Решение задач по теореме Виета

Решение примеров по теореме Виета.

Найдите сумму и произведение корней квадратного уравнения.

1. x 2 - 12x - 45 = 0

Ответ: 12; -45

2. x 2 - 5x - 1 = 0

Ответ: 5; -1

3. x 2 - 5x = 0

4. 2x 2 + 5 = 0

Ответ: 5; 0

5. 2x 2 - 5x + 6 = 0

Ответ: 0; 2,5

Ответ: 2,5; 3

Ответ

По теореме Виета: x 1 + x 2 = - (-12) = 12;  x 1 ∙ x 2 = - 45

Решение :

Ответ

Решение :

По теореме Виета: x 1 + x 2 = - (-5) = 5;  x 1 ∙ x 2 = - 1

Ответ

Запишем уравнение в виде x 2 - 5x + 0 = 0

Решение :

По теореме Виета: x 1 + x 2 = - (-5) = 5;  x 1 ∙ x 2 = 0

Ответ

Решение :

Запишем уравнение в виде 2x 2 + 0x + 5 = 0

Разделим обе части уравнения на 2 ⇒ x 2 + 0x + 2,5 = 0

По теореме Виета: x 1 +x 2 = - 0 = 0;   x 1 ∙ x 2 = 2,5

Ответ

Решение :

Разделим обе части уравнения на 2 ⇒ x 2 - 2,5x + 3 = 0

По теореме Виета: x 1 +x 2 = - (-2,5) = 2,5;   x 1 ∙ x 2 = 3

Решение примеров по теореме Виета.

Составьте квадратное уравнение в котором сумма p и произведение q его корней равны:

Ответ

1. p = 1,    q = - 6.

2. p = - 1,    q = 0.

Ответ: x 2 + x - 6 = 0

3. p = 0,    q = - 3.

Ответ: x 2 - x = 0

Ответ: x 2 - 3 = 0

Так как  p  = 1  и q  = -6  являются соответственно вторым и третьим

коэффициентами приведённого квадратного уравнения  x 2  +  px  +  q  = 0,

то искомое квадратное уравнение x 2 + x - 6 = 0 .

Решение :

Ответ

Решение :

Так как  p  = -1  и q  = 0  являются соответственно вторым и третьим

коэффициентами приведённого квадратного уравнения  x 2  +  px  +  q  = 0,

то искомое квадратное уравнение x 2 - x + 0 = 0 ⇔ x 2 – x = 0

Ответ

Решение :

Так как  p  = 0  и q  = -5  являются соответственно вторым и третьим

коэффициентами приведённого квадратного уравнения  x 2  +  px  +  q  = 0,

то искомое квадратное уравнение x 2 + 0x - 3 = 0 ⇔ x 2 - 3 = 0

Решение примеров по теореме Виета.

Составьте квадратное уравнение по его корням.

Ответ

1. x 1 = -3,    x 2 = 6.

2. x 1 = 2,    x 2 = 3.

Ответ: x 2 - 3x - 18 = 0

Ответ: x 2 - 5x + 6 = 0

3. x 1 = -11,    x 2 = -1.

Ответ: x 2 + 12x + 11 = 0

Так как  x 1  = -3,  x 2  = 6  корни уравнения  x 2  +  px  +  q  = 0, то по теореме Виета:

p = -( x 1 + x 2 ) = -(-3 + 6) = -3; q = x 1 · x 2 = -3·6 = -18.

Следовательно, искомое уравнение: x 2 - 3x - 18 = 0 .

Решение :

Ответ

Так как  x 1  = 2,  x 2  = 3  корни уравнения  x 2  +  px  +  q  = 0, то по теореме Виета:

p = -( x 1 + x 2 ) = -(2 + 3) = -5; q = x 1 · x 2 = 2· 3 = 6.

Следовательно, искомое уравнение: x 2 - 5x + 6 = 0.

Решение :

Ответ

Решение :

Так как  x 1  = -11,  x 2  = -1  корни уравнения  x 2  +  px  +  q  = 0, то по теореме Виета:

p = -( x 1 + x 2 ) = -(-11 - 1) = 12; q = x 1 · x 2 = -11· (-1) = 11.

Следовательно, искомое уравнение: x 2 + 12x + 11 = 0.

