Справочный материал по теме "Производная"

ФОРМУЛЫ И ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Формулы

Правила

Элементарные функции

Сложные функции

(c∙f(x))=c∙f  (x)

(c – постоянная)

Постоянный множитель можно выносить за знак производной

c=0

(c – постоянная)

x=1

(n – постоянная)

Производная суммы (разности)

Производная суммы (разности) функций равна сумме их производных

Частные случаи

Производная произведения

(a0 – постоянная)

Производная частного

Производная сложной функции (функции от функции)

Если y=f(u) и u=u(x), т.е. y=f(u(x)), то

Геометрический смысл производной

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке, а также тангенсу угла наклона касательной к оси Х.

Физический смысл производной

Скорость –это производная пути по времени, а ускорение – это производная скорости по времени.

S=S(t)

v=S(t)

a=v(t)

Исследование функции y=f(x) на монотонность и экстремумы

1. Найти область определения и интервалы, на которых функция непрерывна.

2. Найти производную f  (x).

3. Найти критические точки, т.е. внутренние точки области определения, в которых

f  (x)=0 или не существует.

1. Отметить критические точки на области определения; найти знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения.

2. Относительно каждой точки определить, является ли она точкой максимума или минимума или не является точкой экстремума.

3. Записать результат исследования (промежутки монотонности и экстремумы)

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной на отрезке

1. Найти производную f  (x).

2. Найти критические точки ( f  (x)=0 или не существует).

3. Выбрать критические точки, принадлежащие данному отрезку.

4. Вычислить значение функции в критических точках и на концах отрезка.

5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее