Россия, Ивантеевка, Московская обл.
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 08.09.2025 13:09
Звездина Вера Алексеевна
Учитель информатики, владелец онлайн-школы "Понятная информатика"
72 года
33 946
695 
Местоположение
Специализация
Системы счисления. Методика преподавания темы на уроках в 8-11 классах с углубленным изучением информатики и для подготовки к ГИА.
Категория:
Информатика
19.06.2020 14:26
Просмотр содержимого документа
«Системы счисления. Методика преподавания темы на уроках в 8-11 классах с углубленным изучением информатики и для подготовки к ГИА.»
Системы счисления
Методика преподавания темы на уроках в 8-11 классах с углубленным изучением информатики для подготовки к ГИА
На уроках информатики мы никогда ничего не зубрим! Ученики должны понимать все, о чем говорится на уроках, и запоминать новое путем повторений пройденного, сравнений и ассоциаций с уже знакомыми темами и понятной информацией.
Для максимально быстрого и однозначно верного решения задач мы придерживаемся принципа: чем меньше вычислений и другой работы мы делаем, тем меньше времени тратиться на решение задачи и тем меньшую вероятность появления ошибок получаем в результате. При этом, соглашаясь с Аристотелем, что «Ум заключается не только в знании, но и в умении прилагать знания на деле», я настаиваю на способах решений, соответствующих этому принципу, хотя существуют и другие варианты. На своих уроках я придерживаюсь изложения темы именно в этом ключе. Сначала это бывает сложно, особенно тем, кто приходит ко мне на уроки уже знакомым с иначе излагаемым материалом и не желающим переучиваться. Но хочу научить решать быстро и без ошибок, экономя время и силы для новых задач. Поверьте, этому несложно научиться, нужно только поверить в свои силы - и все получится! При этом проверочные работы и тесты проводятся мной на время с расчетом решения задач именно по такому принципу.
При изучении этой темы обращаю особое внимание на таблицу степеней двойки и на ряд закономерностей. При этом знание таблицы является необходимым и достаточным условием для максимально быстрого и однозначно точного решения, а дополнительное знание закономерностей позволит выполнить все еще быстрее и точнее.
Ниже приведена таблица степеней двойки, где n – это степень, а 2n- результат возведения числа 2 в степень n:
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 2n | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 | 2048 | 4096 |
Таблицу не обязательно заранее учить наизусть. Постарайтесь при решении задач пользоваться ею, но при этом заглядывать в нее все реже и реже, пытаясь сначала вспомнить значение степени. Тогда эта таблица сама «уляжется» в Вашей голове и очень поможет Вам на экзамене в этой и в других темах!
Теперь перейдем к теории рассматриваемой темы.
Система счисления или нумерация – это способ записи (обозначения) чисел.
Возьмем это за основу работы с разными системами счисления, поскольку только способ записи у них будет разный, а все закономерности одинаковые. Поэтому в случае возникновения трудностей в понимании темы обращаемся к десятичной системе счисления и переносим аналог на остальные.
Символы, при помощи которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность – алфавитом системы счисления. Количество цифр, составляющих алфавит, называется основанием (размерностью) системы счисления. Число в любой системе счисления состоит из цифр, входящих в алфавит этой системы.
В системе счисления, которой мы пользуемся в повседневной жизни – 10 цифр (от 0 до 9), и поэтому такая система счисления называется десятичной.
Аналогично, если в системе счисления будет две цифры (0 и 1), то она называется двоичной, восемь цифр (от 0 до 7) – восьмеричной и т.д.
Основание алфавита указывается в виде индекса числа, записанного в десятичной системе счисления, например: 10112, 1528, 1А716.
При этом основание десятичной системы счисления можно не указывать (будем использовать то, что всем нам привычно - "по умолчанию").
Обратим внимание, что
наименьшей цифрой в алфавите любой системе счисления является ноль, а наибольшая цифра всегда на единицу меньше основания
Системы счисления бывают двух видов - позиционные и непозиционные.
Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от ее положения (позиции) в записи числа.
Например, запишем одинаковыми цифрами несколько разных чисел:
1234 = 1 тысяча + 2 сотни + 3 десятка + 1 единица
3124 = 3 тысячи + 1 сотня + 2 десятка + 4 единицы
4321 = 4 тысячи + 3 сотни + 2 десятка +1 единица.
