Семинар математики. Приемы использования открытых задач.

 Цель данной разработки: показать приемы использования задач открытого типа для усиления развивающего эффекта урока (в частности, в раскрытии творческого потенциала ученика) и формирования УУД школьников.

      Закрытые и открытые задачи.

   Большинство задач из школьного учебника по математике – это задачи закрытого типа. Условие задачи содержит все необходимые данные в явном виде. Метод решения известен и представляет собой цепочку формальных операций.  Правильный ответ задачи определен однозначно.

   В открытой задаче условие «размытое», содержит неопределенности. Методы решения разнообразны. Допускается любое количество возможных ответов.

   Для решения жизненных проблем очень важно уметь решать задачи открытого типа. Подобные задачи позволяют развивать творческий потенциал ученика, подготовить его к применению знаний в различных ситуациях, а, значит, в полной мере реализовать требования новых образовательных стандартов.

   Сравнительный анализ УМК по математике разных авторов показывает, что открытые и (или) частично открытые задачи в учебниках встречаются редко. Это задачи в «узком» смысле открытости. Например, вычислите углы равнобедренного треугольника, один угол которого равен 53° (Геометрия. УМК Л. С. Атанасяна).

  Приемы использования открытых задач.

   Мотивационная часть урока.

   Представляет собой специально отобранную систему оригинальных объектов-сюрпризов, интересных фактов, способных вызвать удивление учащегося. Этот блок обеспечивает мотивацию учащегося к занятиям и развивает его любознательность.  Для компенсации информационных перегрузок и с целью пробуждения поисковой активности наилучшим способом включения учеников в интеллектуальную работу является акт удивления.

   Приёмы:

- удивление ученика от возникшей проблемы (противоречие, которого не должно быть),

- «математические фокусы»,

- удивление от сообщенного факта,

- «нематематическое» начало урока.

- в начале урока показано применение материала, который еще только предстоит изучить.

   Примеры:

   Приведенные примеры организации начала (мотивационной части) урока позволяют формировать все виды УУД школьника:

   Регулятивные: целеполагание, прогнозирование, планирование, саморегуляция, оценка.

   Познавательные: осознанное и произвольное построение речевого высказывания, построение логической цепи рассуждений, участие в постановке и формулировании проблемы, моделирование.

   Коммуникативные:  умение выражать свои мысли в соответствии с условиями коммуникации, планирование учебного сотрудничества с учителем и одноклассниками.

   Личностные: установление учащимися связи между целью учебной деятельности и ее мотивом.

   Использованы материалы с сайтов:

http://www.trizland.ru/ http://www.fipi.ru/

http://www.etudes.ru/

http://festival.1september.ru/

Аннотация: мастер-класс раскрывает возможность реализации развивающих целей обучения путем использования открытых задач. Может использоваться учителями любого предмета путем замены представленных задач содержанием другого предмета.

Тема развития человеческих способностей была актуальной во все времена. Великие умы на протяжении всей истории пытались понять источники развития человека, определить универсальный набор человеческих способностей, предложить свои методы их развития.

Каждая эпоха выдвигала свою версию идеального члена общества с определенным набором присущих ему качеств. Но, вне зависимости от конкретного исторического периода, требования эти сходились в одном: для сохранения целостности общества был необходим Человек Общественный. Через служение обществу люди развивали и приумножали свои способности.

Наш век, век информации, перевернул всё на 180 градусов – теперь человек, только через развитие своих способностей, открытие своей индивидуальности, может принести пользу обществу. Получается, что Личность тем более значима для общества, чем она более развита и индивидуальна. Герой нашего времени – «HomoIndiuiduum».

На изменения в обществе не может не реагировать  система образования, и сегодня приоритетными становятся развивающие цели обучения, необходимость формирования компетенций, чтобы предоставить возможность человеку стать успешным.

В школе мы учим ребенка решать задачи, условие которых сформулировано четко и однозначно. Для решения задач существует определенная последовательность действий, после выполнения которых, появляется один верный ответ. Мы с учениками решаем закрытые задачи (большая часть задач в школьных учебниках именно этого типа). А что вокруг? Условия большинства задач (проблем) в нашей жизни недостаточны, вариативны, противоречивы и неконкретны. Очень часто для их решения нет определенного алгоритма. Существует много решений и ответов (выбор остается за человеком). То есть жизнь перед нами ставит задачи открытые.

