Решение задач в целых числах (проектная работа ученика 6 класса)

Исследовательская работа по математике

Задачи, решаемые в натуральных числах

Выполнил:

Мальшаков Максим Дмитриевич

Ученик 6 «А» класса, Яхромской СОШ №2

Руководитель:

Кузьмина Людмила Вячеславна,

Учитель математики, Яхромской СОШ №2

Тип работы:

исследовательский

г.Яхрома, 2021

Оглавление:
стр.

Введение……………………………………………………………………………….3

Глава 1. Немного о диофантовых уравнениях………………………………………4

Глава 2. Решение задач в натуральных числах методом перебора……………...…5

Глава 3 Задача Леонардо Пизанского(Фибоначчи) (1180-1240)………………..…8

Глава 4. Задача из старинных рукописей Л.Ф Магницкого[3]………………...…..9

Заключение……………………………………………………………….……..……11

Список использованной литературы………………………………………………..12

Приложение.«Немного о Диофанте, Леонардо Фибоначчи и Л.Ф.Магницком»... 13

Введение

При решении некоторых задач, которые нельзя решить, получая в ответе дробные величины, меня заинтересовал вопрос: «Нет ли общих формул или методов решения таких задач?». Когда я искал ответ на этот вопрос, то столкнулся с понятием «диофантовые уравнения». Оказалось, что имеется множество алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые решения и такие уравнения называются «неопределенными» уравнениями, потому что, как правило, они имеют много решений.

Эта тема меня очень заинтересовала. Надеюсь, что этот материал представляет информационную ценность для учащихся, учителей и других людей, которые интересуются математикой. В этой работе собраны и описаны некоторые сведения о «диофантовых уравнениях» и показано несколько способов решения задач в натуральных числах.

Актуальность Важно научиться решать задачи в натуральных числах и применять их при решении практических задач.

Проблема исследования – как решаются некоторые задачи в целых числах? Как использовать эти способы в повседневной жизни?

Объект исследования – уравнения и задачи, решаемые в целых числах.

Цель исследования – изучить проблему исследования.

Задачи исследования:

1. Изучить литературу по данной теме.

2. Найти и решить некоторые задачи и привести примеры задач, в которых они могут быть использованы.

3. Понять решения задач.

4. Изучить практическое использование выполненных вычислений для решения старинных и современных задач.

Гипотеза – для решения большого количества практических задач необходимо решать задачи в целых числах.

Методы исследования:

1. Изучение специальной литературы.

2. Обобщение и систематизация материала по данной теме.

3. Примеры использования и решения задач.

Глава 1. Немного о диофантовых уравнениях.[4]

Раздел математики занимающийся изучением целых чисел и их свойств называется теория чисел или высшая арифметика.

Среди целых чисел особое место занимают натуральные числа. Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух (если не ограничиваться только целыми числами). Диофантовы уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями. Диофантовы уравнения связаны с именем древнегреческого математика Диофанта Александрийского. Немного о Диофанте Александрийском приведено в приложении 1. Все его записи собраны в книгу «Арифметика». В «диофантовых» уравнениях должно быть не менее 2-х неизвестных. Данные уравнения имеют много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями. Большой вклад в развитие теории чисел внес Пьер Ферма (1601-1665), которому принадлежат открытия связанные с теорией делимости целых чисел, и теорией «диофантовых» уравнений.