Таким образом, числа, составленные из одних и тех же цифр, но стоящих в числах на разных позициях, имеют различные значения (математический вес).
Как и в привычной нам десятичной, так и в любой другой позиционной системе счисления значение числа образуется суммой результатов умножения цифр на «веса» (степени основания) соответствующих разрядов.
Например,
3948 = 3*1000+9*100+4*10+8*1 = 3*103+9*102+4*101+8*100
10112 = 1*23+0*22+1*21+1*20 или 10112 = 1*20+1*21+0*22+1*23
(далее будем пользоваться последней приведенной в примере формой записи, чтобы не делать лишних действий и не нумеровать степени двойки слева направо для их правильного использования).
При этом форма записи числа в виде 3948 называется свернутой, а в виде 3*103+9*102+4*101+8*100 - развернутой формой записи числа.
Примером непозиционных систем могут служить древнеегипетская, древнеславянская или римская система счисления.
Самым ярким примером непозиционной системы счисления является известная всем римская система счисления, в которой каждый символ обозначает всегда одно и тоже число независимо от его позиции в числе. Так в римской системе счисления из двух цифр X - десять и I - один можно составить числа: XI (одиннадцать), IX (девять), XIX (девятнадцать) или другие, но во всех них значения цифр в зависимости от занимаемых позиций не меняются, а значение числа получается разным при смене порядка следования цифр друг за другом.
Будем называть позиционные системы счисления дружественными (родственными), если в основании у них лежит одно и то же число, но в разных степенях. При этом «дружат» они через систему счисления с основанием в первой степени.
Например, двоичная, четверичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления «дружат» через двоичную, т.к. в основании у них лежит число 2, но в разных степенях:
2=21, 4=22, 8=23, 16=24
Будем считать, что десятичная система счисления не дружит ни с какой другой, так как ближайшая к ней система счисления с основанием 100 в практических вычислениях нам не встречается.
Правила перевода между различными системами счисления делятся на две группы – перевод между дружественными и недружественными системами.
Перевод между недружественными системами счисления всегда выполняется через десятичную систему следующим образом:
из десятичной системы счисления в любую – делением исходного числа на основание системы счисления, в которую переводим; при этом остатки от деления и последнее частное должны быть меньше этого основания. Частное и остатки от деления собираются справа налево.
из любой системы счисления в десятичную - умножением цифр на «веса» (степени основания) соответствующих разрядов и все полученные значения складываются.
Например, переведем десятичное число 25 в двоичную систему счисления (рис.1):
Тогда 2510 = 110012
и обратно 110012 = 1*20+0*21+0*22+1*23+1*24
2510 = 2213
и обратно 2213 = 1*30+2*31+2*32
2510 = 416 и обратно 416 = 1*60+4*61
Для быстрого и точного перевода между дружественными (причем только между ними!) двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления построим таблицу соответствия десятичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел двоичным, и назовем эту таблицу таблицей «дружбы» (рис.2). Левая часть этой таблицы включает цифры восьмеричной системы счисления, а правая дополняет ее для всех цифр шестнадцатеричной системы счисления.
Заметим, что так как каждая цифра в любой системе счисления занимает только одну позицию (один разряд числа), то в шестнадцатеричной системе счисления для записи цифр со значением больше 9 (10, 11 и т.д. здесь – это цифры!) используют латинские заглавные буквы от A до F .
Данная таблица разделена двойными линиями в местах условного ее разделения на дружественные системы счисления (двоичную, четверичную, восьмеричную и шестнадцатеричную).
Обратите внимание, что длина чисел в двоичной системе счисления зависит от степени двойки в основании дружественной системы счисления:
т.к. 8=23, то при переводе из восьмеричной системы счисления в двоичную мы записываем каждое двоичное число тремя разрядами (триадами);
т.к. 16=24, то при переводе из восьмеричной системы счисления в двоичную мы записываем каждое двоичное число четырьмя разрядами (тетрадами);
Именно это позволяет легко осуществлять перевод между дружественными системами счисления, записывая каждую цифру исходного числа соответствующей ему в таблице двоичной цифрой с учетом того, чтобы длина двоичной цифры при этом строго соответствовала степени двойки основания исходной системы счисления:
8=23, то меняем одну восьмеричную цифру на три двоичные - триады,
16 = 24, тогда меняем каждую шестнадцатеричную цифру на четыре двоичные - тетрады,
дополняя их при необходимости до нужной длины незначащими нулями слева (добавление нулей справа от исходного числа является результатом умножения числа на 10, 100 и т.д., т.е. изменяет исходное число).