0 ⇒ корни существуют. Так как x 1 • x 2 = +2, то оба корня имеют одинаковые знаки (+ • + = + или - • - = +); так как x 1 + x 2 = -3, то оба корня отрицательны. Подбираем значения x 1 и x 2 , которые удовлетворяют этим равенствам; им удовлетворяют значения x 1 = - 1, x 2 = - 2. Решение : Ответ Дискриминант D = b 2 - 4ac = (–5) 2 - 4•1•(–24) = 121 0 ⇒ корни существуют. Из x 1 • x 2 = -24 ⇒ корни имеют разные знаки (+ • - = - или - • + = -); Из x 1 + x 2 = -(-5) = 5 ⇒ абсолютная величина положительного корня больше абсолютной величины отрицательного корня. Подбираем значения x 1 и x 2 , которые удовлетворяют этим равенствам; им удовлетворяют значения x 1 = 8, x 2 = - 3. Решение : Ответ Решение : Дискриминант D = b 2 - 4ac = (–5) 2 - 4•1•6 = 25 – 24 =1 0 ⇒ корни существуют. Из x 1 • x 2 = 6 ⇒ корни имеют одинаковые знаки (+ • + = + или - • - = +); Из x 1 + x 2 = -(-5) = 5 ⇒ оба корня положительны. Подбираем значения x 1 и x 2 , которые удовлетворяют этим равенствам; им удовлетворяют значения x 1 = 2, x 2 = 3. " width="640"

Решите квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета.

Ответ

1. x 2 + 3x + 2 = 0

Ответ: x 1 = -1; x 2 = -2

2. x 2 - 5x - 24 = 0

3. x 2 - 5x + 6 = 0

Ответ: x 1 = 8; x 2 = -3

Ответ: x 1 = 2; x 2 = 3

Дискриминант D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4•1•2 = 9 – 8 = 1 0 ⇒ корни существуют.

Так как x 1 • x 2 = +2, то оба корня имеют одинаковые знаки (+ • + = + или - • - = +);

так как x 1 + x 2 = -3, то оба корня отрицательны.

Подбираем значения x 1 и x 2 , которые удовлетворяют этим равенствам;

им удовлетворяют значения x 1 = - 1, x 2 = - 2.

Решение :

Ответ

Дискриминант D = b 2 - 4ac = (–5) 2 - 4•1•(–24) = 121 0 ⇒ корни существуют.

Из x 1 • x 2 = -24 ⇒ корни имеют разные знаки (+ • - = - или - • + = -);

Из x 1 + x 2 = -(-5) = 5 ⇒ абсолютная величина положительного корня больше

абсолютной величины отрицательного корня.

Подбираем значения x 1 и x 2 , которые удовлетворяют этим равенствам;

им удовлетворяют значения x 1 = 8, x 2 = - 3.

Решение :

Ответ

Решение :

Дискриминант D = b 2 - 4ac = (–5) 2 - 4•1•6 = 25 – 24 =1 0 ⇒ корни существуют.

Из x 1 • x 2 = 6 ⇒ корни имеют одинаковые знаки (+ • + = + или - • - = +);

Из x 1 + x 2 = -(-5) = 5 ⇒ оба корня положительны.

Подбираем значения x 1 и x 2 , которые удовлетворяют этим равенствам;

им удовлетворяют значения x 1 = 2, x 2 = 3.

Решите уравнение по теореме Виета.

1. Один из корней уравнения х 2 + pх + 12 = 0 равен 4 .

Найдите второй корень и второй коэффициент p

приведённого квадратного уравнения.

Ответ: x 2 = 3; p = -7

2. Один из корней уравнения х 2 - 8х + q = 0 равен 2.

Найдите второй корень и свободный член q

приведённого квадратного уравнения.

Ответ: x 2 = 6; q = 12

3. Не решая уравнение x 2 - 3x - 4 = 0 , вычислите значение выражения   x 1 2 + x 2 2

Ответ: 17

Ответ

Пусть х 1 = 4, второй корень равен х 2.

Согласно теореме Виета: произведение корней 4 · х 2 = 12 ⇒ х 2 = 3;

сумма корней x 1 + x 2 = 4+3 = 7 = - p ⇒ p = -7.

Решение :

Ответ

Пусть х 1 = 2 , второй корень равен х 2.

Согласно теореме Виета: сумма корней 2 + х 2 = 8 ⇒ х 2 = 6 .

произведение корней 2 · 6 = 12 = q ⇒ q = 12.

Решение :

Ответ

По теореме Виета: x 1 + x 2 = - p = - ( - 3) = 3,     x 1 ∙ x 2 = q = - 4.

