Решение задач на вероятность

Р = Число благоприятствующих событий / Общее число событий

1. Задачи, в которых можно выписать все элелементарные события эксперимента

Задача 1. .Проводится жеребьёвка Лиги Чемпионов. На первом этапе жеребьёвки восемь команд, среди которых команда "Динамо,"распределились случайным образом по восьми игровым группам- по одной команде в группу. Затем по этим же группам случайным образом распределяются ещё восемь команд, среди которых команда "Зенит." Найдите вероятность того, что команды "Динамо" и "Зенит" окажутся в одной игровой группе?

Решение: Задача сводится к тому, чтобы определить вероятностьтого, что команда "Зенит" попадет в в ту же группу что и "Динамо". Всего групп 8. Попадание "Зенита" только в одну из них является благоприятным исходом. Следовательно, вероятность равна 1/8=0,125.

Ответ: 0,125.

Задача 2. Жюри конкурса народной песни собирается прослушать в первые два дня по 15 человек, а в третий день - оставшихся 20. С какой вероятностью артист Иванов выступит во второй день, если порядок выступлений участников определяется жребием?

Решение: Во второй день выступало 15 человек, а всего- 50. Тогда по формуле имеем: Р=15/50=3/10=0,3.

Ответ:0,3

Задача 3. Учительница разбила класс на 8 групп по 4 человека, выдав каждой группе тему доклада для следующего урока и назначив старшего в группе. Антон - старший в некоторой группе - накануне весь вечер играл в футбол, поэтому его группа доклад не подготовила. Учительница может вызвать для презентации доклада любого учащегося, кроме старших по группам. Какова вероятность, что вызовут школьника из группы Антона?

Решение: Количество учеников. которое может вызвать учительница 8*3=24, трое из группы Антона. Р = 3/24=1/8=0,125

Ответ:0,125

Задача 4: Петя подкинул три монеты. С какой вероятностью они выпали одной стороной?

Решение: Орёл- О, решка- Р. Все возможные случаи: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РРР, РОР, РРО, РОО. Их всего восемь. Благоприятных исходов два. Р=2/8=1/4=0,25.

Ответ:025

Задача 5: Симметричную монету бросают три раза.Найдите вероятность того.что орлов выпадет больше, чем решек.

Решение: Первый бросок - выпал орел: получим ООО,ООР,ОРО, ОРР.

Первый бросок - выпала решка: получим РОО, РОР, РРО, РРР. Всего случаев 8, благоприятных исходов 4 :(ОРР, РОР, РРО, РРР), тогда Р=4/8 = 1/2= 0,5.

Ответ :0,5

Задача 6: Игральный кубик бросают 2 раза. С какой вероятностью выпавшие числа будут отличаться на 3? Ответ округлите до сотых.

Решение: Возможны следующие благоприятные исходы: 1-4, 2-5, 3-6, 4-1,5-2,6-3. Общее число событий 6*6=36. Тогда Р = 6/36= 1/6=0,17

Ответ :0,17

Задача 7: Какова вероятность того, что случайно выбранное трехзначное число будет делиться нацело на 195.? Ответ округлите до тысячных.

Решение: Количество трехзначных чисел: 999 - 99 = 900. Количество чисел, делящихся на 195 равно 5 (195. 195*2, 195*3,195*4, 195*5) Тогда Р = 5/900 = 0,00555. = 0,006.

Ответ: 0,006

2. Задачи, в которых используются свойства вероятностей.

1) Сумма противоположных событий равна 1

Р(А) + Р(В) = 1

Задача: Почти одновременно 5 человек.в том числе Иван, заказали по телефону пиццы, все разных видов. Оператор перепутал 3 и 4 заказы. С какой вероятностью Ивану привезут его пиццу?

Решение: Найдем вероятность противоположного события, т.е., что Ивану привезут не его пиццу: Р = 2/5=0,4. Вероятность противоположного события : 1- 0,4=0,6.

Ответ:0,6

2) Правило сложения вероятностей

Р(А+В) = Р(А) + Р(В). Вероятность одного из интересующих нас результатов эксперимента равна сумме вероятностей каждого из этих результатов. если эти результаты несовместимы между собой. Несовместимыми называются такие события.которые в рассматриваемом эксперименте не могут произойти одновременно. Если случайные события совместимы,т. е., могут произойти одновременно, то правило сложения применять нельзя.

Задача: Ученик решил сделать прогноз своей успеваемости по математике, изучив свои отметки за 7 класс. Результаты его исследования таковы:

Какова вероятность того. чтоочередной ответ ученика будет оценён на "4" или "5"?

Решение : Всего ученик получил 188 отметок, из них ответов на "4" или "5" было 39+78. И т. к. получение отметок одним и тем же учеником за один и тот же ответ - несовместимые события, то вероятность получить "4" или "5" равна:

Р = (39+78)/188 = 39/188 + 78/188 = 0,21 + 0,41 = 0,62

Ответ: 0,62

Задача:  В лотерее выпуцщено 100000 билетов и установлены: 1 выигрыш в 100000р. , 10 выигрышей по 10000р., 100 выигрышей по 1000р., 1000 выигрышей по 100р..,и 5000 выигрышей по 50р., Человек купил 1 лотерейный билет.  Какова вероятностьтого,что он твыиграет?

Решение: Так как куплен один билет, то каждый выигрыш- несовместимые события.

Р = (1+10+100+1000+5000)/100000 = 6111/100000= =0,06111

3)  Если события А иВ независимы, то вероятность наступления обеих событий вычисляется по формуле: Р( А*В) = =Р(А)*Р(В)

Задача 1:  Двое пожарных на учениях независимо друг от друга проходят полосу препятствий. Для первого вероятность пройти её равна 0,8, а для второго 0,5. Найдите вероятность того,что оба не пройдут это испытание? 

Решение:  Вероятность того,что первый не пройдет препятствие равна 1-0,8=0,2, а второго равна 1-0,5=0,5 Так как эти события независимы друг от друга ,то Р = 0,2*0,5=0,1

Ответ: 0,1

Задача 2:  Стрелок стреляет в мишень три раза. Вероятностьпопадания при каждом выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того,что стрелок промахнется все три раза?

Решение: Вероятность того, что стрелок промахнется равна1-0,9=0,1. Так как три выстрела независимые события, то Р = 0,1*0,1*0,1 = 0,001

Ответ :0,001