Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Моргун А. И.

Предмет

Алгебра

Дата проведения урока

___.01.2019

№ урока

53

Класс

8

Тема урока

(в соответствии с КТП)

Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Целеполагание

Цели урока:

обучения  

совершенствование навыков составления уравнения по условию задачи; закрепление навыков решения квадратных уравнений;

развития

развитие математического и общего кругозора, логического мышления, умение анализировать, делать вывод;

воспитания

воспитывать самостоятельность, четкость и аккуратность в действиях.

Тип урока

Урок  моделирования и преобразования модели

Планируемые результаты

Предметные: Научить составлять уравнение по условию задачи, определять тип текстовой задачи, знать особенности алгоритма её решения;

Личностные: развитие умений ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, выстраивать аргументацию, контролировать процесс и результат учебной и математической деятельности; развитие инициативности и активности при решении математических задач;

Метапредметные: развитие умений находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем; умений самостоятельно ставит цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем; планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера;

Понятия

Оборудование

Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/ [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского.- 16-е изд. – М.: Просвещение, 2010

Ход урока

I этап

-актуализация знаний

-постановка темы

-постановка цели

-формирование УУД:

• Познавательные

• Регулятивные

• Коммуникативные

• Личностные

1. Организационный момент

Здравствуйте, ребята! Сегодня на уроке мы продолжим учиться составлять уравнения по условию задачи. Возникли ли у вас затруднения по выполнению домашней работы? (разбор нерешенных задач). И так, тема нашего урока «Решение задач с помощью квадратных уравнений».

Запишите сегодняшнее число и тему урока в тетради!

1. Проверка домашнего задания

2. Актуализация знаний

Два ученика на месте работают по индивидуальным карточкам.

Карточка № 1.

1.Запиши общий вид квадратного уравнения.

2.Запиши формулу корней квадратного уравнения.

3.Чему равны коэффициенты а, в, с уравнения х² – 4х – 3 = 0?

4.Реши уравнения: а) 3х² + 2 х – 1 = 0; б) 2х ²+ 7х – 4 = 0; в) х² – 7х +12 = 0.

Ответ: а) -1, 1/3; б)1/2, -4; в)4, 3.

Карточка № 2

1.Запишите формулу дискриминанта квадратного уравнения.

2.Сколько корней имеет уравнение, если D 0? D D = 0?

3. Реши уравнения: а) 5х² + 8х – 4 = 0; б) х² – 6х + 11 = 0; в) 7х² + 6х – 1 = 0.

Ответ: а) 2/5, -2; б) корней нет; в) 1/7, -1.

Два ученика получают карточку с задачей, решают у доски.

Карточка №1

Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 1 больше другого, равно 156. Найдите эти числа.

Решение: Пусть первое натуральное число равно х, тогда второе число х+1. По условию задачи произведение чисел равно 156. Получаем уравнение:

х×(х+1) = 156,

х² + х – 156 = 0,

D=1+624=625,

==-13, ==12.

Так как х натуральное число, то -13 посторонний корень. Значит одно из чисел 12, а другое 12+1=13

Ответ: 12; 13.

Карточка № 2

Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 1 больше другого, равно 210. Найдите эти числа.

Решение: Пусть х первое натуральное число, тогда х+1 – второе число. По условию задачи произведение чисел равно 210. Получаем уравнение:

х×(х+1)=210,

х² + х – 210=0,

D=1+840=841,

==-15, =14.

Так как х – натуральное число, то- 15 – посторонний корень, значит первое число равно 14, а второе 14+1=15.

Ответ: 14; 15.

Остальные учащиеся по вариантам, выполняют практическое задание. Задание на доске.

1.Вариант

1) 3х² – 7х = 0;

Ответ: =0, =2.

2) 2х² – х = 0;

Ответ:=0, =.

3) х² – 2х + 1 = 0;

Ответ:=0.

4) х² + 3х + 3 = 0;

Ответ: корней нет.

2 вариант

1) 5х² + 14х – 3 = 0;

Ответ:=- , =-3.

2) 7х² + 8х + 1 = 0;

Ответ:=-1, =-.