Возведём в квадрат обе части равенства  x 1 + x 2 = - p ⇒ x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 =( - p) 2

⇒ x 1 2 + x 2 2 = p 2 – 2x 1 x 2 ⇒ x 1 2 + x 2 2 = p 2 – 2q.

Подставив в правую часть уравнения значения: p = - 3 и q = - 4;

находим значение выражения x 1 2 + x 2 2 = (-3) 2 - 2·(-4) ⇒ x 1 2 + x 2 2 = 17

Решение :

Решите квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета.

Найдите корни квадратного уравнение ax 2 + bx + c = 0

Используйте свойство a ± b + c = 0

Ответ

1. x 2 + 5x - 6 = 0

2. x 2 - 999x - 1000 = 0

Ответ: x 1 = 1; x 2 = -6

Ответ: x 1 = -1; x 2 = 1000

3. 2007x 2 – x – 2006 = 0

Ответ: x 1 = 1; x 2 = - 2006 / 2007

Заметим, что сумма коэффициентов уравнения равна нулю при x = 1

(действительно, 1+ 5 – 6 = 0). Значит, x 1 = 1.

Так как x 1 • x 2 = – 6, то 1• x 2 = x 2 = – 6 ⇒ x 2 = –6

Решение :

Ответ

Решение :

Заметим, что сумма коэффициентов уравнения равна нулю при x = –1

(действительно, 1+ 999 – 1000 = 0). Значит, x 1 = –1.

Так как x 1 • x 2 = – 1000, то –1• x 2 = – x 2 = – 1000 ⇒ x 2 = 1000

Ответ

Решение :

Заметим, что сумма коэффициентов уравнения равна нулю при x = 1

(действительно, 2007–1–2006 = 0). Значит, x 1 =1.

Разделим обе части уравнения на первый коэффициент 2007,

получим приведённое квадратное уравнение x 2 – x / 2007 – 2006 / 2007 = 0

По теореме Виета x 1 • x 2 = – 2006 / 2007 ⇒ 1• x 2 = x 2 = – 2006 / 2007

0 ⇒ a 7 / 4 ⇒ a 1,75 2. Пусть х 1 = 2 х 2 , тогда: х 1 + х 2 = 3 х 2 = 2 a + 1 и х 1 х 2 = 2 х 2 2 = a ² + 2 3. Решим систему уравнений методом 3 х 2 = 2 a + 1 ⇒ х 2 = (2 a + 1) / 3 подстановки (значение х 2 из 1-го 2 х 2 2 = a ² + 2 ⇒ a ² – 8 a + 16 = 0 ⇒ a = 4 уравнения подставим во второе) . a 1,75 Проверка решения . Подставим a = 4 в исходное уравнение: x ² – (2•4 + 1) x + 4² + 2 = 0 ⇒ x ² – 9 x + 18 = 0 х 1 = 6; х 2 = 3 ⇒ 6 = 2•3 Ответ: a = 4 " width="640"

Применение теоремы Виета при решения уравнений с параметрами

Ответ

1. При каком значении а сума кубов корней уравнения х 2 – х – а = 0 будет равна 19?

Ответ: a =6

2. При каком значении а один корень уравнения x ² – (2 a + 1) x + a ² + 2 = 0

будет в 2 раза больше другого.

Ответ: а = 4

Решение :

Пусть х 1 и х 2 корни квадратного уравнения, по теореме Виета имеем:

х 1 + х 2 = 1, тогда ( х 1 + х 2 ) 3 =1 3 ⇒ х 1 3 + 3 х 1 2 х 2 +3 х 1 х 2 2 + х 2 3 = 1 ⇒

⇒ х 1 3 + х 2 3 = – 3 х 1 х 2 ( х 1 + х 2 ) +1.

Так как х 1 х 2 = - a , то х 1 3 + х 2 3 = – 3•(- a )•1 +1 ⇒ 19 = 3 а + 1 ⇒ а = 6

Проверка решения .

Подставив a = 6 в исходное уравнение, получим х 2 – х – 6 = 0 ⇒ х 1 = 3; х 2 = –2

Находим сумму кубов корней уравнения: 33 + (-2)3 = 27 – 8 = 19

Ответ: а = 6

Ответ

Решение :

1. Квадратное уравнение имеет два различных корня если дискриминант больше нуля.

