Система уравнений как математическая модель

Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

Урок 1

Урок 2

Урок 3

Урок 4

Урок 5

Урок 1

Цели:

показать способ решения задач с помощью составления систем уравнений второй степени;

способствовать развитию навыков и умений при решении систем уравнений.

0. х 1 = 12; х 2 = – 15 не удовлетворяет смыслу задачи. О т в е т: 15 км/ч; 12 км/ч. " width="640"

Пусть скорость второго велосипедиста х км/ч, тогда скорость первого ( х + 3) км/ч.

ч время движения второго велосипедиста,

ч время движения первого велосипедиста.

По смыслу задачи х 0.

х 1 = 12; х 2 = – 15 не удовлетворяет смыслу задачи.

О т в е т: 15 км/ч; 12 км/ч.

Решим задачу № 7.1 с помощью введения двух переменных.

Пусть скорость первого поезда х км/ч, а скорость второго поезда у км/ч.

Решите систему

О т в е т: 80 км/ч; 60 км/ч.

Решить задачу № 7.5

Пусть первое число равно х , второе число у .

Решим уравнение:

(46 – у ) 2 + у 2 = 1130

2116 – 92 у + у 2 + у 2 – 1130 = 0

2 у 2 – 92 у + 986 = 0

у 2 – 46 у + 493 = 0

D = 144; у 1 = 17; у 2 = 29.

Если у = 17, то х = 46 – 17 = 29;

если у = 29, то х = 46 – 29 = 17.

О т в е т: 29 и 17.

Решить задачу № 7.2

Пусть х км/ч собственная скорость лодки, у км/ч скорость течения реки. Тогда ( х + у ) км/ч скорость по течению реки; ( х – у ) км/ч скорость лодки против течения реки.

О т в е т: 6 км/ч; 1 км/ч.

Решить № 7.6 самостоятельно

Пусть первое натуральное число равно х , второе число равно у .

Решим уравнение:

у 2 + 24 у – 481 = 0

D = 2500; у 1 = 13; у 2 = – 37

у = – 37 не удовлетворяет условию задачи, что у – натуральное число.

Если у = 13, то х = 24 + 13 = 37.

О т в е т: 37 и 13.

Решить № 7.8 самостоятельно

Пусть первое натуральное число равно х , второе – у . Составим и решим систему уравнений.

у 1 = 19; у 2 = 131 не удовлетворяет условию задачи (сумма двух натуральных чисел равна 50).

Если у = 19, то х = 50 – 19 = 31.

О т в е т: 31 и 19.

Изобразив схематически графики уравнений, определите, сколько решений имеет система уравнений:

Урок 2.

Цели:

упражнять учащихся в составлении систем уравнений как математических моделей реальных ситуаций при решении задач;

способствовать выработке навыков и умений при решении систем уравнений различными способами.

Решить уравнение:

2 х – 4 + 10 = х + 2 х 2 ;

2 х 2 – х – 6 = 0;

D = 49;

х 1 = – 1,5; х 2 = 2.

Проверка показывает, что х = 2 не является корнем.

О т в е т: – 1,5.

Двузначное число в 6 раз больше суммы его цифр. Если из этого числа вычесть произведение его цифр, то получится 34. Найдите исходное число.

Пусть х – число десятков двузначного числа,

у – число единиц двузначного числа. Тогда (10 х + у) данное двузначное число.

Подстановка у = 0,8 х ; тогда 10 х + 0,8 х – х · 0,8 х = 34;

0,8 х 2 – 10,8 х + 34 = 0 | : 0,2; 4 х 2 – 54 х + 170 = 0 | : 2;

2 х 2 – 27 х + 85 = 0;

D = 729 – 680 = 49;

х 1 = 5; х 2 = 8,5 не удовлетворяет условию задачи.

Если х = 5, то у = 0,8 х = 0,8 · 5 = 4. Число 54.

О т в е т: 54.

Решить задачу № 7.11 самостоятельно.

Пусть х числитель дроби, у знаменатель дроби, тогда исходная дробь.

Условию задачи удовлетворяет х = 5, тогда

у = 2 · 5 + 1 = 11.

