Сечения многогранников

СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ

Если многогранник лежит по одну сторону от данной плоскости, то он может: а) не иметь с плоскостью ни одной общей точки; б) иметь одну общую точку – вершину многогранника; в) иметь общий отрезок – ребро многогранника; г) иметь общий многоугольник – грань многогранника.

В режиме слайдов построение сечение производится по шагам, кликаньем мышкой

Если у многогранника имеются точки, лежащие по разные стороны от данной плоскости, то общ ая часть многогранника и плоскости называе тся сечением многогранника плоскостью .

Диагональные сечения

Сечение призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания и два прилежащих к ней боковых ребра, называется диагональным сечением призмы.

Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания и вершину, называется диагональным сечением пирамиды.

В режиме слайдов построение сечение производится по шагам, кликаньем мышкой

Пусть плоскость пересекает пирамиду и параллельна ее основанию. Часть пирамиды, заключенная между этой плоскостью и основанием, называется усеченной пирамидой. Сечение пирамиды также называется основанием усеченной пирамиды.

Упражнение 1

Какой фигурой может быть сечение многогранника плоскостью?

В режиме слайдов построение сечение производится по шагам, кликаньем мышкой

Ответ: Многоугольником или объединением нескольких многоугольников.

Упражнение 2

Сколько диагональных сечений имеет n -угольная: а) призма; б) пирамида?

В режиме слайдов построение сечение производится по шагам, кликаньем мышкой

Ответ: а) ;

б) .

4

Упражнение 3

Может ли в сечении куба плоскостью получиться:

а) треугольник ?

б) правильный треугольник ?

в) равнобедренный треугольник ?

г) прямоугольный треугольник ?

В режиме слайдов построение сечение производится по шагам, кликаньем мышкой

д) тупоугольный треугольник ?

Ответ: а) Да;

в) да;

г) нет;

д) нет.

б) да;

Упражнение 4

Может ли в сечении куба плоскостью получиться:

а) квадрат;

б) прямоугольник;

в) параллелограмм;

г) ромб;

д) трапеция;

е) прямоугольная трапеция?

В режиме слайдов построение сечение производится по шагам, кликаньем мышкой

Ответ: а) Да;

б) да;

в) да;

е) нет.

г) да;

д) да;

6

Упражнение 5

Может ли в сечении куба плоскостью получиться:

а) пятиугольник;

б) правильный пятиугольник?

Ответ: а) Да;

б) нет. У пятиугольников, которые получаются в сечении куба, имеются две пары параллельных сторон, а у правильного пятиугольника таких сторон нет.

В режиме слайдов построение сечение производится по шагам, кликаньем мышкой

Упражнение 6

Может ли в сечении куба плоскостью получиться:

а) шестиугольник;

б) правильный шестиугольник;

в) многоугольник с числом сторон больше шести?

В режиме слайдов построение сечение производится по шагам, кликаньем мышкой

Ответ: а) Да;

в) нет.

б) да;

Упражнение 7

Может ли в сечении правильного тетраэдра плоскостью получиться : а) остроугольный треугольник; б) прямоугольный треугольник; в) тупоугольный треугольник ?

Ответ: а) да;

б) да. Пусть ABCD – единичный тетраэдр. Точка E на ребре AD отстоит от вершины A на расстояние ¼ . Точка F на ребре AB отстоит от вершины A на расстояние x . Найдем x , для которого угол CEF будет прямым.

В режиме слайдов построение сечение производится по шагам, кликаньем мышкой

По теореме косинусов находим CE 2 = 13/16, CF 2 = x 2 + 1 – x , EF 2 = 1/16 + x 2 – x /4. Используя теорему Пифагора находим x = 1/6.

в) да. Если точку G на ребре AB взять между A и F , то угол CEF будет тупой.

9

Упражнение 8

Может ли в сечении правильного тетраэдра плоскостью получиться квадрат?

В режиме слайдов построение сечение производится по шагам, кликаньем мышкой

Ответ: Да. Если сечение проходит через середины ребер.

Упражнение 9

Может ли в сечении тетраэдра плоскостью получиться четырехугольник, изображенный на рисунке ?

В режиме слайдов построение сечение производится по шагам, кликаньем мышкой

Ответ: Нет.

Упражнение 10

Какие многоугольники можно получить в сечении четырехугольной пирамиды плоскостью?

Ответ: Треугольник, четырехугольник, пятиугольник.

