Решение математических задач в углубленном курсе информатики

Решение математических задач в углубленном курсе информатики

В современном информационном обществе программирование считают второй грамотностью. Деятельность по составлению программ с использованием ПЭВМ не является специфической для какой-то одной области, ею пронизываются все сферы материального, научно-технического, социально-экономического и информационного производства. Навыки алгоритмизации и программирования приобретают всё более фундаментальный характер и становятся таким же элементом культуры, как умение читать, писать и излагать свои мысли. Целью предлагаемых статей является помочь учителям информатики в более глубоком усвоении учениками основ алгоритмизации, в умении выделять главное, в грамотном использовании конструкций языка программирования при решении математических задач. Программирование – это искусство, которому надо учить, которым следует овладевать уже в школьные годы, чтобы достичь определенных успехов в данной области.

Использование рекуррентных соотношений для вычисления сумм последовательностей

Тема. Оператор цикла (рекуррентные соотношения).

Задача 1. Вычислить сумму последовательности

S = 1+(1+1/2)+(1+1/2+1/3)+…+(1+1/2+…+1/n).

- для суммы S_i = S_i-1+a_i , a₀ = 0, S₀ = a₀ , (i = 1, 2,…, n).

Определим переменные, используемые в алгоритме для решения задачи:

n – индекс последнего члена последовательности;

i - индекс текущего(ей) члена(суммы) последовательности;

s – текущая сумма последовательности, результат;

a – текущий член последовательности.

Алгоритм на языке PASCAL выглядит следующим образом.

{Вычисление суммы последовательности}

const n=10;

var s, a:real;

i:byte;

begin

{Начальная установка}

a:=0; s:=a;

for i:=1 to n do begin

a:=a+1/i;

s:=s+a

end;

writeln(‘сумма=’,s:10:4);

end.

Для n = 10 имеем S = 22.2187.

Алгоритм в Excel выглядит следующим образом.

Задача 2. Вычислить значение функции , заданной в виде ряда Тейлора .

Разделив член последовательности на , имеем

.

Следовательно, общий член последовательности будет вычисляться по рекуррентной формуле

, ).

Определим переменные, используемые в алгоритме для решения задачи:

n – индекс последнего члена последовательности;

i - индекс текущего(ей) члена(суммы) последовательности;

x – значение ;

mn – значение ;

s – текущая сумма последовательности, результат;

a – текущий член последовательности;

f – вспомогательная переменная.

Алгоритм на языке PASCAL выглядит следующим образом.

{Вычисление суммы последовательности}

const n=5;

var s, a, x, mn, f:real; i:byte;

begin

writeln(‘Введите x, 1

readln(x);

{Начальная установка}

a:=x; s:=a; mn:=-x*x; f:=1;

for i:=1 to n do begin

f:=f+2; a:=a*mn/(f-1)/f; s:=s+a end;

writeln(‘сумма=’,s:10:4);

end.

Для n = 5, x = 1.5 имеем S = 0.9975.

Для n = 5, x = /3 имеем S = 0.8660.

Алгоритм в Excel выглядит следующим образом.

A B C D E F G

Задача 3. Вычислить сумму последовательности

S = ,

где - индекс последнего члена последовательности; – последний член последовательности; 2 ≤ ≤ 3.

Выделим в общем члене последовательности (=1,2,…,), очевидные компоненты , , , , определяемые из следующих рекуррентных соотношений:; ; ; α (или α), α (α - начальное значение угла и приращение угла. В нашем случае α = 5⁰ , или α = 36).

Общий член рассматриваемой последовательности имеет вид:

а) – нечетно);

б)– четно).

Текущая сумма определяется из рекуррентного соотношения

, ).

Введём переменные, используемые в алгоритме для решения данной задачи:

s – текущая сумма последовательности, результат;

a – значение текущего члена последовательности;

e - число ;

x - вводимое значение ;

alfa - начальный угол и приращение в радианах (alfa = π/36);

i – индекс текущего(ей) члена(суммы) последовательности;

n – индекс последнего члена последовательности;

sw – переключатель булевского типа, определяющий вид члена последовательности. Если sw = true(истина), вычисляем текущий член последовательности по формуле (а), иначе - по формуле (б).

Алгоритм на языке PASCAL выглядит следующим образом.

{Вычисление суммы последовательности}

const n=10;

var s,a, p1, p2, p3, p4, e, x, alfa:real; i:byte; sw:boolean;

begin e:=exp(1); alfa:=pi/36;

writeln(‘Введите x, 2

readln(x);

{Начальная установка}

s:=0; sw:=true; p1:=1; p2:=1; p3:=1; p4:=alfa;

for i:=1 to n do begin

p1:=p1*e; p2:=p2*x; p3:=p3*i;

p4:=p4+alfa;{или p4:=alfa*i};

if sw then a:=(p1-p2)/(p3+sin(p4))

else a:=(p1-p2)/(p3-cos(p4));

s:=s+a; sw:=not sw

end;{конец цикла}

writeln(‘сумма=’,s:10:4);

end.

Для n = 10, x = 2.5 имеем S = 3.4541.

Алгоритм в Excel выглядит следующим образом.

A B C D E

F G H

5