Человек должен уметь приспосабливаться к изменяющимся условиям. Необходимость усиления творческой составляющей, раскрепощения мысли очевидна. Этому способствует использование в учебном процессе открытых задач.

Не смотря на высокий развивающий потенциал открытых задач,

в школьных учебниках математики и методических пособиях их почти нет, также

как и методик их составления и использования при обучении математике.

Цель: подобрать или составить открытые задачи и апробировать их использование на различных этапах урока математики и внеклассных занятиях.

В системе непрерывного формирования творческого мышления и развития творческих способностей обучаемых с активным использованием теории решения изобретательских задач (НФТМ-ТРИЗ ) предлагается структура спаренного креативного урока. Классно-урочная система, действующая в образовательных учреждениях, отсутствие в основной школе спаренных уроков математики и специфика математического образования привели нас к необходимости модернизации структуры креативного урока. Опыт показывает, что наиболее эффективным для формирования универсальных учебных действий оказался вариант креативного моно-урока математики, построенный по схеме, представленной на рисунке.

Работа с аудиторией:

Задача – 1. Три человека открыли на одной улице три магазина. Во всех трех магазинах примерно одинаковый ассортимент товаров. Чтобы привлечь покупателей, владелец магазина справа, повесил у себя на двери объявление: «У нас самые низкие цены!». Глядя на соседа, владелец магазина слева тоже разместил на двери своего магазина рекламный плакат: «Здесь самый качественный товар!». Какой слоган должен вывесить владелец «среднего» магазина, чтобы привлечь покупателей? 

(Возможны разные варианты ответов. Какой из ответов неправильный? Правильные все.)        

Задача – 2. По прямой линии (например, по доске) ползут три черепахи. Первая говорит: «За мной ползут две черепахи». Вторая говорит: «За мной ползет одна черепаха». Третья говорит: «За мной ползут две черепахи». Все три черепахи говорят правду. Как такое может быть? (Предлагаются варианты).

Задача – 3. Во время квалификационного экзамена в Стэнфордском Университете (США) на решение этой задачи отводилось 15 минут. «Даны коробок спичек и два куска «горючей» верёвки – разной длины и из разных материалов. Известно, что каждый кусок сгорает от одного конца до другого ровно за один час. При этом скорость сгорания не постоянная: кусок может гореть быстро сначала и медленно под конец или наоборот. Как с помощью этих веревок и коробка спичек отмерить временной промежуток в 45 минут?" (Предлагаются варианты).

Можно ли использовать открытые изобретательские задачи при изучении программного материала? Да. Приведу примеры:

Задача – 4.  Маша и Коля ходят в одну и ту же школу. Маша живет в трех километрах от нее, а Коля в пяти. На каком расстоянии друг от друга живут Маша и Коля? (Ответы.  Наиболее распространенная ошибка – однозначный ответ на этот вопрос).

Задача – 5. Один рыбак купил себе новую удочку длиной 5 метров. Домой ему приходится добираться автобусом. Автобус очень большой, но в нем запрещено перевозить предметы длиной более 4-х метров. Удочка не разбирается и не гнется. Как можно упаковать удочку, чтобы провезти ее в автобусе? (Задачу можно использовать при изучении теоремы Пифагора, если «изобрести» догадку об использовании коробки 3˟4, в которую по диагонали поместить удочку).

Следующие две задачи с аудиторией не разбираются, а приводятся как примеры.

Задача – 6. Дана карта Австралии и масштаб. Прикинуть площадь, пользуясь масштабом.

Задача – 7. Под рок концерт отвели поле 100 на 50 метров. Прикинуть, сколько посетителей там поместилось (больше никаких дополнительных данных нет, кроме того, что все, кто пришел — стояли).

В начале разговора мы сказали, что задачи в школьных учебниках – это, как правило, задачи закрытые. Во власти учителя совершить с ними чудесное превращение. Давайте попробуем.

Рассмотрим несколько задач из учебника математики.

Открытые задачи активизируют познавательную деятельность, мотивируют, вызывают желание предполагать, самостоятельно разобраться в ситуации и подобрать подходящий вариант, а значит, помогают учителю реализовывать новые образовательные стандарты.