В режиме слайдов построение сечение производится по шагам, кликаньем мышкой

Упражнение 11

Может ли в сечении октаэдра плоскостью получиться:

а) треугольник;

б) четырехугольник;

в) пятиугольник;

г) шестиугольник;

д) семиугольник;

е) восьмиугольник?

В режиме слайдов построение сечение производится по шагам, кликаньем мышкой

Ответ: а) Нет;

б) да;

в) нет;

г) да;

д) нет;

е) нет.

Построение сечений

При построении сечений многогранников, базовыми являются построения точки пересечения прямой и плоскости, а также линии пересечения двух плоскостей.

Если даны две точки A и B прямой и известны их проекции A’ и B’ на плоскость, то точкой С пересечения данных прямой и плоскости будет точка пересечения прямых AB и A’B’

Если даны три точки A , B , C плоскости и известны их проекции A’ , B’ , C’ на другую плоскость, то для нахождения линии пересечения этих плоскостей находят точки P и Q пересечения прямых AB и AC со второй плоскостью. Прямая PQ будет искомой линией пересечения плоскостей.

В режиме слайдов построение сечение производится по шагам, кликаньем мышкой

Упражнение 1

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , лежащие на ребрах куба и вершину B .

Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E , F и вершину B ,

Соединим отрезками точки E и B , F и B .

Через точки E и F проведем прямые, параллельные BF и BE , соответственно.

В режиме слайдов построение сечение производится по шагам, кликаньем мышкой

Полученный параллелограмм BFGE будет искомым сечением.

Упражнение 2

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , G , лежащие на ребрах куба .

Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E , F , G ,

проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с AD .

Обозначим Q точку пересечения прямых PG и AB .

Соединим точки E и Q , F и G .

В режиме слайдов построение сечение производится по шагам, кликаньем мышкой

Полученная трапеция EFGQ будет искомым сечением.

Упражнение 3

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , G , лежащие на ребрах куба .

Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E , F , G ,

проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с AD .

Обозначим Q , R точки пересечения прямой PG с AB и DC .

В режиме слайдов построение производится по шагам, кликаньем мышкой.

Обозначим S точку пересечения FR c СС 1 .

Соединим точки E и Q , G и S .

Полученный пятиугольник EFSGQ будет искомым сечением.

Упражнение 4

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , G , лежащие на ребрах куба .

Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E , F , G ,

найдем точку P пересечения прямой EF и плоскости грани ABCD .

Обозначим Q , R точки пересечения прямой PG с AB и CD .

В режиме слайдов построение производится по шагам, кликаньем мышкой.

Проведем прямую RF и обозна - чим S , T её точки пересечения с CC 1 и DD 1 .

Проведем прямую TE и обозначим U её точку пересечения с A 1 D 1 .

Соединим точки E и Q , G и S , U и F .

Полученный шестиугольник EUFSGQ будет искомым сечением.

Упражнение 5

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , G , принадлежащие граням BB 1 C 1 C , CC 1 D 1 D , AA 1 B 1 B , соответственно.

Решение. Из данных точек опустим перпендикуляры EE’ , FF’ , GG’ на плоскость грани ABCD , и найдем точки I и H пересечения прямых FE и FG с этой плоскостью.

IH будет линией пересечения искомой плоскости и плоскости грани ABCD . Обозначим Q , R точки пересечения прямой IH с AB и BC .

В режиме слайдов построение производится по шагам, кликаньем мышкой.

Проведем прямые PG и QE и обозначим R , S их точки пересечения с AA 1 и CC 1 .

Проведем прямые SU , UV и RV , параллельные PR , PQ и QS .

Полученный шестиугольник RPQSUV будет искомым сечением.

Упражнение 6

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , лежащие на ребрах куба , параллельно диагонали BD .

Решение. Проведем прямые FG и EH , параллельные BD .

Проведем прямую FP , параллельную EG , и соединим точки P и G .

Соединим точки E и G , F и H .

В режиме слайдов построение сечение производится по шагам, кликаньем мышкой

Полученный пятиугольник EGPFH будет искомым сечением .

20

Постройте сечение двух кубов плоскостью, проходящей через точки K , L , M , лежащие на ребрах куба .

Упражнение 7

Решение. Сначала построим сечение верхнего куба. Это будет шестиугольник LNMPKQ.

Продолжим MN , PK и QL. Соответствующие точки обозначим R , S и U , V .

Проведем прямые RX и VY , параллельные UV и SR , соответственно.