Например,
1528 = 001 101 0102 = 1 101 0102
(при этом первые два нуля не указываются, т.к. они незначащие), а
15216 = 0001 0101 00102 = 1 0101 00102
(при этом первые три нуля также не указываются).
Выполним перевод из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно через двоичную систему счисления.
Перегруппировка двоичных разрядов по четыре и по три во второй части выражений выполняется справа налево по количеству разрядов в степени результирующей системы счисления, а дальнейшая запись числа – как обычно, слева направо.
Например, 1528 = 1 101 0102 = 110 10102 = 6А16
15216 = 1 0101 00102 = 101 010 0102 = 5228
Теперь обратим внимание еще на несколько закономерностей, которые можно заметить в вышеприведенной таблице «дружбы» и аналогичных ей таблицах других систем счисления, в том числе и десятичной.
Закономерность № 1
Любое основание в своей системе счисления выглядит как 10, т.е.
N10 = 10N
( 210=102 – посмотрите в таблице, 810=108, 1610=1016 и т.д.).
Закономерность № 2.
Степень любого основания в своей системе счисления выглядит как единица и
количество нулей, равных степени, т.е.
Nk = 10…0N
k
(посмотрите в таблице: 4=22=1002, 8=23 =10002, тогда 16=24=100002).
Закономерность № 3.
Число, стоящее перед k-той степенью основания, в своей системе счисления выглядит как последовательность из k самых больших цифр этой системы счисления, то есть
Nk – 1 = (N-1)…(N-1)N
k
Тогда 2k – 1 = 1…12
k
3k – 1 = 2…23
k
10k – 1 = 9…910
k
(посмотрите в таблице: 3=22-1=112, 7=23 -1=1112, тогда 15=24-1=11112).
Закономерность № 4.
Число 2N–2K при K N в двоичной системе записывается как N–K единиц и K нулей,
то есть
2N – 2K = 1…10…02
N - K K
(для сравнения: 103 - 102=900, 103 - 101 = 990, 105 - 103 = 99000, 35 – 32 = 222003 и так далее).
Закономерность № 5.
Длина числа при переводе десятичного числа в любую систему счисления легко
определяется по формуле:
NL-1 ≤ Ch NL
где Ch – исходное число,
L - длина после перевода в систему счисления с основанием N.
(например: 22 ≤ 5 23, тогда при переводе в двоичную систему счисления длина числа будет равна 3, посмотрите в таблице: 5=1012;
23 ≤ 13 24, тогда при переводе в двоичную систему счисления длина числа будет равна 3, посмотрите в таблице: 13=10112).
Если закономерности 1, 2, 3 и 4 применяются для быстрого и точного перевода чисел между системами счисления, то закономерность 5 удобно использовать и для первичной проверки правильности перевода чисел из десятичной системы счисления в любую другую, что позволит сэкономить время на проверке результата перевода и даст возможность избежать ошибок).
Но использование закономерностей дает нам еще ряд преимуществ!
Так, помня о нашем принципе быстрых и точных вычислений и в соответствии с закономерностями 1 и 3, рекомендуется выполнять перевод из десятичной системы счисления в двоичную разложением числа на степени двойки следующим образом. Вычитаем из числа степень двойки, которая меньше числа, но максимально приближенную к нему, Затем с остатком проделываем те же действия до тех пор, пока не разложим все число на степени двойки.
Например: 25 = 16 + 8 + 1 = 24 + 23 + 20 (25 – 16 = 9 ; 9 = 8 + 1)
После этого, заменяем присутствующие степени двойки единицами (в соответствии с закономерностью 2), а пропущенные – нулями в порядке следования степеней, получая двоичную запись числа:
25 = 16 + 8 + 1 = 24 + 23 + 20 = 110012
(отсутствующие вторую и первую степени двойки заменяем нулями).
На чем еще можно сэкономить время и избежать ошибок?
