Серия независимых испытаний Бернулли

Математика/ОГЭ/ЕГЭ/ВПР/"Учи математику" Пахтусова Татьяна Викторовна

Урок №23 на тему «Серия независимых испытаний Бернулли»

1. Организационный момент.

2. Повторение.

1) Что такое испытание Бернулли? Приведите примеры. (Испытанием Бернулли или просто испытанием называют случайный опыт, который может закончиться одним из двух элементарных событий. Примеры: будет солнечно или пасмурно; пойду или не пойду в школу; заболею или не заболею).

2) Чему равна сумма вероятностей успеха и неудачи? (Сумма вероятностей успеха и неудачи равна единице)

3) Запишите формулой вероятность события «успех случится на n испытании» (Вероятность события А «успех случится на n испытании» равна: ).

4) Запишите формулой вероятность события «успех случится позже n испытания» (Вероятность события А «успех случится позже n испытания» равна: ).

5) Запишите формулой вероятность события «успех случится не позже n испытания» (Вероятность события А «успех случится не позже n испытания» равна: ).

Сегодня мы продолжим решать задачи на нахождение вероятности события в серии независимых испытаний.

3. Актуализация знаний.

Мы изучали опыты, в которых испытания проводились до первого успеха. Теперь рассмотрим другой опыт. Будем проводить испытания определённое число раз, независимо от того, успехом или неудачей окончилось предыдущее испытание. Важно, чтобы одинаковые испытания можно было проводить много раз, и чтобы они были независимыми — исход каждого не связан с предыдущими. При этом вероятность успеха (и неудачи) постоянна для всех испытаний.

С такими испытаниями учащиеся уже встречались, например:

− бросание монеты определённое число раз, при этом успехом можно считать выпадение орла;

− бросание игрального кубика, при этом успехом считается выпадение шестёрки (или какой-нибудь другой грани или даже одной из нескольких гра- ней);

− повторение стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом отдельном выстреле одна и та же.

4. Определение темы и целей урока.

Тема урока: «Серия независимых испытаний Бернулли».

Цель урока: практическое изучение опыта, в котором проводится серия независимых испытаний, решение задач.

5. Работа по теме урока.

Такую серию испытаний можно устроить не всегда. Бывают испытания, которые не удается повторить. Например, краш-тест автомобиля – новую модель автомобиля подвергают испытанию на безопасность при столкновении. Если манекен, сидящий внутри автомобиля, не получил серьезных повреждений, тест считают успешными. Однако надежность выводов при краш-тесте не очень высокая, поскольку автомобиль разбивается. Повторить испытания много раз в тех же условиях невозможно (слишком дорого – делать множество автомобилей, чтобы их разбить).

Поэтому для производителей автомобилей, самолетов, железнодорожной техники очень важно собирать информацию об отказах и авариях, произошедших уже в процессе эксплуатации.

Если все же удается провести несколько (определенное количество) одинаковых и независимых испытаний подряд, то говорят, что проведена серия испытаний Бернулли.

Серия испытаний Бернулли – это последовательность одинаковых независимых испытаний, каждое из которых может окончиться либо успехом, либо неудачей.

Пример №1. Напишите все элементарные события в последовательности из трех испытаний.

УУУ

ННН

УНН

НУН

ННУ

НУУ

УНУ

УУН

Отдельные испытания Бернулли независимы, поэтому вероятность каждого элементарного события можно найти с помощью правила умножения вероятностей.

Пример №2. Найти вероятность А элементарного события УУН:

Пример №3. Составьте таблицу элементарных событий и их вероятностей для серии из трех независимых испытаний:

Таким способом можно составить таблицу элементарных событий и их вероятностей для серии из четырех, пяти и более испытаний Бернулли.

Элементарным событием в серии испытаний Бернулли является не отдельный успех или неудача, а последовательность успехов и неудач. В серии из n испытаний Бернулли всего 2ⁿ элементарных событий.

Для трех испытаний: 2³=8 элементарных событий;

Для четырех испытаний: 2⁴=16 элементарных событий;

Для пяти испытаний: 2⁵=32 элементарных событий и т.д.

Простейшая серия испытаний Бернулли – бросание симметричной монеты.

В серии из n испытаний Бернулли вероятность получить каждое элементарное событие, в котором в произвольном образом чередуются k успехов и n-k неудач, равна:

.

Пример №4. В коробке лежат карандаши: 3 красных и 5 синих. Вынимают наудачу один карандаш. Если карандаш окажется красным, то назовем элементарное событие опыта успехом. Если карандаш синий, то будем считать, что опыт окончился неудачей. Вынутый карандаш возвращают в коробку. Опыт повторили 4 раза. Какова вероятность вынуть в первый, третий и четвертый раз красные карандаши, а во второй — синий?

Решение:

- вероятность успеха, - вероятность неудач.

Событие А «в первый, третий и четвертый раз красные карандаши, а во второй — синий» имеет вид УНУУ. И вероятность его равна pqpp = p³q.