Ответ:

Решить задачу № 7.12

периметр прямоугольника Р = ( а + b ) · 2 и теорема Пифагора с 2 = а 2 + b 2 .

Пусть стороны прямоугольника равны х см и у см. Тогда периметр ( х + у ) · 2 = 28;

по теореме Пифагора х 2 + у 2 = 10 2 = 100.

Решим уравнение:

196 – 28 у + у 2 + у 2 = 100;

2 у 2 – 28 у + 96 = 0;

у 2 – 14 у + 48 = 0;

у 1 = 6; у 2 = 8.

Если у = 6, то х = 14 – 6 = 8;

если у = 8, то х = 14 – 8 = 6.

О т в е т: 6 см и 8 см.

Решить задачу № 7.15

Пусть х и у – катеты прямоугольного треугольника

О т в е т: 84 см.

Решить задачу № 7.48

х м/с – скорость первого тела;

у м/с – скорость второго тела.

По теореме Пифагора

Сложим два уравнения почленно, получим – 48 х – 64 у = 800

О т в е т: 6 м/с; 8 м/с.

Урок 3.

Цели:

• научить учащихся решать задачи на совместную работу с помощью составления систем уравнений;
• закреплять знания и умения учащихся в решении систем уравнений различными методами;
• развивать логическое мышление учащихся.

Самостоятельная работа (15–20 мин).

В а р и а н т I

1. Прямоугольный участок земли площадью 3250 м 2 обнесен изгородью, длина которой 230 м. Найдите длину и ширину участка.

2. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.

В а р и а н т II

1. Разность двух числе равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.

2. Прямоугольный участок земли площадью 2080 м 2 обнесен изгородью, длина которой равна 184 м. Найдите длину и ширину участка.

Решение задач на совместную работу. № 7.22

Примем объем работы (задания) за 1.

х ч. работает первая бригада одна;

у ч. в одиночку выполнит все задание вторая бригада;

часть работы, выполненная первой бригадой за 1 ч;

производительность второй бригады за 1 ч;

производительность обеих бригад за 1 ч.

8(12 + х ) + 8 х = х (12 + х )

96 + 8 х + 8 х = 12 х + х 2

х 2 – 4 х – 96 = 0

D = 400; х 1 = 12; х 2 = – 8 не удовлетворяет условию задачи.

Если х = 12, то у = 12 + 12 = 24.

О т в е т: 12 ч.

Решить задачу № 7.23 самостоятельно.

проверка

№ 7.26.

Примем площадь всего поля за 1. Пусть один тракторист половину поля вспахал за х ч, а второй половину поля вспахал за у ч, тогда оба они поле вспахали за 100 ч, значит, х + у = 100.

часть поля вспашет один тракторист отдельно за 1 ч;

часть поля вспашет отдельно второй тракторист за 1 ч;

производительность обоих трактористов

за 1 ч.

№ 7.47

Поскольку бассейн в итоге оказывается пустым, то это значит, что

Второе уравнение х – у = 2.

у 2 + 2 у – 48 = 0;

у 1 = – 8 не удовлетворяет условию задачи;

у 2 = 6. Если у = 6, то х = 6 + 2 = 8.

О т в е т: 8 ч; 6 ч.

У р о к 4

Цели:

закрепить у учащихся навыки и умения решения задач с помощью систем уравнений второй степени; развивать логическое мышление учащихся.

0. Если х = 18, то у = 2 · 18 – 16 = 20. В синем зале 18 рядов, в красном зале 20 рядов. О т в е т: 20 рядов; 18 рядов. " width="640"

Решение задач с помощью составления систем уравнений.

№ 7.19

Пусть х – число рядов в синем зале кинотеатра;

у – число мест в каждом ряду синего зала.

Тогда х + 2 число рядов в красном зале,

у – 4 число мест в каждом ряду красного зала.

х 1 = 18; х 2 = – 10 не удовлетворяет условию задачи х 0.

Если х = 18, то у = 2 · 18 – 16 = 20.

В синем зале 18 рядов, в красном зале 20 рядов.

О т в е т: 20 рядов; 18 рядов.

