Сечения призмы (справочный материал).

Сечения призмы

     Определение 1. Сечением тела некоторой плоскостью α называют фигуру, состоящую из всех точек этого тела, лежащих в плоскости  α.

      В качестве примера рассмотрим сечение куба   ABCDA₁B₁C₁D₁   плоскостью, проходящей через точку   D  и середины ребер  A₁B₁   и   B₁C₁ . Рассмотрим процесс построения сечения подробно.

      Обозначим буквами   E  и   F середины ребер  A₁B₁   и   B₁C₁ (рис. 1).

Рис.1

Поскольку точки   E  и   F лежат на ребрах одной грани куба   A₁B₁C₁D₁ , то проведем прямую   EF  до пересечения с продолжениями двух других ребер этой грани. Обозначим буквой   G  точку пересечения прямой   EF  с продолжением отрезка   D₁C₁  за точку  C₁, а буквой   Н – точку пересечения прямой   EF  с продолжением отрезка   D₁A₁  за точку  A₁ . Эти точки пересечения существуют, поскольку все указанные прямые лежат в одной плоскости   A₁B₁C₁D₁ и не параллельны попарно (рис. 2).

Рис.2

Точки  G  и  D принадлежат плоскости сечения, а, значит, и вся прямая   DG  лежит в плоскости сечения. С другой стороны, эти точки лежат на ребрах (или их продолжениях) одной грани куба   DD₁C₁C. Значит, точка пересечения  DG  с ребром куба C₁C (точка   N ) будет принадлежать сечению. Таким образом, мы получаем еще два отрезка сечения:   FN  и   DN  (рис. 3).

Рис.3

  Теперь, действуя аналогичным образом, проводим прямую   HD, обозначаем точку перечения этой прямой с ребром AA₁ буквой  M  и проводим линии сечения   ME и   MD   в плоскостях граней   AA₁B₁B и   AA₁D₁D (рис. 4).

Рис.4

      В результате, как и показано на рисунке 4, получаем, что искомое сечение – пятиугольник   DMEFN.

      Предлагаем посетителю нашего сайта решить в качестве полезного упражнения следующую задачу.

     Задача. Наши площадь сечения   DMEFN, если ребро куба равно 6.

     Указание к решению. Треугольники   HA₁E,   EB₁F и   FC₁G равны.

Перпендикулярные сечения призмы

      Определение 2. Перпендикулярным сечением призмы называют такое сечение, плоскость которого пересекает все боковые ребра призмы и перпендикулярна к ним.

     На рисунке 5 построено перпендикулярное сечение наклонной треугольной призмы – треугольник KLM. Хотим обратить Ваше внимание на то, что призма на рисунке 5 изображена лежащей на одной из своих боковых граней. Такой способ представления призмы на чертеже часто очень удобен при решении задач.

Рис.5