Сегодня наряду с традиционными необходимы новые подходы к обучению и воспитанию наших учеников.  Информация устаревает быстрее, чем её успевает усвоить большинство. Чтобы двигаться в ногу со временем, или чуть впереди, человеку необходимо мыслить достаточно смело и уметь совмещать в себе противоположные качества:

• способность быть одновременно гибким и жестким,

• проявлять харизму и уметь говорить на языке обывателей;

• действовать в соответствии с интуицией и жесткой логикой;

• просчитывать все варианты и рисковать;

• ДОБИВАТЬСЯ ПОБЕДЫ И УМЕТЬ ПРОИГРЫВАТЬ!

Задачи 1, 2, 3, 5 размещены на www.trizland.ru, авторы задач указаны на сайте.

Задача 4 взята из заданий международного тестирования PISA.

Гин Анатолий Александрович

Консультант-эксперт по ТРИЗ (теория решения изобретательских задач), основатель и научный руководитель международной Лаборатории «Образование для Новой Эры», генеральный директор автономной некоммерческой организации содействия инновациям «ТРИЗ-профи», вице-президент Международной ассоциации ТРИЗ по вопросам образования.

Провел более 200 семинаров для студентов, учителей, психологов, преподавателей вузов, инженеров и предпринимателей в странах СНГ, Латвии, Польше, Франции, Китае, Южной Корее. Работы изданы на многих языках (белорусский, украинский, эстонский, чешский, польский, английский, китайский, корейский, французский, немецкий...). Автор 15 и редактор более двадцати книг.

Рассматриваемая задача и рисунок к ней расположены на плоскости. Давайте посмотрим на эту плоскость извне — из объемлющего трёхмерного пространства. Построим три сферы, чьими экваторами являются изначальные окружности. Конусы, попарно охватывающие сферы, в качестве образующих будут иметь касательные, рассматриваемые в задаче. Точки, которые по нашей гипотезе лежат на одной прямой, будут вершинами конусов. Положим на конусы плоскость. Верхние образующие конусов попарно пересекаются и определяют плоскость однозначно. Интересующие нас точки — вершины конусов — принадлежат этой плоскости, так же, как и изначальной — «экваториальной» плоскости. А две (непараллельные) плоскости пересекаются по прямой! Значит, действительно, как и было предположено, эти три точки — точки пересечения попарных касательных к трём произвольным окружностям — лежат на одной прямой. Эта теперь уже доказанная и нами теорема носит имя французского математика Гаспара Монжа.

Читать полностью: http://www.etudes.ru/ru/etudes/monge/
© 2002-2017 Математические этюды

 Цель данной разработки: показать приемы использования задач открытого типа для усиления развивающего эффекта урока (в частности, в раскрытии творческого потенциала ученика) и формирования УУД школьников.

      Закрытые и открытые задачи.

   Большинство задач из школьного учебника по математике – это задачи закрытого типа. Условие задачи содержит все необходимые данные в явном виде. Метод решения известен и представляет собой цепочку формальных операций.  Правильный ответ задачи определен однозначно.

   В открытой задаче условие «размытое», содержит неопределенности. Методы решения разнообразны. Допускается любое количество возможных ответов.

   Для решения жизненных проблем очень важно уметь решать задачи открытого типа. Подобные задачи позволяют развивать творческий потенциал ученика, подготовить его к применению знаний в различных ситуациях, а, значит, в полной мере реализовать требования новых образовательных стандартов.

   Сравнительный анализ УМК по математике разных авторов показывает, что открытые и (или) частично открытые задачи в учебниках встречаются редко. Это задачи в «узком» смысле открытости. Например, вычислите углы равнобедренного треугольника, один угол которого равен 53° (Геометрия. УМК Л. С. Атанасяна).

  Приемы использования открытых задач.

      Содержательная часть урока.

   Соединяет программный материал учебного  предмета с  системой заданий, направленных на развитие дивергентного, логического мышления, творческих способностей учащихся, способности к острому, живому восприятию, абстрактному и сложному мышлению, речевой, математической и технической грамотности.