3) х² – 2х + 2 = 0;

Ответ: корней нет.

4) 3;

Ответ:=1, =- .

В конце работы проводится взаимопроверка между рядами.

Давайте решим одну из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:

Обезьянок резвых стая,

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам...

Стали прыгать, повисая...

Сколько ж было обезьянок,

Вы скажите, в этой стае?

Все вместе разбираем задачу, один ученик у доски.

Решение: Нам необходимо узнать сколь было всего обезьян? Значит, х обозначим количество обезьян. По условию восьмая часть забавлялась на поляне, значит, берем восьмую часть от общего количества обезьян - это будет х, да еще в квадрате . К этому количеству добавим еще, 12 обезьян, которые прыгают по лианам. Получим следующее уравнение: +12=х.

Решим это уравнение:

+12=х,

-х+12=0,

D=1-4×= 0,25;

==16, ==48.

=16, =48.

Два корня удовлетворяют условию задачи. Поэтому в стае могло быть 16 или 48 обезьян.

Ответ: 16 или 48 обезьян.

Задача: Квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на 3, спрятался в гроте. Одна обезьяна, влезшая на дерево, была видна. Сколько было обезьян?

К доске приглашается ученик. Рассуждения над задачей ведется всем классом.

Решение: В задаче надо найти, сколько было всего обезьян? Неизвестную величину обозначим х, тогда пятая часть от всего количества обезьян будет равна х. Это количество обезьян уменьшаем на 3, возводим в квадрат и добавляем 1 обезьяну. Получаем уравнение: +1=3.

Решим это уравнение:

+1=3,

х+9+1=х,

,

D= 3025-1000=2025,

==5, ==50.

Находим корни квадратного уравнения: =5 – не подходит, т.к. если подставить значение 5 в исходное уравнение, то получим х-3=-2, -2 меньше нуля. Значит, условию задачи удовлетворяет второй корень =50.

Ответ: 50 обезьян.

IIэтап

- изученного нового материала

- закрепление изученного материала

В том числе самостоятельная работа

1. Изученного нового материала

На прошлом уроке мы узнали, что многие задачи алгебры, приводят к необходимости решения квадратного уравнения. Давайте вспомним алгоритм решения задачи с помощью квадратного уравнения.

Этапы решения задачи алгебраическим методом:

1. Выбрать неизвестно.

2. Затем составить уравнение.

3. Решить его.

4. Сделать вывод о корнях.

5. Выполнить дополнительные действия.

Часто алгебраические задачи решаются двумя способами. Например, решим задачу на движение двумя способами. Для этого вспомним:

- Какие величины связаны с движением?

- Как зависит расстояние от скорости и времени?

- Как найти скорость, если известны расстояние и время?

- Как найти время, если известны расстояние и время?

V. Закрепление изученного материала

Решите задачу. В прямоугольном треугольнике один катет больше другого на 3 см, а гипотенуза равна 15 см. Найти длину меньшего катета треугольника.

Чтобы правильно ученики составили уравнение. Необходимо вспомнить теорему Пифагора.

Решение: + =,

++6х+9=225,

+6х+9-225=0,

+6х-216=0, разделим на 2

+3х-108=0,

D=9+432=441,

==-12, ==9.

Корень уравнения -12 условию задачи не удовлетворяет, значит, меньший катет равен 9 см.

Решите задачу. Сумма смежных сторон прямоугольника равна 17 см, а его диагональ 13 см. Найти стороны прямоугольника.

Решение: Проведенная диагональ, делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Пусть х см длина наименьшего катета, тогда зная, сумму смежных сторон треугольника мы можем найти второй катет, он равен (17-х) см. По условию задачи проведенная диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника и равна 13 см. Применяя теорему Пифагора, составим уравнение: +=, раскроем скобки.

+-34х+289=169,

-34х+120=0, сократим на 2.

-17х+60=0,

D=289-240=49,

==12, ==5.

Оба корня удовлетворяют условию задачи. Значит, наименьший катет равен 5 см, а наибольший катет равен 12 см.

