Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Классная работа

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных жизненных ситуаций

Запомните !!!

Множество задач можно решить путем составления систем двух  линейных уравнений .

Такое решение состоит из трех этапов :

1) построение математической модели ( обозначить через x и y неизвестные величины );

2) составление системы двух уравнений и ее решения;  3) нахождение ответа к задаче.    

Легковой автомобиль за  3,5 часа  проехал то же расстояние, что и грузовой за  5 часов .  Найдите их скорости , если известно, что легковой автомобиль двигался на  30 км/ч быстрее грузового.

Первый этап . Составляем математическую модель задачи

Скорость, км/ч

Легковой автомобиль

?, на 30 км/ч быстрее

Время, ч

Грузовой автомобиль

Расстояние, км

? км/ч

3,5 ч

? км

5 ч

? км

одинаковое

Обозначим скорость легкового автомобиля – х км/ч, а скорость грузового автомобиля - у км/ч. Оба автомобиля проехали одинаковое расстояние ( S=Vt) .

Составим и решим систему уравнений:

Легковой автомобиль за  3,5 часа  проехал то же расстояние, что и грузовой за  5 часов .  Найдите их скорости , если известно, что легковой автомобиль двигался на  30 км/ч быстрее грузового.

Второй этап . Решаем полученную систему

Легковой автомобиль за  3,5 часа  проехал то же расстояние, что и грузовой за  5 часов .  Найдите их скорости , если известно, что легковой автомобиль двигался на  30 км/ч быстрее грузового.

Второй этап . Решаем полученную систему

Легковой автомобиль за  3,5 часа  проехал то же расстояние, что и грузовой за  5 часов .  Найдите их скорости , если известно, что легковой автомобиль двигался на  30 км/ч быстрее грузового.

Второй этап . Решаем полученную систему

Третий этап . Решаем исходную задачу

Значит, скорость легкового автомобиля – 100 км/ч, а скорость грузового автомобиля - 70 км/ч.

Ответ: Скорость грузового автомобиля 70 км/ч, а скорость легкового 100 км/ч.

Сергей смешал раствор, содержащий 20% кислоты и раствор, содержащий 40% той же кислоты. В итоге у него получился раствор, содержащий 32,5% кислоты , причём объём полученного раствора 4 литра . Сколько литров раствора, содержащего 20% кислоты, использовал Сергей при смешивании?

Первый этап . Составляем математическую модель задачи

Кислота

Объем, л

1 раствор

Жидкость

? л

2 раствор

% содержание

Итого (смесь 1 и 2 растворов)

? л

Объем, л

20%

? л

Объем раствора, л

4  0,325 л

% содержание

40%

? л

80%

32,5%

? л

?

60%

? л

?

4 л

х

0,2х

у

0,4у

Обозначим объем 1 раствора – х, а второго - у. Тогда объем кислоты в первом растворе 0,2х л, а во втором – 0,4у л. Объем кислоты в новом растворе 4  0,325=1,3 л.

Сергей смешал раствор, содержащий 20% кислоты и раствор, содержащий 40% той же кислоты. В итоге у него получился раствор, содержащий 32,5% кислоты , причём объём полученного раствора 4 литра . Сколько литров раствора, содержащего 20% кислоты, использовал Сергей при смешивании?

Второй этап . Составим и решим систему уравнений:

Сергей смешал раствор, содержащий 20% кислоты и раствор, содержащий 40% той же кислоты. В итоге у него получился раствор, содержащий 32,5% кислоты , причём объём полученного раствора 4 литра . Сколько литров раствора, содержащего 20% кислоты , использовал Сергей при смешивании?

Второй этап . Составим и решим систему уравнений:

Третий этап . Решаем исходную задачу

Следовательно, 20% раствора кислоты взяли 1,5 литра

Ответ: Сергей взял 1,5 литра 20% раствора кислоты.

Иван случайно смешал молоко жирностью 2,5% и молоко жирностью 6% . В итоге у него получилось 5 литров молока жирностью 4,6% . Сколько литров молока жирностью 2,5% было у Ивана до смешивания?

Первый этап . Составляем математическую модель задачи

Жир

Объем, л

2,5% молоко

Жидкость

? л

6% молоко

% содержание

Итого

? л

Объем, л

2,5%

? л

Объем молока, л

5  0,046 л

% содержание

6%

? л

80%

4,6%

? л

?

60%

? л

?

5 л

х

0,025х

у

0,06у

Обозначим объем 2,5% молока – х, а 6% молока - у. Тогда объем жира в первом молоке 0,025х л, а во втором – 0,06у л. Объем жира в получившемся молоке 5  0,046=0,23 л.

Иван случайно смешал молоко жирностью 2,5% и молоко жирностью 6% . В итоге у него получилось 5 литров молока жирностью 4,6% . Сколько литров молока жирностью 2,5% было у Ивана до смешивания?

Второй этап . Составим и решим систему уравнений:

Иван случайно смешал молоко жирностью 2,5% и молоко жирностью 6% . В итоге у него получилось 5 литров молока жирностью 4,6% . Сколько литров молока жирностью 2,5% было у Ивана до смешивания?

Второй этап . Составим и решим систему уравнений:

Третий этап . Решаем исходную задачу

Следовательно, 2,5% молока взяли 2 литра

Ответ: до смешивания у Ивана было 2 литра 2,5% молока.

Попробуйте решить сами

№ 32.1

№ 32.1. Найдите два числа, если их сумма равна 63, а разность – 19.

Обозначим 1 число за х , а второе за у . Их сумма равна 63, а разность 19.

Составим и решим систему уравнений:

2х=82

х=41

Следовательно, одно число 41, второе – 22.

Ответ: числа 22 и 41.

Молодец !

№ 32.3

№ 32.3. Задача из рассказа А.П.Чехова «Репетитор».

Черное сукно

Цена, руб/аршин

Количество, аршин

3 руб

Синее сукно

Стоимость, руб

х

5 руб

Итого

-

3х

у

5у

138 аршин

540 руб

Составим и решим систему уравнений:

Следовательно, куплено 75 аршин и 63 аршина сукна.

Ответ: купец купил 75 аршин черного и 63 аршина синего сукна.

Молодец !

№ 32.5

№ 32.5. Найти дневную норму сена лошади и коровы.

1 вариант кормежки

Съест 1 животное, кг/дн

Лошадь

Количество животных,шт

?

Корова

Итого сена, кг

4

2 вариант кормежки

?

Итого

Съест 1 животное, кг/дн

?

-

12

?

Количество животных,шт

?

-

3

Итого сена, кг

?

120 кг

?

20

-

-

?

167 кг

х

х

4х

3х

у

у

12у

20у

Обозначим количество сена, съедаемое в день 1 лошадью за х, а коровой -у. Тогда …

читать дальше

Составим и решим систему уравнений:

Значит, дневная норма лошади 9 кг, коровы 7 кг сена.

Ответ: дневная норма сена 9 кг для лошади и 7 кг для коровы.

Молодец !

Урок окончен!!!