   Приёмы:

- задачи на использование контрпримера,

- отсутствие вопроса к  данным,

- использование в формулировке задачи лишних данных,

- задачи, для решения которых необходимо самостоятельно «добыть» числовые данные,

- смена размерности пространства для решения задачи,

- самостоятельное изобретение учениками «новых» способов решений, которых нет в учебнике.

   Примеры  (степень самостоятельности и степень открытости задач можно менять в зависимости от  готовности класса к исследовательской деятельности).

   Приведенные примеры заданий и организации учебной деятельности на уроке позволяет  формировать все виды УУД школьника:

   Регулятивные: саморегуляция, коррекция, контроль.

   Познавательные: поиск и выделение необходимой информации, структурирование знаний, рефлексия способов и условий действия, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера, анализ, синтез, подведение под понятие, моделирование.

   Коммуникативные:  постановка вопросов (инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации);  выявление, идентификация проблемы, поиск и оценка альтернативных способов разрешения конфликта, принятие решения и его реализация.

   Личностные:  оценивание усваиваемого содержания, исходя из социальных и личностных ценностей, обеспечивающее личностный моральный выбор.

   Использованы материалы с сайтов:

http://www.trizland.ru/

http://www.fipi.ru/

http://www.etudes.ru/

http://festival.1september.ru/

Мастер - класс

Использование открытых задач на уроках и внеклассных занятиях по математике как средства

достижения метапредметных

результатов обучения

Мамбетова Венера Хайдаровна

МБОУ «Пушкинская СШ»

Теория: закрытые и открытые задачи

В школе решают закрытые задачи (из пункта А в пункт В...), а жизнь ставит перед человеком открытые задачи, и в зазор между первыми и вторыми зачастую проваливается интерес учеников и, соответственно, наши образовательные усилия. …Вся жизнь – открытая задача. И от того, насколько успешно ты ее решаешь, зависит твоё настоящее и будущее.

А. А. Гин

Задача 1. Хозяйка выкладывает

Задача 2. Хозяйке необходимо испечь

на сковороду одновременно

6 пирожков. Как ей справиться за

4 пирожка и печёт их по 5 минут

с каждой стороны. Сколько времени потратит хозяйка, чтобы испечь

15 минут, если на сковороде помещается 4 пирожка, а с каждой стороны пирожок должен печься

5 минут?

8 пирожков?

Это задача открытого типа .

Это задача закрытого типа – типичная задача из школьного учебника по математике.

Условие Решение Ответ

Условие Решение Ответ

Читать теорию открытых задач

Противоречия, решаемые открытыми задачами

Изобретение состоит в преодолении противоречия… Противоречия надо усиливать, обострять, доводить до предела.

Г. С. Альтшуллер

Элементы задачи

Виды открытости задач

Цель

Решаемое противоречие

Условие

Неоднозначность цели

(«нечеткая задача»,

Неоднозначность условия

В жизни часто, встречаясь с проблемами, мы много времени тратим на то, чтобы определить для себя, какую именно цель достичь (проявление наивысшей степени свободы и активности человека).

Способ решения

(задачи с лишним или неполным условием, задачи с неверными данными,

Ответ

Неоднозначность способа решения («творческая задача» в случае, если способ решения неизвестен и нужно его изобрести)

Такие задачи на уроках не встречаются, так как отбор условий, необходимых и достаточных для решения задачи выполнен авторами учебника или учителем. В жизни условия, в которых должна быть решена проблема, во многом остаются неопределенными.

В школьной задаче цель поставлена заранее.

«задачи, формулируемые

Неоднозначность ответа

«неправильные названия»)

по ходу решения»)

На уроках мы сначала изучаем способ решения определенного типа задач, а затем предлагаем задачи для его отработки.

(открытость задачи

В жизни никто не говорит нам, каким способом нужно решать возникающие задачи. Появляется проблема выбора между различными возможными решениями.

В учебном материале мы привыкли к однозначности правильного ответа, представленного в конце учебника.

Жизнь дает нам возможность многих различных путей представления результатов решения возникающих проблем.

в узком смысле)

Примеры задач

14 августа 1961 года на город Воронеж обрушился дождь с крупным градом. Наибольшие градины имели массу 400 г, было много градин по 300 г. Они пробивали крыши, разбивали стекла, ранили людей.