В режиме слайдов построение сечение производится по шагам, кликаньем мышкой

Искомое сечение состоит из двух шестиугольников LNMPKQ и RSUVYX.

Постройте сечение призмы ABCA 1 B 1 C 1 плоскостью, проходящей через точки E , F , G .

Упражнение 8

Решение. Соединим точки E и F .

Проведем прямую FG и ее точку пересечения с CC 1 обозначим H .

Проведем прямую EH и ее точку пересечения с A 1 C 1 обозначим I .

Соединим точки I и G .

В режиме слайдов построение сечения производится по шагам, кликаньем мышкой

Полученный четырехугольник EFGI будет искомым сечением .

Постройте сечение призмы ABCA 1 B 1 C 1 плоскостью, проходящей через точки E , F , G .

Упражнение 9

Решение. Проведем прямую EG и обозначим H и I ее точки пересечения с CC 1 и AC .

Проведем прямую IF и ее точку пересечения с AB обозначим K .

Проведем прямую FH и ее точку пересечения с B 1 C 1 обозначим L .

Соединим точки E и K , G и L .

В режиме слайдов построение сечения производится по шагам, кликаньем мышкой

Полученный пятиугольник EKFLG будет искомым сечением .

Постройте сечение призмы ABCA 1 B 1 C 1 плоскостью, параллельной AC 1 , проходящей через точки D и D 1 .

Упражнение 1 0

Решение. Через точку D проведем прямую параллельную AC 1 и обозначим E ее точку пересечения с прямой BC 1 . Эта точка будет принадлежать плоскости грани ADD 1 A 1 .

Проведем прямую DE и обозначим F ее точку пересечения с ребром BC .

Соединим отрезком точки F и D .

Через точку D проведем прямую параллельную прямой FD и обозначим G точку ее пересечения с ребром A 1 C 1 , H – точку ее пересечения с прямой A 1 B 1 .

В режиме слайдов построение сечения производится по шагам, кликаньем мышкой

Проведем прямую DH и обозначим P ее точку пересечения с ребром AA 1 .

Соединим отрезком точки P и G .

Полученный четырехугольник EFIK будет искомым сечением .

Построить сечение призмы ABCA 1 B 1 C 1 плоскостью, проходящей через точки E на ребре BC , F на грани ABB 1 A 1 и G на грани ACC 1 A 1 .

Упражнение 1 1

Решение. Проведем прямую GF и найдем точку H ее пересечения с плоскостью ABC .

Проведем прямую EH , и обозначим P и I ее точки пересечения с AC и AB .

Проведем прямые PG и IF , и обозначим S , R и Q их точки пересечения с A 1 C 1 , A 1 B 1 и BB 1 .

В режиме слайдов построение сечения производится по шагам, кликаньем мышкой

Соединим точки E и Q , S и R .

Полученный пятиугольник EQRSP будет искомым сечением .

Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки A , B , D 1 .

Упражнение 1 2

Решение. Заметим, что сечение будет проходить через точку E 1.

В режиме слайдов построение сечения производится по шагам, кликаньем мышкой

Проведем прямую AB и найдем ее точки пересечения K и L с прямыми CD и FE .

Проведем прямые KD 1 , LE 1 и найдем их точки пересечения P , Q с прямыми CC 1 и FF 1 .

Шестиугольник ABPD 1 E 1 Q будет искомым сечением .

Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки A , B’ , F’ .

Упражнение 1 3

Решение. Проведем отрезки AB’ и AF’ .

Через точку B’ проведем прямую, параллельную AF’ , и ее точку пересечения с EE 1 обозначим E’ .

Через точку F’ проведем прямую, параллельную AB’ , и ее точку пересечения с CC 1 обозначим C’ .

Через точки E’ и C’ проведем прямые, параллельные AB’ и AF’ , и их точки пересечения с D 1 E 1 и C 1 D 1 обозначим D’ , D” .

В режиме слайдов построение сечения производится по шагам, кликаньем мышкой

Соединим точки B’ , C’ ; D’ , D” ; F’ , E’ .

Полученный семиугольник AB’C’D”D’E’F’ будет искомым сечением .

Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки F’ , B’ , D’ .

Упражнение 1 4

Решение. Проведем прямые F’B’ и F’D’ , и найдем их точки пересечения P и Q с плоскостью ABC .

Проведем прямую PQ . Обозначим R точку пересечения PQ и FC .