Например, для перевода большого двоичного числа в десятичную систему счисления можно использовать в качестве промежуточной восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления:
1100111012 = 110 011 1012 = 6358 = 5*80+3*81+6*82 = 5 + 24 + 384 = 413
1100111012 = 1 1001 11012 = 19D16 = 13*160+9*161+1*162 = 13 + 144 + 256 = 413
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Решим несколько задач по этой теме с использованием изложенных выше закономерностей.
Примечание. Так как любое число в нулевой степени равно единице, а любое число в первой степени равно самому числу, то при решении задач можно не писать степень в разряде единиц и десятков.
1. Переведите двоичное число 1110101 в десятичную систему счисления.
Решение: 11101012= 1 110 1012 = 1658 = 5+6*81+1*82 =5+48+64=117
Или: 11101012= 111 01012 = 7516 = 5+7*161=5+112=117
Ответ: 117
2. Переведите двоичное число 1100011 в десятичную систему счисления.
Решение: 11000112= 110 00112 = 7316 = 3+6*161=3+96=99
Ответ: 99
3. Переведите число 135 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц содержит полученное число? В ответе укажите одно число — количество единиц.
Решение: 135 = 128+4+2+1= 27 + 22 + 21 + 20
Ответ: 4
Заметим, что этот ответ получен без окончательного перевода числа в двоичную систему счисления, достаточно посчитать количество двоек в степенях. Это позволило сэкономить время решения задачи и избежать возможных ошибок при дальнейшей записи.
4. Переведите число 125 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц содержит полученное число? В ответе укажите одно число — количество единиц.
Решение: 125 = 127 – 2 = 11111112 -102 = 11111012
Ответ: 6
5. Переведите число FE из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему счисления.
Решение: FE16 = 1111 11102 (используем запись тетрадами из таблицы «дружбы»).
Ответ: 11111110
6. Переведите число 143 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько значащих нулей содержит полученное число? В ответе укажите одно число — количество нулей.
Решение: 143 = 128+8+4+2+1 = 27 + 23 + 22 + 21 + 20 ,
то пропущены всего три (6, 5 и 4 степени двойки, которые при записи двоичного числа заполняются нулями.
Ответ: 3
7. Переведите число 305 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц содержит полученное число? В ответе укажите одно число — количество единиц.
Решение: 305 = 256 + 32 + 16 + 1
(305-256=49, 49 - 32=17=16+1)
(т.к. в сложении участвуют всего 4 степени двойки, то результат будет содержать всего 4 единицы. Степени можно даже не писать)
Ответ: 4
8. Вычислите: 101010102 – 2528 + 716. Ответ запишите в десятичной системе счисления.
Решение: Для решения задач такого типа нужно сначала перевести все числа в одну систему счисления, а уже потом выполнять действия между ними.
Переведем первое число в восьмеричную систему счисления:
101010102 = 2528
Тогда получаем выражение: 2528 – 2528 + 716 = 716 = 710
Ответ: 7
9. Вычислите значение выражения B916 − 2718. В ответе запишите вычисленное значение в десятичной системе счисления.
Решение: Переведем первое число в восьмеричную систему счисления:
В916 = 1011 10012 = 10 111 0012 = 2718. Тогда 2718 - 2718 = 0.
Ответ: 0
10. Вычислите значение выражения EB16 − 3528. Ответ запишите в десятичной системе счисления.
Решение: Переведем первое число в восьмеричную систему счисления:
EB16 = 111010112 = 3528
Тогда разница между двумя исходными числами равна 1.
Ответ: 1
11. Укажите наименьшее четырёхзначное восьмеричное число, двоичная запись которого содержит 5 единиц. В ответе запишите только само восьмеричное число, основание системы счисления указывать не нужно.
Решение: Наименьшее двоичное число, содержащее 5 единиц, равно 111112.
Но чтобы восьмеричное число было четырехзначным нужно, чтобы оно состояло из 4 триад
(из 12 цифр). При этом первой цифрой двоичного числа обязательно должна быть 1 (два
незначащих нуля в начале можно не писать), а остальные единицы будут занимать
последние разряды числа. Тогда получаем:
001 000 001 1112 = 10178
Ответ: 1017
12. Найдите значение выражения 1116 + 118 : 112. Ответ запишите в двоичной системе счисления.
