Реферат по математике

Реферат потеме: « разработка предложения по использованию электронной вычислительной техники при изучении математике.»

Технологии: Информационно-коммуникативные технологии.

Оборудование: Компьютер; проектор, интерактивная доска; программа «Advanced Grapher», классная доска; учебник «Алгебра 9 класс». (Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. Москва «Просвещение», 2011г.),

Цели:

• Образовательные – повторить понятие решения системы неравенств с двумя переменными; формировать умение решать системы неравенств с двумя переменными, отработать навыки построения множества решений систем неравенств на координатной плоскости;

• Развивающие – формирование графической и функциональной культуры учащихся;

• Воспитательные – воспитание интереса к математике и повышение мотивации учебной деятельности через внедрение компьютерных технологий в процесс обучения, побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.

Ход занятия

Повторение и закрепление пройденного материала:

- Что называется решением системы неравенств с двумя переменными?

- как изображается на плоскости множество решений системы неравенств с двумя переменными?

- Что может представлять собой множество решений системы? (сегмент, угол, полоса и т.д.)

Учитель. Давайте повторим алгоритм решения системы неравенств с двумя переменными:

Пусть мы имеем неравенство с двумя переменными одного из следующих видов:

y f(x); y ≥ f(x); y

Для изображения множества решений такого неравенства на координатной плоскости поступают следующим образом:

1. Строим график функции y = f(x), который разбивает плоскость на две области.

2. Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполнимость исходного неравенства для этой точки. Если в результате проверки получается верное числовое неравенство, то заключаем, что исходное неравенство выполняется во всей области, которой принадлежит выбранная точка. Таким образом, множеством решений неравенства – область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.

3. Если неравенство строгое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), включают в множество решений данного неравенства и границу в таком случае изображают сплошной линией.

Пример 1

Ребята в тетрадях рисуют графики функций, а учитель поэтапно показывает графики на интерактивной доске .

Как можно проверить правильно ли показано множество решений? [Правило пробной точки]

Пример 2. Выполнение в тетради, затем поэтапная проверка на интерактивной доске 

Пример 3 Выполнение в тетради, затем поэтапная проверка на интерактивной доске.

Пример 4.

Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой
{уx² +2;
{y+x1;
{ x² + y² ≤ 9.

Решение.

Строим для начала графики следующих функций 

y = x² + 2 – парабола,

y + x = 1 – прямая

x² + y² = 9 – окружность.

Теперь разбираемся с каждым неравенством в отдельности.

1) y x² + 2.

Берем точку (0; 5), которая лежит выше графика функции. 
Проверяем неравенство: 5 0² + 2 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше данной параболы y = x² + 2, удовлетворяют первому неравенству системы. Закрасим их желтым цветом.

2) y + x 1.

Берем точку (0; 3), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 3 + 0 1 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше прямой y + x = 1, удовлетворяют  второму неравенству системы. Закрасим их зеленой штриховкой.

3) x² + y² ≤ 9.

Берем точку (0; -4), которая лежит вне окружности x² + y² = 9. 
Проверяем неравенство: 0² + (-4)² ≤ 9 – неверно.

Следовательно, все точки, лежащие вне окружности x² +y² =9, не удовлетворяют  третьему неравенству системы. Тогда можем сделать вывод о том, что все точки, лежащие внутри окружности x² + y² = 9, удовлетворяют  третьему неравенству системы. Закрасим их фиолетовой штриховкой.

Не забываем о том, что если неравенство строгое, то соответствующую граничную линию следует рисовать пунктиром.

Пример 5

Изобразим множество точек, которые являются решениями системы неравенств  и вычислим площадь этой фигуры.

Запишем систему неравенств в следующем виде:  или 

Графиком первого неравенства является круг с центром в точке O1(4; -4) и радиусом   Графиком второго неравенства являются точки, расположенные за окружностью с центром в точке O2(2; -2) и радиусом   Итак, решениями данной системы неравенств являются точки, расположенные между двумя касающимися в начале системы координат окружностями (эти точки заштрихованы).

