-1.html