Точку пересечения F’R и CC 1 обозначим C’ .

Соединим точки B’ , C’ и C’ , D’ .

В режиме слайдов построение сечения производится по шагам, кликаньем мышкой

Через точку F’ проведем прямые, параллельные C’D’ и B’C’ , и их точки пересечения с AA 1 и EE 1 обозначим A’ и E’ .

Соединим точки A’ , B’ и E’ , D’ .

Полученный шестиугольник A’B’C’D’E’F’ будет искомым сечением .

Построить сечение пирамиды ABCD плоскостью, параллельной ребру AD и проходящей через точки E , F .

Упражнение 1 5

Решение. Соединим точки E и F .

Через точку F проведем прямую FG , параллельную AD.

Соединим точки G и E .

Полученный треугольник EFG будет искомым сечением.

В режиме слайдов построение сечения производится по шагам, кликаньем мышкой

Построить сечение пирамиды ABCD плоскостью, параллельной ребру CD и проходящей через точки E , F .

Упражнение 1 6

Решение. Через точки E и F проведем прямые EG и FH , параллельные CD.

Соединим точки G и F , E и H .

Полученный четырехугольник EGFH будет искомым сечением.

В режиме слайдов построение сечения производится по шагам, кликаньем мышкой

Построить сечение пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через точки E , F , G .

Упражнение 17

Решение. Для построения сечения пирамиды, проходящего через точки E , F , G ,

проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с BD .

Обозначим Q точку пересечения прямых PG и CD .

Соединим точки F и Q , E и G .

В режиме слайдов построение сечения производится по шагам, кликаньем мышкой

Полученный четырехугольник EFQG будет искомым сечением.

Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки A , E , F .

Упражнение 18

Решение. Для построения сечения пирамиды, проходящего через точки E , F , G , проведем прямую EF и обозначим G её точку пересечения с DB .

Проведем прямые AG и CB . Обозначим P их точку пересечения.

Проведем прямую PF и обозначим Q её точку пересечения с SC .

В режиме слайдов построение сечения производится по шагам, кликаньем мышкой

Соединим точки A и F , A и E , E и Q .

Полученный четырехугольник AFQE будет искомым сечением.

Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки E , F , G .

Упражнение 19

Решение. Для построения сечения пирамиды, проходящего через точки E , F , G ,

проведем прямую FG и обозначим P её точку пересечения с SB .

Проведем прямую PE и обозначим Q её точку пересечения с AB .

Проведем прямую GQ и обозначим R её точку пересечения с AD .

В режиме слайдов построение сечения производится по шагам, кликаньем мышкой

Проведем прямую RE и обозначим T её точку пересечения с SD .

Соединим точки T и F .

Полученный пятиугольник ETFGQ будет искомым сечением.

Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, параллельной AS и проходящей через точки E , F .

Упражнение 2 0

Решение. Соединим точки E и F .

Через точку F проведем прямую, параллельную AS , и обозначим G ее точку пересечения с AC .

Проведем прямую EG и обозначим H ее точку пересечения с AD .

Через точку H проведем прямую, параллельную AS , и обозначим I ее точку пересечения с SD .

В режиме слайдов построение сечения производится по шагам, кликаньем мышкой

Соединим точки I и F .

Полученный четырехугольник EFIH будет искомым сечением.

Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, параллельной BD и проходящей через точки E , F .

Упражнение 2 1

Решение. Проведем прямую EF и обозначим Q ее точку пересечения с AC .

Проведем прямую SO и обозначим P её точку пересечения с EF .

Через точку P проведем прямую GH , параллельную BD .

В режиме слайдов построение сечения производится по шагам, кликаньем мышкой

Соединим точки F , G , E , H .

Полученный четырехугольник FGEH будет искомым сечением.

Построить сечение пирамиды SABCDEF плоскостью, проходящей через точки A 1 , C 1 , E 1 .

Упражнение 2 2

Решение. Найдем точку пересечения P прямой A 1 C 1 с плоскостью основания.

Найдем точку Q пересечения прямой E 1 C 1 с плоскостью основания.

Прямая PQ будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости основания.

В режиме слайдов построение сечения производится по шагам, кликаньем мышкой

Проведем прямую ED и обозначим R , её точку пересечения с прямой PQ .

Проведем прямую E 1 R и обозначим D 1 её точку пересечения с SD .

Аналогичным образом находятся точки F 1 и B 1 .

Шестиугольник A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 будет искомым сечением.