Индусские математики примерно с пятого века также рассматривали неопределенные уравнения первой степени. Некоторые такие уравнения с двумя и тремя неизвестными появились в связи с проблемами, возникшими в астрономии, например, при рассмотрении вопросов, связанных с определением периодического повторения небесных явлений. Теория чисел также применяется в криптографии (науке о методах обеспечения конфедициальности информации). Первое общее решение уравнения ax+by = c, где a, b, c — целые числа, встречается у индийского мудреца Брахмагупты (около 625 года). В 1624 году вышла книга французского математика Баше де Мезирьяка «Problemes plaisans et delectables que se font par les nombres». Баше де Мезирьяк для решения уравнения ax + by = c применил процесс, сводящийся к последовательному вычислению неполных частных и рассмотрению подходящих дробей. После Баше де Мезирьяка в XVII и XVIII веках различные правила для решения неопределенного уравнения первой степени с двумя неизвестными давали Роль, Эйлер, Саундерсон и другие математики

Многие вопросы теории чисел легко сформулировать, но трудно доказать, а ряд вопросов остаются открытыми, например, еще не найдена формулы по которой выводятся все простые числа. Великая теорема Ферма, сформулированная в 1637 году, оставалась без доказательства более 3 столетий и была доказана Эндрю Уалсом в 1995 году. На протяжении веков математики надеялись отыскать общий способ решения любого диофантова уравнения. Однако в 1970 г. ленинградский математик Ю.В. Матиясевич доказал, что такого общего способа быть не может.

К теории чисел также относится вопрос о целочисленных решениях различных видов уравнений. «Диофантовое» уравнение вида aX + bY = c, где a,b,c — целые числа, X и Y — неизвестные числа, является простейшим уравнением в целых числах. Если c делится на наименьший общий делитель чисел а и b, то уравнение имеет целочисленные решения. В этом случае с помощью алгоритма Евклида находится решение уравнения aX + bY = 1, из которого потом получаются все решения «диофантового» уравнения. Если же с не делится на НОД(a,b), то исходное уравнение не имеет решений в целых числах. Другим целочисленным уравнением является уравнение X²+Y²=Z² (уравнение Пифагора). Вавилонским математикам было известно, что оно имеет бесконечное множество решений, а древнегреческий математик Диофант описал способ нахождения всех решений данного уравнения.

Условно выделяют следующие методы решения диофантовых уравнений: метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение; метод разложения на множители; метод, основанный на выражении одной переменной через другую и выделении целой части дроби; методы, основанные на выделении полного квадрата; метод решения уравнения с двумя переменными как квадратного относительно одной из переменных и некоторые другие. Рассмотрим более подробно метод полного перебора всех возможных значений переменных и метод, основанный на выражении одной переменной через другую и выделении целой части дроби, которые могут применяться для решения задач.

Глава 2. Решение задач в натуральных числах методом перебора.

В диофантовых уравнениях должно быть не менее 2-х неизвестных. Данные уравнения имеют много решений, поэтому их называют «неопределенными» уравнениями. Один из способов решения таких уравнений- метод перебора всех возможных значений. В этой работе рассмотрены только задачи, приводящие к уравнениям первой степени. Рассмотрим некоторые примеры решения задач этим методом.

Задача 1. В клетке сидят куры и кролики. Всего у них 20 лап. Сколько может быть в клетке кур и кроликов?

Решение:

Задача решается методом подбора.

Эту же задачу можно решить методом линейного уравнения.

2X + 4Y = 20 кур(X) кроликов (Y)

2(X + 2Y) =20 8 1

X + 2Y = 20:2 6 2

X + 2Y = 10 4 3

X = 10 – 2Y 2 4

0 5

Ответ: кур и кроликов может быть: 8 и 1; 6 и 2; 4 и 3; 2 и 4; 0 и 5

Задача 2. У Алеши было 50 рублей. Ему понравились открытки по 8 руб. и по 5 руб. Продавец сказал, что у него нет денег для сдачи. Тогда Алеша решил купить открытки на все 50 рублей. Удастся ли ему это сделать? .[1]

Решение: Очевидно, что он сможет купить 10 открыток по 5 рублей, но ему хотелось и открытки по 8 рублей. Если он возьмет 1 открытку по 8 рублей, то у него останется 42 рубля и он на них не сможет купить открытки по 5 рублей без сдачи. Рассмотрим все возможные варианты, используя метод перебора.

