Решение тригонометрических уравнений

Урок по теме: «Решение тригонометрических уравнений»

Учитель математики

МКОУ «Рубасская СОШ»

Юнусов У.Б.

Тип урока: урок изучения нового материала и обобщения знаний, закрепления умений.

Цели и задачи урока:

1) образовательные – сформировать у учащихся умение различать тригонометрические уравнения по способам решения, отработать навыки решения всех видов тригонометрических уравнений;

2) развивающие – развивать умения работать с книгой, самостоятельно добывать знания; развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в изменённой ситуации; развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщение;

3) воспитательные – воспитывать трудолюбие, умение общаться со своими сверстниками в процессе работы в парах, аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.

Оборудование урока: презентация, интерактивная доска, карточки; чистые листы для самостоятельной работы; таблицы по тригонометрии:

а) значения тригонометрических функций;

б) решение простых тригонометрических уравнений (частные случаи);

в) основные формулы тригонометрии;

ход урока

Пример1

Решим уравнение

1

cos 2x = – —

2

Решение.

Напомним: решать пример будем по формуле

x = ± arccos a + 2πn.

Для простоты можем заменить 2x на t. Тогда наша формула примет вид t = ± arccos a + 2πn. Но в данном случае можем обойтись и без этого.

Итак, вычисляем значение арккосинуса:

1 2π

2x = ± arccos (– —) + 2πn = ± —— + 2πn

2 3

Находим значение x, применяя правило деления дробей:

2π 2π 1 2π π

x = ± —— : 2 + 2πn : 2 = ± —— ∙ — + πn = ± —— + πn = ± — + πn

3 3 2 6 3

Ответ:

π

x = ± — + πn

3

Пример 2. Решите уравнение cos x = .

Решение

Поскольку   1, то уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решите уравнение cos x = 0,37.

Решение

Согласно формуле (1) имеем:

х = arccos 0,37 + 2πn, nZ.

Значение arccos 0,37 найдем с помощью микрокалькулятора: arccos 0,37  1,19, тогда х  ± 1,19 + 2πn, nZ.

Ответ: arccos 0,37 + 2πn  ± 1,19 + 2πn, nZ.

3) Решим уравнение               π           √3
tg (4x – —)  =  ——
              6            3 Решение. Напомним: здесь мы применяем формулу x = arctg a + πn. Чтобы не запутаться при следующем шаге, заменим в формуле переменную x на переменную t:  t = arctg a + πn.
Далее отмечаем, что:                π
t = (4x – —).
               6 Тогда наше уравнение принимает следующий вид:          π               √3
4x – — = arctg —— + πn.
         6                3 Находим значение арктангенса:           √3        π
arctg —— = —
            3        6 Подставляем значение арктангенса в нашу формулу:          π        π
4x – —  =  — + πn.
         6        6 Находим значение 4x:           π       π                 2π                 π
4x =  —  + —  +  πn = —— +  πn = — + πn
          6       6                  6                  3 Осталось найти значение x, применяя правило деления дробей:          π                        π       1          πn           π          πn
x =  — : 4 + πn : 4 =  —  ∙  —  +  ——  =  ——  + ——
        3                         3        4          4           12          4 Ответ:           π          πn
x =  ——  + ——,  n ∈ Z
         12          4

2) Решим уравнение

1

cos 2x = – —

2

Решение.

Напомним: решать пример будем по формуле

x = ± arccos a + 2πn.

Для простоты можем заменить 2x на t. Тогда наша формула примет вид t = ± arccos a + 2πn. Но в данном случае можем обойтись и без этого.

Итак, вычисляем значение арккосинуса:

1 2π

2x = ± arccos (– —) + 2πn = ± —— + 2πn

2 3

Находим значение x, применяя правило деления дробей:

2π 2π 1 2π π

x = ± —— : 2 + 2πn : 2 = ± —— ∙ — + πn = ± —— + πn = ± — + πn

3 3 2 6 3

Ответ:

π

x = ± — + πn

3

Литература:

1. А. Н. Колмогоров Алгебра и начала анализа, 10-11.

2. М.И. Башмаков Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл сред. шк..

3. В.С. Крамор. Повторяем курс алгебры.

Структура урока:

• Организационный этап

• Мотивация.

• Этап применения знаний и способов деятельности

• Подведение итогов. Рефлексия.