Найдем площадь этой фигуры. Она равна разности площадей окружностей:   Таким образом, площадь заштрихованной фигуры ровно в 3 раза больше площади малого круга.

Литература: «Живая математика.»Москва . Г.Б.Шабат(научный руководитель.)

Алгебра 9 класс. Уч.для общеобразовательных школ. Авторы Ю.Н. Макарычев и др. «Просвещение» 2011 год

Алгебра 8 класс. Уч.для общеобразовательных школ. Авторы Ю.Н. Макарычев и др. «Просвещение» 2011 год

С.С.Минаева «Возможности электронных образовательных ресурсов при обучении математике.» Лекции 1-4 и 5-8. Дистанционные курсы повышения квалификации.

Задача 2.

Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой
{уx² +2;
{y+x1;
{ x² + y² ≤ 9.

Решение.

Строим для начала графики следующих функций (рис. 2):

y = x² + 2 – парабола,

y + x = 1 – прямая

x² + y² = 9 – окружность.

Теперь разбираемся с каждым неравенством в отдельности.

1) y x² + 2.

Берем точку (0; 5), которая лежит выше графика функции. 
Проверяем неравенство: 5 0² + 2 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше данной параболы y = x² + 2, удовлетворяют первому неравенству системы. Закрасим их желтым цветом.

2) y + x 1.

Берем точку (0; 3), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 3 + 0 1 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше прямой y + x = 1, удовлетворяют  второму неравенству системы. Закрасим их зеленой штриховкой.

3) x² + y² ≤ 9.

Берем точку (0; -4), которая лежит вне окружности x² + y² = 9. 
Проверяем неравенство: 0² + (-4)² ≤ 9 – неверно.

Следовательно, все точки, лежащие вне окружности x² + y² = 9, не удовлетворяют  третьему неравенству системы. Тогда можем сделать вывод о том, что все точки, лежащие внутри окружности x² + y² = 9, удовлетворяют  третьему неравенству системы. Закрасим их фиолетовой штриховкой.

Не забываем о том, что если неравенство строгое, то соответствующую граничную линию следует рисовать пунктиром. Получаем следующую картинк Задача 2.

Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой
{уx² +2;
{y+x1;
{ x² + y² ≤ 9.

Решение.

Строим для начала графики следующих функций (рис. 2):

y = x² + 2 – парабола,

y + x = 1 – прямая

x² + y² = 9 – окружность.

Теперь разбираемся с каждым неравенством в отдельности.

1) y x² + 2.

Берем точку (0; 5), которая лежит выше графика функции. 
Проверяем неравенство: 5 0² + 2 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше данной параболы y = x² + 2, удовлетворяют первому неравенству системы. Закрасим их желтым цветом.

2) y + x 1.

Берем точку (0; 3), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 3 + 0 1 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше прямой y + x = 1, удовлетворяют  второму неравенству системы. Закрасим их зеленой штриховкой.

3) x² + y² ≤ 9.

Берем точку (0; -4), которая лежит вне окружности x² + y² = 9. 
Проверяем неравенство: 0² + (-4)² ≤ 9 – неверно.

Следовательно, все точки, лежащие вне окружности x² + y² = 9, не удовлетворяют  третьему неравенству системы. Тогда можем сделать вывод о том, что все точки, лежащие внутри окружности x² + y² = 9, удовлетворяют  третьему неравенству системы. Закрасим их фиолетовой штриховкой.

Не забываем о том, что если неравенство строгое, то соответствующую граничную линию следует рисовать пунктиром. Получаем следующую картинку .

Получаем следующую картинку

Уроки 52-53. Системы неравенств с двумя переменными

Цель: построение решения системы неравенств с двумя переменными на координатной плоскости.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

- Что называется решением системы неравенств с двумя переменными?