Задача № 1. (работа с классом)

Турист должен был пройти 6 км за определенный срок. Однако он задержался с выходом на 30 мин, поэтому, чтобы прийти вовремя, он шел со скоростью, превышающей намеченную на 1 км/ч. С какой скоростью шел пешеход?

Решение.

Первый способ.

Пусть х ч – намеченный срок. Вспомним! Чтобы найти скорость надо путь поделить на время, следовательно, 6/х км/ч – намеченная скорость. х – 0,5 ч – время, затраченное фактически, 6/(х – 0,5) км/ч – фактическая скорость. По условию задачи известно, что пешеход увеличил скорость на

1 км/ч.

Получаем уравнение: 6/(х – 0,5) – 6/х = 1.

Если х≠0,5 и х≠0, то 6х – 6х + 3 = х² – 0,5х

2х² – х – 6 = 0,

D=1+48=49,

==-1,5 ==2.

Так как время – положительное число, то – 1,5 не подходит. Намеченное время – 2 часа, а скорость, с которой шел пешеход – 6 : 2 + 1 = 4 (км/ч).

Ответ: 4 км/ч.

Задача № 2. (Самостоятельно, с оказанием дифференцированной помощи)

Велосипедист проехал с постоянной скоростью 40 км от пункта А до пункта В. Возвращаясь обратно со скоростью, на 10 км/ч меньшей первоначальной, он затратил на 20 мин больше, чем на путь от А до В. Найдите первоначальную скорость велосипедиста.

Проверим решение:

Первый способ

Пусть х км/ч – скорость велосипедиста при движении из пункта А в пункт В, тогда время движения – 40/х ч. На обратном пути он ехал со скоростью (х – 10) км/ч и затратил 40/(х - 10) ч. По условию задачи известно, что на обратный путь велосипедист затратил больше на 20 мин или на 1/3 часа. Получаем уравнение: 40/(х - 10) – 40/х = 1/3.

Если х ≠ 0, х ≠ 10, то 120х – 120х + 1200 = х² – 10х,

х² – 10х – 1200 = 0,

D=100+4800=4900,

==-30, ==40.

= - 30 - условию задачи не удовлетворяет. Значит первоначальная скорость велосипедиста –

40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.

Задача №1

Найдите стороны прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60.

Решение: Пусть х см ширина прямоугольника, тогда длина прямоугольника (х+4) см. По условию задачи площадь прямоугольника равна 60 Составим и решим уравнение:

х(х+4)=60,

+4х-60=0,

D=16+4×60=16+240=256,

==6, ==-10.

Корень равный -10 условию задачи не удовлетворяет, т.к. ширина не может быть отрицательным числом. Следовательно, ширина равна 6м, а длина равна х+4=6+4=10м.

Ответ: 6м, 10 м.

Задача №2

Периметр прямоугольника 62 м. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника равна

210

Решение: Пусть х м ширина прямоугольника, тогда у м длина прямоугольника. По условию периметр прямоугольника равен 62 м. Вспомним, формулу периметра прямоугольника получим: (х+у)×2=62. По условию знаем, что площадь прямоугольника равна 210. Получаем х×у=210. Получаем два уравнения:

(х+у)×2=62, (1)

х×у=210. (2)

В уравнении (1) разделим обе части на 2.

х+у=31,

Выразим переменную х через у.

х=31-у,

Подставим во второе уравнение.

(31-у)×у=210,

Раскроем скобки.

31у-=210,

Приведем к виду квадратного уравнения.

-+31у-210=0, умножим на -1.

-31у+210=0,

D=961-840=121.

=21, =10.

Корни подходят по условию задачи. Значит 21 м ширина прямоугольника, а 10 м его длина.

Ответ: 21м, 10м.

IIIэтап

-подведение итогов

- Какие задачи решали на уроке?

- Что нового вы узнали на уроке?

- Какие затруднения у вас возникли?

- Расскажите этапы решения задачи с помощью уравнения.

Отметить наиболее активных учеников. Выставить оценки.

Рефлексия

И закончить сегодняшний урок хотелось бы словами великого математика У. Сойера: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт».

Домашнее задание

№565,№574, на повторение №578.