0. Если у = 4, то х = 20 × 4 + 20 = 100. Поступало в колледж 100 человек, а по математике сдавало экзамен 80 человек. О т в е т: 80 человек. " width="640"

Решить задачу № 7.20 самостоятельно

Пусть х – число учеников, собирающихся сдавать экзамены для поступления в колледж; у – число листов, предполагаемых для каждого ученика. Тогда х – 20 учеников сдавали экзамен по математике; у + 1 лист дали каждому ученику на экзамене по математике.

у 1 = 4;

у 2 = – 5 не удовлетворяет у 0.

Если у = 4, то

х = 20 × 4 + 20 = 100.

Поступало в колледж 100 человек, а по математике сдавало экзамен 80 человек.

О т в е т: 80 человек.

Решить задачу № 7.16

.

Пусть х км/ч – собственная скорость лодки; у км/ч – скорость течения реки. Тогда ( х + у ) км/ч – скорость лодки по течению реки; ( х – у ) км/ч – скорость лодки против течения реки

ч время движения лодки по течению реки;

ч время движения лодки против течения реки.

+

Всего затрачено 7 ч, тогда

= 7.

ч время движения лодки против течения реки;

ч турист затратил время на движение по течению реки.

=

Время движения одинаковое, тогда

= а ,

= b .

Обозначим

то есть х – у = 4;

=

то есть х + у = 10.

=

Решим систему уравнений

О т в е т: 3 км/ч.

Решить задачу № 7.42.

Пусть х км/ч – скорость катера в стоячей воде,

у км/ч – скорость течения.

О т в е т: 24 км.

Решить графически систему уравнений

О т в е т: (4; 0); (0; – 4).

У р о к 5

Цели: способствовать выработке навыков и умений решать задачи и системы уравнений различными методами; развивать логическое мышление учащихся.

Ответить на вопросы:

а) Какие методы решения систем двух уравнений с двумя переменными вы знаете?

б) Назвать варианты при решении систем уравнений методом введения новых переменных.

в) Назвать уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r .

г) Сформулировать теорему об уравнении окружности.

Решить задачу № 7.28.

Пусть х – число десятков двузначного числа,

у – число единиц.

Тогда исходное двузначное число равно 10 х + у .

О т в е т: 32.

0. Если у = 3, то х = 2 + 2 · 3 = 8. Исходное число 83. О т в е т: 83. " width="640"

Решить задачу № 7.32.

Пусть х – число десятков исходного числа,

у – число его единиц.

Исходное двузначное число равно 10 х + у .

Решим уравнение: 2 у + 2 у 2 – 6 – 6 у = 0, у 2 – 2 у – 3 = 0.

у 1 = 3, у 2 = – 1 не удовлетворяет у 0.

Если у = 3, то х = 2 + 2 · 3 = 8. Исходное число 83.

О т в е т: 83.

Решить № 7.34 самостоятельно.

Решить задачу № 7.43 на совместную работу

Объем всей работы примем за 1. Пусть первая наборщица сделала половину всей работы за х ч, а вторая остальную половину работы сделала за у часов.

Половина работы одной наборщицей сделана за 5 ч, значит, вся работа ею будет выполнена отдельно за 10 ч, а вторая наборщица в одиночку выполнит работу за 15 ч.

О т в е т: 10 ч; 15 ч.

Решить задачу 7.39

Пусть х км/ч – скорость первого поезда; тогда ( х + 40) км/ч – скорость второго поезда. 2 у км – расстояние между А и В.

ч.

Время 3 ч 45 мин =

О т в е т: 60 км/ч; 100 км/ч.

Источники материалов:

•   Мордкович, А. Г. Алгебра. 9 класс : в 2 ч. Ч. 1 : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – М. : Мнемозина, 2011;
• Алгебра. 9 класс : в 2 ч. Ч. 2 : задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович [и др.] ; под ред. А. Г. Мордковича. – М. : Мнемозина, 2011.
• Алгебра. 9 класс : поурочные планы по учебнику А. Г. Мордковича / авт.-сост. Т. Л. Афанасьева, Л. А. Тапилина. – Изд. 2-е, стереотип. – Волгоград: Учитель, 2008. – 255 с.