- как изображается на плоскости множество решений системы неравенств с двумя переменными?

- Что собой представляет множество решений первой системы? (сегмент)

Второй системы? (угол) Третьей? (полоса)

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемых неравенством.

Вариант 2

Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемых неравенством.

III. Изучение нового материала

В ряде случаев на координатной плоскости приходится изображать множество решений системы неравенств с двумя переменными. Напомним, что пара значений неизвестных, которая одновременно является решением и первого и второго неравенства, называется решением системы двух неравенств с двумя переменными.

Пример 1

Рассмотрим систему неравенств с двумя переменными 

Пара значений переменных (1; 4) является решением системы неравенств, т. к. является решением каждого неравенства:  или 

Пара значений переменных (1; 1) не является решением системы неравенств, т. к. не является решением первого неравенства:  или 

Множеством решений системы неравенств с двумя переменными является пересечение множеств решений всех неравенств, входящих в систему. На координатной плоскости множество решений системы неравенств изображается множеством точек, являющихся общей частью множеств, представляющих собой решения каждого неравенства системы.

Пример 2

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы неравенств 

Первое неравенство системы задает на координатной плоскости круг с центром в начале координат и радиусом, равным 1. Второе неравенство задает полуплоскость, расположенную ниже прямой 2х + у = 0.

Итак, решениями данной системы неравенств являются точки полукруга (они заштрихованы).

Пример 3

На плоскости х0у изобразим точки, удовлетворяющие системе неравенств 

Изобразим сначала точки, удовлетворяющие первому неравенству. Построим график границы - график функции у = х2 - 2х - 1. Эта парабола пересекает ось 0у в точке у = -1, ось 0х в точках  Вершина параболы находится в точке (1; -2), ветви параболы направлены вверх. Эта кривая разбила координатную плоскость на часть, заключенную между ветвями параболы, и часть, находящуюся за ветвями параболы. Взяв любую точку, например (1; -1), из первой части плоскости, видим, что она удовлетворяет неравенству у х2 - 2х - 1. Поэтому все точки этой части также удовлетворяют неравенству (за исключением границы, т. к. неравенство строгое).

Аналогично, построив границу (х - 1)2 + (у + 2)2 = 1, видим, что неравенству (х - 1)2 + (у + 2)2 ≤ 1 удовлетворяют внутренние и граничные точки окружности.

Штриховкой показаны те точки, которые удовлетворяют системе неравенств. Причем стрелки показывают, что данная граница (часть параболы) не входит в множество решений системы неравенств.

Пример 4

Изобразим множество точек, которые являются решениями системы неравенств  и вычислим площадь этой фигуры.

Запишем систему неравенств в следующем виде:  или 

Графиком первого неравенства является круг с центром в точке O1(4; -4) и радиусом   Графиком второго неравенства являются точки, расположенные за окружностью с центром в точке O2(2; -2) и радиусом   Итак, решениями данной системы неравенств являются точки, расположенные между двумя касающимися в начале системы координат окружностями (эти точки заштрихованы).

Найдем площадь этой фигуры. Она равна разности площадей окружностей:   Таким образом, площадь заштрихованной фигуры ровно в 3 раза больше площади малого круга.

IV. Задание на уроке

№ 496 (а, б); 497 (б, г); 498 (а); 499 (б); 500 (а, в); 501 (а); 502 (б); 503.

V. Задание на дом

№ 496 (в, г); 497 (а, в); 498 (в); 499 (а); 500 (б, г); 501 (б); 502 (а).

VI. Подведение итогов урока



рок усвоения новых знаний. Алгебра. 9 класс.

Тема: Системы неравенств с двумя переменными.

Цель: Ознакомить обучающихся с понятиями: системы неравенств и решения систем неравенств с двумя переменными; использовать сведения о графиках уравнений с двумя переменными при иллюстрации множеств решений некоторых простейших систем неравенств с двумя переменными; развивать навыки работы в парах, закреплять умение работать с текстом учебника, анализировать прочитанное, выделять главное.