Из таблицы видно, что у Алеши есть два варианта покупки: 10 открыток по 5 руб. и 5 открыток по 8 руб. или 2 открытки по 5 руб.

Задача 3. Подданые привезли в дар шаху 300 драгоценных камней. Камни были разложены в маленькие шкатулки по 15 штук в каждой и в большие – по 40 штук в каждой. Сколько было тех и других шкатулок, если известно, что маленьких шкатулок было меньше, чем больших? .[1]

Решение:

Обозначим через Х количество маленьких шкатулок, а через Y – количество больших, тогда количество камней в маленьких шкатулках будет 15Х, а в больших – 40Y. По условию мы знаем, что всего привезли в дар шаху 300 драгоценных камней. Получаем уравнение,

15Х + 40Y = 300

Заметим, что все коэффициенты делятся на 5 и, тогда мы можем разделить их на 5 и получим уравнение

3Х + 8Y = 60

3X = 60 – 8Y

Чтобы не перебирать все значения Y , заметим, что оно должно делиться нацело на 3, иначе мы не получим решения в натуральных числах. При этом число Х должно быть меньше числа Y по условию задачи.

Рассмотрим возможные варианты:

Как мы видим, составление уравнения и применение метода понижения коэффициентов позволил сократить рассмотрение большого количества возможных вариантов. И дополнительное условие задачи позволило решить ее единственным вариантом.

Ответ: В дар было привезено 4 маленьких и 6 больших шкатулок с драгоценными камнями.

Задача 4. Из 30 спичек Володя сложил треугольники и квадраты. Сколько фигур каждого вида у него получилось, если на треугольники он тратил по 3 спички, а на квадраты – по 4?[1]

Решение:

Обозначим через Х количество треугольников, а через Y – количество квадратов, тогда количество спичек для составления треугольников равно 3Х, а для составления квадратов -4Y. По условию известно, что было использовано 30 спичек. Получим уравнение

3Х + 4Y = 30, поделим на 3 каждый коэффициент, получим

Х + 4/3Y = 10

Из уравнения видно, что Y должно делиться на 3, а тогда Y может быть только 3, а Х получается равным 6. Если Y взять равным 6, то Х должно быть равным 10 -12 =-2, чего быть не может.

Ответ: Володя сложил 6 треугольников и 3 квадрата.

Глава 3. Задача Леонардо Пизанского(Фибоначчи) (1180-1240)

К диофантовым уравнениям приводят задачи, по смыслу которых неизвестные значения величин могут быть только целыми числами. С древнейших времен накопилось много способов решения конкретных диофантовых уравнений. Следующую задачу связывают с именем известного итальянского математика Леонардо Пизанского(Фибоначчи), автора «Книги об абаке», которая долгое время являлась хранилищем сведений по арифметике и алгебре (смотри приложение 1).

Рассмотрим эту задачу. «Некто купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих тиц за каждых трех воробьев заплачена 1 монета, за каждых двух горлиц – также 1 монета и, наконец, за каждого голубя – по 2 монеты. Сколько было птиц каждой породы?» [4]

Решение

При рассмотрении данной задачи, можно заметить, что число воробьев должно делиться на 3, а число горлиц на 2, а иначе в целых числах задачу решить не сможем. Причем, если мы будем перебирать все возможные варианты, то это достаточно сложное решение. Рассмотрим, какие возможны случаи, если число воробьев делится на 3, число горлиц на 2, тогда число голубей(1 голубь стоит 2 рубля, значит их меньше 15) 15- число воробьев – число горлиц. Составим таблицу возможных вариантов.

Как видим, некоторые варианты были не разобраны, так как они не удовлетворяли условию задачи. Например (14,9, количество горлиц нечетное), (12,3,-),(12,9,-).

Попробуем решить эту задачу с помощью составления уравнения. Пусть купили Х воробьев, Y горлиц, тогда голубей купили (30 – Х – Y). Составим уравнение:

(1/3) Х + (1/2) Y +2・(30 – Х – Y) = 30,

которое преобразуется к виду: 10Х +9Y = 180

Из уравнения видим, что Х должно делиться на 9, а Y – на 10. Далее можем использовать тот же метод перебора.

