Решение заданий второй части ОГЭ

№ 1

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB=14, DC=42, AC=52 .

Решение

Обозначим MC=x. Тогда AM=(52−x).

Так как AB∥CD, то накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей BD равны, то есть ∠ABM=∠CDM.

Также ∠AMB=∠CMD как вертикальные. Следовательно, △ABM∼△CMD по двум углам. Отсюда получаем: AB:CD=AM:MC

14:42=(52−x):x

x=39.

Ответ: 39

№ 2

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK:KA=3:4, KM=18.

Решение

Так как BK:KA=3:4, то можно обозначить BK=3x, KA=4x.

Так как KM∥AC, то ∠BKM=∠BAC как соответственные при секущей AB. Также ∠B – общий для △ABC и △KBM. Следовательно, по двум углам △ABC∼△KBM.

Тогда можно записать KM:AC=KB:BA

18:AC=3x:7x

AC=42.

Ответ: 42

№ 3

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=17, AC=51, NC=32.

Решение

Обозначим BN=x.

Так как NM∥AC, то ∠BMN=∠BAC как соответственные при секущей AB.

Также ∠B – общий для △ABC и △MBN. Следовательно, по двум углам △ABC∼△MBN. Тогда можно записать BN:BC=MN:AC

x:(x+32)=17:51

x=16.

Ответ: 16

№ 4

Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Решение

Рассмотрим прямоугольный △ABC и его высоту CH=h.

С одной стороны, площадь прямоугольного треугольника равна S=12AC⋅BC. С другой стороны, S=12CH⋅AB. Найдем AB по теореме Пифагора: AB=182+242=30.

(Легкий способ вычисления: заметим, что прямоугольный треугольник с катетами 18 и 24 подобен прямоугольному треугольнику с катетами 3 и 4 с коэффициентом подобия 6. Следовательно, если у треугольника с катетами 3 и 4 гипотенуза равна 5, то у треугольника с катетами 18 и 24 гипотенуза равна 5⋅6=30.)  

Таким образом, получаем:

12⋅18⋅24=12⋅h⋅30

h=14,4

Ответ: 14,4

№ 5

Точка H является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC.

Найдите AB, если AH=6, AC=24.

Решение

Из условия следует, что CH=24−6=18.

По свойству прямоугольного треугольника высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое между отрезками, на которые она делит гипотенузу, то есть BH=AH⋅HC.

Следовательно, BH=6⋅18=63.

Тогда по теореме Пифагора для △AHB: AB=(63)2+62=12.

Ответ: 12