Оборудование: учебник «Алгебра 9» Макарычев Ю.Н., проектор, сканер.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

1. два ученика у доски делают рисунок к решению домашнего задания (№487а,б)

2. остальные выполняют задание:

Какое множество точек задается неравенством: х²+у²-6х-4у+13≤0? (точка(3;2))

1. проверка работ (с комментариями).

1. Изучение нового материала.

Целеполагание. Что представляет собой решение неравенства с двумя переменными, вы уже знаете. Как вы полагаете, что будет собой представлять решение системы неравенств такого типа? Целью сегодняшнего урока и будет изучение систем неравенств с двумя переменными и их рашание. Проверить свое предположение вы можете, прочитав раздел учебника по данной теме.

1) Самостоятельная работа обучающихся с текстом учебника (п.22). Ученики первого ряда детально разбирают пример 1: {х²+у²≤4, х+у≥1, второго – пример 2: {у≥х-2, у≥-1.5х+3, третьего – пример 3: {у≤2х+1, у≥2х-2.

2) Проверка понимания прочитанного.

- Что называется решением системы неравенств с двумя переменными?

- как изображается на плоскости множество решений системы неравенств с двумя переменными?

- Что собой представляет множество решений первой системы? (сегмент)

Второй системы? (угол) Третьей? (полоса)

1. Закрепление.

1. №496 Является ли решением системы неравенств {х²-2у˃7, 3х+у˃3 пара чисел: (6;-5) – проверяет ученик у доски, (4;2) – ученики первого ряда, (-5;1) – второго, (-2;-1) – третьего. После проверки озвучивают выводы.

2. №497(а,б)

Работа в парах. Показать штриховкой на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

а) {у≥х-3, у≤-х+3;

б) {х-2у˂4, х+у˂3.

Обсудите, к какому виду удобно привести неравенства системы в задании б).

Физминутка.

Ребята выполняют разминку по предотвращению развития сколиоза, а также гимнастику для глаз.

(Во время физминутки учитель сканирует одну из работ обучающихся, вносит ее во флипчарт для возможности коррекции во время анализа)

1. Проверка выполненных заданий с комментариями и коррекцией (при необходимости).

2. Дифференцированное закрепление:

Обучающиеся, справившиеся с предыдущим заданием без замечаний, выполняют №500, остальные решают №497 (в,г), комментируя ход решения и делая рисунок на доске.

1. Домашнее задание.

(Дифференцированное) №498, 504(повт.) или №501 - исследование, 504(повт.)

1. Итог урока.

Рефлексия. Как вы считаете, цель, поставленная в начале урока, достигнута вами? Из чего складывается решение системы неравенств с двумя переменными? Какие задания вызвали затруднения? Что помогло справиться с ними?

Решение неравенства с двумя переменными, а тем более системы неравенств с двумя переменными, представляется достаточно сложной задачей. Однако есть простой алгоритм, который помогает легко и без особых усилий решать на первый взгляд очень сложные задачи такого рода. Попробуем в нем разобраться.

Пусть мы имеем неравенство с двумя переменными одного из следующих видов:

y f(x); y ≥ f(x); y

Для изображения множества решений такого неравенства на координатной плоскости поступают следующим образом:

1. Строим график функции y = f(x), который разбивает плоскость на две области.

2. Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполнимость исходного неравенства для этой точки. Если в результате проверки получается верное числовое неравенство, то заключаем, что исходное неравенство выполняется во всей области, которой принадлежит выбранная точка. Таким образом, множеством решений неравенства – область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.

3. Если неравенство строгое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), включают в множество решений данного неравенства и границу в таком случае изображают сплошной линией.
А теперь рассмотрим несколько задач на эту тему.

Задача 1.