Ответ: Некто купил 9 воробьев, 10 горлиц и 11 голубей.

Мы нашли решение, но оно методом перебора вариантов решается значительно сложнее. А при увеличении числа переменных – решение становиться довольно сложной задачей.

Глава 4. Старинная задача из старинных рукописей Л.Ф Магницкого[3].

Любопытно, что задачи в натуральных числах приведены в старинных рукописях и в «Арифметике» Л.Ф.Магницкого. Рассмотрим одну из таких задач.

Задача. Двенадцать человек несут 12 хлебов: каждый мужчина несет по 2 хлеба, женщина – по половине хлеба, а ребенок по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?

Решение.

Задача может быть решена двумя способами. Один способ использует метод рассуждений, описанный в книге «Старинные занимательные задачи». «…Как могут распределиться 12 хлебов между мужчинами, женщинами и детьми. Попробуем мысленно распределить хлеба между ними. Сначала дадим всем по половине хлеба. При этом будет роздано 6 хлебов. Чтобы удовлетворить условию задачи, нужно разделить оставшиеся 6 хлебов мужчинам, а затем взять у каждого из детей по четверти хлеба и также разделить этот хлеб среди мужчин. Каждому мужчине до его нормы не хватает полтора хлеба. Шесть хлебов полтора хлеба можно распределить между четырьмя мужчинами после чего каждый из них будет нести по два хлеба. Отсюда следует, что мужчин не менее пяти. Иначе излишки хлеба, имеющиеся у детей, некому было бы нести. Но если бы мужчин было шесть, то они сами несли бы весь хлеб, а женщинам и детям ничего бы не осталось. Итак, имеется всего пять мужчин. Пятому мужчине до его нормы не хватает полтора хлеба, и именно эти полтора хлеба нужно собрать по четрерти у каждого из детей. Так как полтора хлеба состоят их из щести четверте , то детей имеется всего шестеро и, значит, количество женщин равно 12 – 5 -6 = 1. Следовательно, хлеба несли 5 мужчин, одна женщина и 6 детей.» [3]

Мною приводится решение с использованием метода составления уравнения с двумя неизвестными. Пусть X - число женщин, которые несут по 1/2 хлеба, а Y – число детей, несущих по 1/4 хлеба, тогда число мужчин, несущих по 2 хлеба – (12 – X – Y). Так как всего несли 12 хлебов, то можно составить уравнение:

(1/2)X + (1/4)Y + 2 (12 – X – Y) =12, умножим уравнение на 4 и проведем преобразования, получим следующее уравнение:

6X + 7Y = 48 или X = 8 – (7/6) Y

Из уравнения видим, что для решения уравнения в целых числах значение Y должно делиться на 6. Первое число, которое делится на 6 – это 6, тогда Х равно 8-7 =1, а тогда число мужчин, несущих по 2 хлеба равно 5 (12 – 6 – 1 = 5) . Число Y равное 12 уже не удовлетворяют условиям задачи. Значит, имеется единственное решение заданной задачи.

Ответ: Хлеба несли 5 мужчин, одна женщина и 6 детей.

Заключение

После изучения этой темы в различной литературе и «интернет» я пришел к выводу: имеется множество интересных задач, которые используют уравнения с несколькими неизвестными, принимающими натуральные значения. Такие задачи возникали в жизненных ситуациях, а в III веке были описаны греческим математиком Диофантом в его книге «Арифметика». Ее изучали математики всех поколений. Решение уравнений в натуральных числах – очень увлекательная задача. С древнейших времен накопилось много способов решения некоторых диофантовых уравнений, но до сих пор многие задачи так и остаются не решенными.