D = b 2 - 4ac = (-(2 a + 1)) 2 - 4•1•( a ² + 2) = 4 a – 7 0 ⇒ a 7 / 4 ⇒ a 1,75

2. Пусть х 1 = 2 х 2 , тогда: х 1 + х 2 = 3 х 2 = 2 a + 1 и х 1 х 2 = 2 х 2 2 = a ² + 2

3. Решим систему уравнений методом 3 х 2 = 2 a + 1 ⇒ х 2 = (2 a + 1) / 3

подстановки (значение х 2 из 1-го 2 х 2 2 = a ² + 2 ⇒ a ² – 8 a + 16 = 0 ⇒ a = 4

уравнения подставим во второе) . a 1,75

Проверка решения .

Подставим a = 4 в исходное уравнение: x ² – (2•4 + 1) x + 4² + 2 = 0 ⇒

x ² – 9 x + 18 = 0

х 1 = 6; х 2 = 3 ⇒ 6 = 2•3

Ответ: a = 4

Домашнее задание. Решите уравнения; ответы занесите в таблицу.

№

1.

Задание

Запись ответов

Решите приведённое квадратное уравнение x 2 + 10x + 24 = 0

2.

3.

по теореме, обратной теореме Виета.

x 1 = x 2 =

Один из корней квадратного уравнения х 2 + pх + 12 = 0 равен 4 .

4.

Один из корней уравнения х 2 - 11х + q = 0 равен 3.

x 2 = p =

Найдите второй корень x 2 и второй коэффициент p.

x 2 = q =

Решите квадратное уравнение 9x 2 + 22x - 31 = 0

5.

Найдите второй корень x 2 и свободный член q.

6.

с помощью свойства a ± b + c = 0.

x 1 = x 2 =

Решите неприведённое квадратное уравнение 16x 2 - 6x - 1 = 0

с помощью перехода к вспомогательному приведенному квадратному уравнению.

Не решая уравнение x 2 - 3x - 4 = 0 ,

x 1 = x 2 =

вычислите значение выражения   x 1 4 + x 2 4

x 1 4 + x 2 4 =

Для перехода к дополнительным заданиям нажмите на

1. Решите уравнение с помощью теоремы, обратной теореме Виета.

1. x 2 – 7x + 10 = 0

2. x 2 + 8x + 15 = 0

3. x 2 – x – 6 = 0

4. x 2 + 3 x – 10 = 0

2. Решите полное квадратное уравнение

с помощью перехода к вспомогательному приведенному квадратному уравнению.

1. 2x 2 – 11x + 5 = 0

2. 2x 2 + 3x – 2 = 0

3. 15x 2 – x – 2 = 0

4. 12x 2 – 4 x – 5 = 0

3. Решите квадратное уравнение с помощью свойства a ± b + c = 0.

1. 3x 2 – 8x + 5 = 0

2. 5x 2 + 7x – 12 = 0

3. x 2 – 11x – 12 = 0

4. 3x 2 + 20x + 17 = 0

4. Не решая уравнение x 2 - 13x + 36 = 0, вычислите значение выражений:

1. x 1 2 + x 2 2

2. x 1 4 + x 2 4

3. x 1 3 + x 2 3

4.

5.

5. При каких значениях параметра а разность наибольшего и наименьшего

корней уравнения 2х 2 – (а + 1)х + (а – 1) = 0 равна их произведению.

6. Найдите значение переменной а, для которого сумма квадратов

корней уравнения х 2 + 2ах + 3а 2 – 6а – 2 = 0 есть величина наибольшая.

Источники:

1. Учебник «Алгебра - 8» авторов: Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров С. В.,

Фёдорова Н. Е., Шабунин М. И. – М.: Просвещение, 2016.

2 . Справочник по математике для 5-8 классов, сост. Смолякова О. К. , издательство БАО

3 . Дорофеев Г. В., Пчелинцев С. В. Многочлены с одной переменной. Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 2001.

4. "Справочник по математике. 5-9 классы. ФГОС" Составители: Рурукин А. Н., Гусева Н. Н., Шуваева Е. А. 3-е издание.

5. Энциклопедический словарь юного математика. Составитель А.П. Савин

6. Прохоров Ю. В. Математика. Энциклопедия, Большая  Российская энциклопедия , 2004 г.

7. Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI – XVII веков. – М.: Наука, 1979.

8 . Сборник задач по алгебре/ , , -М.: Просвещение, 2000.

9 . История математики в школе. Г. И. Глейзер

10 . ОГЭ Математика. Задание 9.