На какие вопросы мы можем ответить (что можем определить) по описанной ситуации?

Найдите площадь фигуры.

Найдите угол между диагональю куба и диагональю грани куба,

Маша и Коля ходят в одну и ту же школу.

если они не имеют общих точек.

Маша живет в трех километрах от нее, а Коля – в пяти.

На каком расстоянии друг от друга живут Маша и Коля?

Один из способов решения состоит в том, чтобы «временно построить» дополнительный куб, например, сверху.

Задача имеет не единственный ответ.

26

5

4

7

32

Новая структура урока

Представляет собой специально отобранную систему оригинальных объектов-сюрпризов, интересных фактов, способных вызвать удивление учащегося.

Этот блок обеспечивает мотивацию учащегося к занятиям и развивает его любознательность

Соединяет программный материал с системой заданий, направленных на развитие дивергентного, логического мышления, творческих способностей учащихся; способности к острому, живому восприятию, абстрактному и сложному мышлению, речевой, математической и технической грамотности

Снижение психической напряженности на фоне мышечного расслабления проявляется в виде «раскрепощения» в общении, поведении, деятельности и проявлении чувств

Учебный процесс необходимо менять. И прежде всего схему познавательной деятельности школьников – с репродуктивной на схему поисковой познавательной деятельности.

М. М. Зиновкина

Содержательная часть

Психологическая разгрузка

Мотивация (встреча с чудом)

Обеспечивает обратную связь с учащимися на уроке и предусматривает качественную и эмоциональную оценку учащимися самого урока

Это тренинг по преодолению инерции мышления, который требует от ученика нетрадиционного поворота мысли. Происходит развитие парадоксального, творческого мышления, преодоление стереотипов

3

2

1

Содержательная часть

Резюме

Головоломка

(итог)

(интеллектуальная

разминка)

5

4

6

Открытые задачи на блоке мотивации

Знания становятся желанным достоянием маленького человека при условии, когда они – средство достижения творческих, трудовых целей.

В. А. Сухомлинский

Показываю на доске одновременно

несколько многозначных чисел и,

не производя никаких вычислений,

говорю, какое конкретное число делится на 2,

какое – на 5, на 9 и так далее.

Ученикам разрешается проверить делимость чисел, используя калькуляторы.

Задаю вопрос: «Как я делаю вывод о делимости числа, в чем суть фокуса?» Чаще всего ученики отвечают, что числа были к уроку специально подобраны, вычисления были сделаны до урока.

Тогда предлагаю эксперимент: ученик на доске пишет любое многозначное число, про которое я без вычислений говорю, что оно точно делится

(не делится) на 2, 3, 5, 9. Ученики проверяют на калькуляторе. Эксперимент повторяется несколько раз, ученики убеждаются в эффекте

«фокуса» и готовы ему научиться.

Вместе с учениками формулируем тему, цель урока, планируем деятельность.

Тема «Признаки делимости» (6 класс)

http://www.trizland.ru/ http://www.fipi.ru/

http://www.etudes.ru/

http://festival.1september.ru/

Открытые задачи на содержательном блоке

Творческое решение требует комбинирования старых элементов в новые конфигурации – в зависимости от того, что необходимо сейчас.

Е. П. Торренс

Тема «Аксиомы стереометрии» (10 класс)

Тема «Теорема Пифагора» (8 класс)

Один рыбак купил себе новую

удочку длиной 5 метров.

Домой ему приходится добираться автобусом. Автобус очень большой, но в нем запрещено перевозить предметы длиной более 4-х метров. Удочка не разбирается и не гнется. Как можно упаковать удочку, чтобы провезти ее в автобусе?

– Какой табурет устойчивее на не очень ровном полу – с тремя или с четырьмя ножками? ( Наиболее вероятный ответ – с четырьмя ).

– Почему же, когда пол неровный, приходится что-то подкладывать под ножку именно «четырехногого» табурета, что бы он не шатался? ( Варианты ответов )

Объяснение получаем с помощью рассмотренных на уроке аксиом ( Возможен самостоятельный эксперимент с моделями ).

http://www.trizland.ru/

http://www.fipi.ru/

http://www.etudes.ru/

http://festival.1september.ru/

Открытые задачи во внеурочной деятельности

Когда людей станут учить не тому, что они должны думать, а тому, как они должны думать, тогда исчезнут всякие недоразумения.