В этой работе были рассмотрены только задачи, приводящие к уравнениям первой степени и два метода их решения; метод перебора возможных вариантов и метод составления уравнения. Эти задачи не являются изобретением математиков, они возникли в реальных жизненных ситуациях, при решении практических задач.

В процессе изучения литературы я выяснил, что общего способа решения любого диофантового уравнения нет, но имеются некоторые методы их решения. Это доказал в 1970 г. Ленинградский математик Ю.В.Матиясевич. А задачи, приводящие к линейным уравнениям, научились решать давно. И что необходимо научиться пользоваться этими способами решения.

Практическая значимость данной работы заключается в том, что собранные материалы могут быть использованы учащимися и учителями для дополнительных занятий по математике и при подготовке к олимпиадам.

Список использованной литературы

1. Математика. Арифметика.Геометрия. Задачник. 6 класс: учебное пособие для общеобразовательных организаций - М.:Просвещение, 2016.

2. Практические задачи по математике: 5-6-й классы: Учебное пособие/ О.А.Захарова; под ред. Р.Г.Чураковой. -М.:Академкнига/Учебник, 2007

3. «Старинные занимательные задачи». Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. – М.:Наука.Главная редакция физико-математической литературы, 1985.

4. Шевкин А.В., Текстовые задачи по математике: 7-11.- М.:ИЛЕКСА, 2016.

5. «Энциклопедический словарь юного математика»/Сост.А.П.Савин.-М.: Педагогика, 1985

Приложение:

«Немного о Диофанте, Леонардо Пизанском (Фибоначчи) и Л.Ф.Магницком»

Древнегреческий математик Диофант (около 250 года нашей эры). О подробностях жизни Диофанта Александрийского практически ничего не известно. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла (II век до нашей эры); с другой стороны, о Диофанте пишет Теон Александрийский (около 350 года нашей эры) — откуда можно сделать вывод, что его жизнь протекала в границах этого периода. Возможное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его «Арифметика» посвящена «достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий — не кто иной, как епископ Дионисий Александрийский, живший в середине III века нашей эры. Все его записи собраны в книгу «Арифметика».

Л еонардо Пизанский(Фибоначчи) (1180-1240).

первый крупный математик в средневековой Европе. Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи. Леонардо Пизанский изучал математику в Алжире у арабских учителей. Позже Фибоначчи посетил Египет, Сирию, Византию, Сицилию. Он ознакомился с достижениями античных и индийских математиков в арабском переводе. На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки. Труд Леонардо Фибоначчи «Книга абака» способствовал распространению в Европе позиционной системы счисления более удобной для вычислений, чем римская(непозиционная). Позиционная система приобрела в Европе популярность в эпоху Возрождения.

Благодаря хорошему образованию Леонардо удалось обратить на себя внимание императора Фридриха II во время математических турниров. Впоследствии Леонардо пользовался покровительством императора. Несколько лет Фибоначчи жил при дворе императора. К этому времени относится его работа «Книга квадратов», написанная в 1225 году. Книга посвящена диофантовым уравнениям и ставит Фибоначчи в один ряд с такими учёными, развивавшими теорию чисел как Диофант и Ферма. [ Википедия, ru.wikipedia.org]^[

^а

Магницкай Леонтий Филиппович (1669 – 1739). Сведения о жизни и деятельности Л.Ф.Магницкого немногочисленны. Известно, что родился он 18 июня 1669 г. в Осташковской слободе Тверской губернии. Происходил из крестьян. В конце XVII в. жил в Москве, давая частные уроки детям и занимаясь самообразованием.

В 1701 г. Леонтий Филлипович был назначен в помощь англичанам-математикам, преподававшим в Школе математических и навигационных наук, только что открывшейся в Москве. В 1715 г. Магницкий стал здесь старшим учителем и заведующим ее учебной частью.

Магницкому принадлежит первый русский учебник по математике «Арифметика, сиречь наука числительная», изданный в 1703 г. Тиражом 2400 экземпляров. Книга до середины XVIII в. была основным пособием по математике в России.[3].