Пример №5. Биатлонист делает по очереди 5 выстрелов по пяти мишеням. Известно, что он попадает в мишень в среднем 8 раз из 10. Какова вероятность того, будут поражены первая, третья и четвертая мишени, вторая и пятая нет?

Решение:

- вероятность успеха, - вероятность неудач.

Событие А «будут поражены первая, третья и четвертая мишени, вторая и пятая нет» имеет вид УНУУН. И вероятность его равна pqppq =p³q².

Для закрепления полученных знаний предложите ученикам решить следующие задачи.

6. Решение упражнений

1. Эксперимент состоит из четырёх последовательных испытаний Бернулли. Пользуясь обозначениями У для успеха и Н для неудачи, выпишите все элементарные события, в которых ровно:

а) 1 успех; б) 2 успеха; в) 3 успеха.

2. Пользуясь результатами задачи 1, перечертите в тетрадь и заполните таблицу, в которой указано, сколько может быть элементарных событий без успехов, с одним успехом, с двумя успехами и т. д. в серии из четырёх испытаний Бернулли.

3. Эксперимент состоит из пяти последовательных испытаний Бернулли. Пользуясь обозначениями У и Н для успеха и неудачи, выпишите все элементарные события, в которых ровно:

а) 0 успехов; б) 1 успех; в) 2 успеха.

4. Игральную кость бросают 4 раза. Найдите вероятность события, состоящего в том, что шестёрка выпадет:

а) только при первом и третьем бросках;

б) только при втором броске;

в) ровно 3 раза — при первом, втором и четвёртом бросках.

5. Миша кидает мяч в баскетбольное кольцо. Вероятность попадания равна p = 1/3. Найдите вероятность того, что, сделав 5 бросков, Миша попадёт в кольцо только при втором и четвёртом бросках.

7. Рефлексия.

Серия испытаний Бернулли – это последовательность одинаковых независимых испытаний, каждое из которых может окончиться либо успехом, либо неудачей.

Элементарным событием в серии испытаний Бернулли является не отдельный успех или неудача, а последовательность успехов и неудач. В серии из n испытаний Бернулли всего 2ⁿ элементарных событий.

В серии из n испытаний Бернулли вероятность получить каждое элементарное событие, в котором в произвольном образом чередуются k успехов и n-k неудач, равна:

.

8. Домашнее задание:

ДЗ. В части А Единого государственного экзамена по математике в 2007 г. было 10 заданий. К каждому из них предлагается 4 варианта ответа, из которых ровно один — верный. Успехом назовем выбор верного варианта ответа, неудачей — выбор одного из неверных. Если ученик не знает предмет и отвечает наугад, то с вероятностью он выберет правильный ответ, а с вероятностью ошибется. Какова вероятность, отвечая наудачу на вопросы экзамена, правильно ответить:

а) на первое задание;

б) на первые два задания;

в) только на первое задание;

г) только на первые два задания?

9. Для разработки урока использованы следующие источники:

Литература:

1. Математика. Вероятность и статистика. 7-9 классы. Базовый уровень. Учеб. пособие для общеобразоват. организаций. В 2 ч. / И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. – М.: Просвещение, 2023. – 177 с.

2. Математика. Универсальный многоуровневый сборник задач. 7-9 классы. Учеб. пособие для общеобразоват. организаций. В 3 ч. / И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. – М.: Просвещение, 2020. – 238 с.

3. Высоцкий И. Р. Дидактические материалы по теории вероятностей. 8-9 классы. – М. : МЦНМО, 2018. – 224 с.

4. Теория вероятностей и статистика / Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО: АО «Московские учебники», 2004. — 256 с.: ил.

Интернет:

Сайт «Математическая вертикаль / Вероятность в школе https://ptlab.mccme.ru/vertical

Самостоятельная работа Вариант 1

1. Эксперимент состоит из трех последовательных испытаний Бернулли. Пользуясь обозначениями У для успеха и Н для неудачи, выпишите все элементарные события, в которых ровно:

а) 2 успеха; б) 0 успеха.

2. Игральную кость бросают 3 раза. Найдите вероятность события, состоящего в том, что шестёрка выпадет:

а) только при втором и третьем бросках;

б) только при первом броске;

в) ни разу.

3. Коля кидает мяч в баскетбольное кольцо. Вероятность попадания равна p = 0,4. Найдите вероятность того, что, сделав 5 бросков, Коля попадёт в кольцо только при первом и третьем бросках.

Самостоятельная работа Вариант 2

1. Эксперимент состоит из трех последовательных испытаний Бернулли. Пользуясь обозначениями У для успеха и Н для неудачи, выпишите все элементарные события, в которых ровно:

а) 3 успеха; б) 1 успех.

2. Игральную кость бросают 3 раза. Найдите вероятность события, состоящего в том, что шестёрка выпадет:

а) только при втором броске;

б) только при первом и втором бросках;

в) все три раза.

3. Саша кидает мяч в баскетбольное кольцо. Вероятность попадания равна p = 0,7. Найдите вероятность того, что, сделав 5 бросков, Саша попадёт в кольцо только при втором и третьем бросках.