Г. Лихтенберг

Изучение на элективных курсах общих методов развития мышления

Интеллектуальные игры

и преодоления психологической инерции

с использованием открытых задач

• идея идеального конечного результата;
• метод синектики;
• метод мозгового штурма;
• метод перехода в другое измерение;
• метод «наоборот» и др.

• «Что? Где? Когда?»;
• «Креатив-бой»;
• «Турнир юных Почемучек»;
• «Математическая креатив-рыбалка»;
• «Математический креатив-аукцион»

Оценка открытых задач

Открытые задачи во внеурочной деятельности

Даже самая прекрасная и мощная идея бесполезна до тех пор, пока мы не решим ею воспользоваться. Самое интересное в идеях – это попробовать их на деле.

Р. Бах

Метод перехода в другое измерение

Задача. Построить из 6 спичек

4 треугольника.

Мы учим детей при решении задачи

по возможности уменьшать размерность пространства. Следует рассмотреть планиметрические задачи, которые легче решаются, наоборот, при переходе в трехмерное пространство.

Задача. Рассмотрим три произвольные окружности и проведём попарные касательные к каждой паре окружностей. Что можно сказать о полученных трёх точках, являющихся пересечением касательных, проведённых к двум окружностям?

Судя по рисунку, они лежат на одной прямой. Однако рисунок – это не доказательство, а лишь информация для выработки гипотезы. Попробуем её доказать. Рассматриваемая задача и рисунок к ней расположены на плоскости.  Посмотрим на эту

плоскость из трёхмерного пространства.

Несложные рассуждения позволяют доказать

принадлежность точек одной прямой.

1) построим три сферы, чьими экваторами являются изначальные окружности

2) конусы, попарно охватывающие сферы, в качестве образующих будут иметь касательные, рассматриваемые в задаче. Точки, которые по нашей гипотезе лежат на одной прямой, будут вершинами конусов.

3) Положим на конусы плоскость. Верхние образующие конусов попарно пересекаются и определяют плоскость однозначно. Интересующие нас точки — вершины конусов — принадлежат этой плоскости, так же, как и изначальной — «экваториальной» плоскости. А две (непараллельные) плоскости пересекаются по прямой.

Открытые задачи во внеурочной деятельности

Нет такой области человеческой деятельности, в которой не было бы открытых задач. В технике, в науке, в быту, в искусстве, в отношениях людей…

А. А. Гин

«Креатив-бой» отличается от других интеллектуальных игр тем, что участникам предлагаются открытые задачи. Эти задачи далеко не всегда имеют единственно правильный (контрольный) ответ. Креатив-бой – это активное и захватывающее соревнование, это эмоции и интеллект одновременно, это прекрасное средство для повышения мотивации к добыванию знаний.

Задача. Однажды смотритель за змеями в зоопарке рассказал нам, что яд бывает только у взрослой особи. Возраст змеи можно узнать, измерив её длину. Помогите смотрителю придумать такой способ измерения длины змеи, чтобы не подвергать себя лишней опасности.

Задача. Даны коробок спичек и два куска «горючей» верёвки – разной длины и из разных материалов. Известно, что каждый кусок сгорает от одного конца до другого ровно за один час. При этом скорость сгорания

не постоянная: кусок может гореть быстро сначала и

медленно под конец или наоборот. Как с помощью

этих веревок и коробка спичек отмерить

временной промежуток в 45 минут?

«Креатив-бой» между учениками 8 и 9 класса

Теория «Креатив-боя»

Работа с аудиторией:

• 1. Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 40 км/ч. Расстояние между ними 500км. Какое расстояние будет между ними  через 3часа?
• 2. Собственная скорость теплохода равна 27 км/ч, а скорость течения реки 3км/ч. Сколько времени затратит теплоход на путь между двумя пристанями, расстояние между которыми равно 120 км, если он будут плыть по течению?
• 3. Сумма двух чисел 96, а разность 18. Найдите эти числа.
• 4. Чему равен угол между часовой и минутной стрелками, если часы показывают 3 часа?