Какое множество точек задается неравенством x · y ≤ 4?

Решение.

1) Строим график уравнения x · y = 4. Для этого сначала преобразуем его. Очевидно, что x в данном случае не обращается в 0, так как иначе мы бы имели 0 · y = 4, что неверно. Значит, можем разделить наше уравнение на x. Получим: y = 4/x. Графиком данной функции является гипербола. Она разбивает всю плоскость на две области: ту, что между двумя ветвями гиперболы и ту, что снаружи их.

2) Выберем из первой области произвольную точку, пусть это будет точка (4; 2). 
Проверяем неравенство: 4 · 2 ≤ 4 – неверно.

Значит, точки данной области не удовлетворяют исходному неравенству. Тогда можем сделать вывод о том, что множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.

3) Так как неравенство нестрогое, то граничные точки, то есть точки графика функции y = 4/x, рисуем сплошной линией.

Закрасим множество точек, которое задает исходное неравенство, желтым цветом (рис. 1).

Задача 2.

Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой
{уx² +2;
{y+x1;
{ x² + y² ≤ 9.

Решение.

Строим для начала графики следующих функций (рис. 2):

y = x² + 2 – парабола,

y + x = 1 – прямая

x² + y² = 9 – окружность.

Теперь разбираемся с каждым неравенством в отдельности.

1) y x² + 2.

Берем точку (0; 5), которая лежит выше графика функции. 
Проверяем неравенство: 5 0² + 2 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше данной параболы y = x² + 2, удовлетворяют первому неравенству системы. Закрасим их желтым цветом.

2) y + x 1.

Берем точку (0; 3), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 3 + 0 1 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше прямой y + x = 1, удовлетворяют  второму неравенству системы. Закрасим их зеленой штриховкой.

3) x² + y² ≤ 9.

Берем точку (0; -4), которая лежит вне окружности x² + y² = 9. 
Проверяем неравенство: 0² + (-4)² ≤ 9 – неверно.

Следовательно, все точки, лежащие вне окружности x² + y² = 9, не удовлетворяют  третьему неравенству системы. Тогда можем сделать вывод о том, что все точки, лежащие внутри окружности x² + y² = 9, удовлетворяют  третьему неравенству системы. Закрасим их фиолетовой штриховкой.

Не забываем о том, что если неравенство строгое, то соответствующую граничную линию следует рисовать пунктиром. Получаем следующую картинку (рис. 3).

Искомая область – это область, где все три раскрашенных области пересекаются друг с другом (рис. 4).

Задача 3.

Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой:
{x² +y² ≤16;
{x≥-y;
{x² + y² ≥ 4.

Решение.

Строим для начала графики следующих функций:

x² + y² = 16 – окружность,

x = -y – прямая

x² + y² = 4 – окружность (рис. 5).

Теперь разбираемся с каждым неравенством в отдельности.

1) x² + y² ≤ 16.

Берем точку (0; 0), которая лежит внутри окружности x² + y² = 16.
Проверяем неравенство: 0² + (0)² ≤ 16 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие внутри окружности x² + y² = 16, удовлетворяют  первому неравенству системы.
Закрасим их красной штриховкой.         

2) x ≥ -y.

Берем точку (1; 1), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 1 ≥ -1 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше прямой x = -y, удовлетворяют  второму неравенству системы. Закрасим их синей штриховкой.

3) x² + y² ≥ 4.

Берем точку (0; 5), которая лежит вне окружности x² + y² = 4. 
Проверяем неравенство: 0² + 5² ≥ 4 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие вне окружности x² + y² = 4, удовлетворяют  третьему неравенству системы. Закрасим их голубым цветом.

В данной задаче все неравенства нестрогие, значит, все границы рисуем сплошной линией. Получаем следующую картинку (рис. 6).

Искомая область – это область, где все три раскрашенных области пересекаются друг с другом (рис 7).