Системы счисления. Быстрый перевод из десятичной системы счисления в двоичную.

Системы счисления. Как быстро переводить числа из десятичной системы счисления в двоичную

Учитель информатики ГБОУ школа № 118

г. Москва

Серогодская Н.И.

Быстрый перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную

Чтобы быстро переводить числа из десятичной системы счисления в двоичную, нужно хорошо знать числа "2 в степени".

В зависимости от того как отличается переводимое число от числа «2 в степени» существует несколько методов перевода.

Метод 1   если число, которое нужно перевести из десятичной системы, равно числу "2 в степени", то это число в двоичной системе содержит количество нулей, равное степени. Впереди этих нулей добавляем "1". 

Примеры:

• Переведем число 2 из десятичной системы.

2=2 1 . Поэтому в двоичной системе число содержит 1 нуль. Впереди ставим "1" и получаем 10 2 . 

• Переведем 4 из десятичной системы.

4=2 2 . Поэтому в двоичной системе число содержит 2 нуля. Впереди ставим "1" и получаем 100 2. 

• Переведем 8 из десятичной системы.

8=2 3 . Поэтому в двоичной системе число содержит 3 нуля. Впереди ставим "1" и получаем 1000 2. 

• На рисунке квадратиками обозначено двоичное представление числа, а слева розовым цветом-десятичное. 

Аналогично   и для других чисел "2 в степени".

Если число, которое нужно перевести, меньше числа "2 в степени" на 1, то в двоичной системе это число состоит только из единиц, количество которых равно степени.

Переведем 3 из десятичной системы. 3=2 2 -1. Поэтому в двоичной системе число содержит 2 единицы. Получаем 11 2. 

Переведем 7 из десятичной системы. 7=2 3 -1. Поэтому в двоичной системе число содержит 3 единицы. Получаем111 2. 

На рисунке квадратиками обозначено двоичное представление числа, а слева розовым цветом-десятичное.

Аналогичен   перевод и для других чисел "2 в степени-1".

Понятно, что перевод чисел от 0 до 8 можно сделать быстро или делением, или просто знать наизусть их представление в двоичной системе. Этот метод можно использовать для перевода более "внушительных чисел", например, для перевода чисел 127,128, 255, 256, 511, 512 и т.д.

Можно встретить такие задачи, когда нужно перевести число, не равное числу "2 в степени", но близкое к нему. Оно может быть больше или меньше числа "2 в степени". Разница между переводимым числом и числом "2 в степени" должна быть небольшая. Например, до 3. Представление чисел от 0 до 3 в двоичной системе надо просто знать без перевода . 

Если число больше, то решаем так:

Переводим сначала число "2 в степени" в двоичную систему. А потом прибавляем к нему разницу между числом "2 в степени" и переводимым числом.

Например, переведем 19 из десятичной системы. Оно больше числа "2 в степени" на 3. 

19=16+3. 

16=2 4 . 16 10 =10000 2 .

3 10 =11 2 .

19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .

• Если число меньше числа "2 в степени", то удобнее пользоваться числом "2 в степени-1". Решаем так:
• Переводим сначала число "2 в степени-1" в двоичную систему. А потом вычитаем из него разницу между числом  "2 в степени-1" и переводимым числом.
• Например, переведем 29 из десятичной системы. Оно больше числа "2 в степени-1" на 2. 29=31-2. 
• 31 10 =11111 2 . 
• 2 10 =10 2 . 
• 29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2

• Если разница между переводимым числом и числом "2 в степени" больше трех, то можно разбить число на составляющие, перевести каждую часть в двоичную систему и сложить.
• Например, перевести число 528 из десятичной системы. 528=512+16. Переводим отдельно 512 и 16. 512=2 9  . 512 10 =1000000000 2 .  16=2 4 . 16 10 =10000 2 .  Теперь сложим столбиком:

• Данная методика позволяет тратить минимум времени на перевод чисел из десятичной системы в двоичную, но при условии, что Вы прекрасно знаете числа "2 в степени". Если это не так, то заучите эти числа.  Тем более, что в задачах по информатике они активно используются.

Разбор задачи A1 (демо ЕГЭ 2013)

Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 255? 1.1 2.2 3.7 4.8

Решение: 1 способ:

255 |  2      2        127 |  2       5      12      63 |  2        4         7     6      31 |  2      15       6       3    2      15 |  2      14       1       2    11    14    7 |   2      1              1    10      1    6      3 |  2                          1          1      2    1                                             1   

Выписываем конечный результат и остатки. Получаем: 11111111 2 . В числе 8 единиц.

2 способ (метод быстрого перевода):

Число 255 меньше числа "2 в степени" на 1. 255=256−1=2 8 −1 (8 единиц).

Если число меньше числа "2 в степени", то удобнее пользоваться числом "2 в степени-1".

• Решаем так: Переводим сначала число "2 в степени-1" в двоичную систему. А потом вычитаем из него разницу между числом "2 в степени-1" и переводимым числом.
• Например : переведем 29 из десятичной системы.
• Оно больше числа "2 в степени-1" на 2.
• 29=31-2.
• 31=11111₂
• 2=10 ₂
• 29=11111 ₂ -10 ₂ =11101 ₂

Если разница между переводимым числом и числом "2 в степени" больше трех , то можно разбить число на составляющие, перевести каждую часть в двоичную систему и сложить.

Например:

перевести число 528 из десятичной системы. 528=512+16.

Переводим отдельно

512 и 16.

512= 512=1000000000₂

16= 16=10000. Теперь сложим столбиком:

1000000000+10000=1000010000

Использованные источники

2 способ (метод быстрого перевода):

Метод описан в статье:   "Быстрый перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную".

Число 255 меньше числа "2 в степени" на 1.

255=256−1=2 8 −1 (8 единиц).

Тестирование по теме

• http://inf.reshuege.ru/test?a=catlistwstat

Источники

• статья:   "Быстрый перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную ".
• демо ЕГЭ 2012 года .
• http:// reshuege.ru
• http://tidm.ru