Решение: В таких задачах, где нужно выполнять быстро и без ошибок вычисления в различных системах счисления, а результат требуется получить в десятичной, то и решение быстрее и проще выполнить в десятичной системе счисления. Поэтому переводим туда все исходные числа и считаем:
1116 = 16+1 = 17
118 = 8+1 = 9
112 = 2+1 = 3
Тогда 17 + 9 : 3 = 20
20 = 16 + 4 = 24 + 22 = 101002
Ответ: 10100
13. Даны 4 целых числа, записанные в двоичной системе:
10001011, 10111000, 10011011, 10110100.
Сколько среди них чисел, больших, чем A416+208?
Решение: Для выполнения действий над числами, представленными в разных системах счисления, нужно сначала перевести их в наиболее удобную для вас систему счисления, и только потом решать задачу. Для меня наиболее удобной является восьмеричная система счисления:
100010112 = 2138, 101110002 = 5608, 100110112 = 2338, 101101002 = 2468
A416 = 101001002 = 2448, и 2448+208=2648.
Тогда из предложенных чисел подходит только второе число.
Ответ: 1
14. Запись числа 6910 в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?
Решение: Для решения этой задачи используем две закономерности.
Во-первых, последней цифрой числа при переводе из одной системы счисления в другую всегда является первый остаток от деления числа на основание системы счисления, куда переводим. Тогда искомое основание N должно быть кратно 68 (69=х*N+1, то х*N=68): 2, 4, 7 и т.д. Во-вторых, по закономерности 4, получаем N3≤ 69 N4.
Тогда при выполнении этих условий искомое число N будет равно 4.
Ответ: 4
15. В системе счисления с основанием N запись числа 4110 оканчивается на 2, а запись числа 13110 — на 1. Чему равно число N?
Решение: Т.к. в остатках чисел у нас есть цифры 2 и 1, то N≤3. При этом N нужно найти число, кратное числам 39 и 130. Следовательно, N = 13.
Ответ: 13
16. В какой системе счисления выполняется равенство 12 · 13 = 211? В ответе укажите число – основание системы счисления.
Решение: При переводе числа 211N в десятичную систему счисления получаем уравнение:
211N = 2*N2 + 1*N +1
Для перевода множителей 12 и 13 в десятичную систему счисления вспомним закономерность 1. Тогда 12N = N+2, 13N = N+3.
Следовательно, получаем уравнение:
(N+2)(N+3) = 2*N2 + N +1
Корнями данного уравнения являются 5 и -1. Но т.к. основание системы счисления является натуральным числом, то N = 5.
Ответ: 5
17. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 50 трехзначна.
Решение: По закономерности 4 получаем
N2 ≤ 50 N3.
Следовательно, нам нужно найти наименьшее число, куб которого больше 50.
Ответ: 4
18. Сколько единиц в двоичной записи числа
42014 + 22015 - 8 ?
Решение: Приведем все числа к степеням двойки:
42014 + 22015 - 8 = 24028 + 22015 - 23
Согласно закономерности 1, 2N = 10…0N, где количество нулей будет равно N. Тогда число 24028 будет записано как одна единица и 4028 нулей.
Согласно закономерности 4, число 2N–2K при K N записывается как N–K единиц и K нулей: 
. Тогда 22015 – 23 будет записано как (2015-3 =) 2012 единиц и 3 нулей.
Тогда общее количество единиц в результате будет равно 1 + 2012 = 2013.
Ответ: 2013
19. Сколько единиц в двоичной записи числа
42016 - 22018 + 8800 - 80 ?
Решение: Приведем все числа к степеням двойки:
42016 - 22018 + 8800 - 80 = 24032 – 22018 + 22400 – 26 - 24
Отсортируем полученный ряд в порядке убывания степеней двойки, получим
24032 + 22400– 22018 – 26 - 24
Согласно закономерности 1, 2N = 10…0N, где количество нулей будет равно N. Тогда число 24032 будет записано как одна единица и 4032 нуля.
Согласно закономерности 4, число 2N–2K при K N записывается как N–K единиц и K нулей: . Тогда 24000 – 22018 будет записано как (2400-2018 =) 382 единиц и 2018 нулей.
Выделяем из результата одну единицу для дальнейших расчетов, остается 381 единица.
Преобразуем выделенную единицу с 2018 нулями в 22018, тогда 22018 – 26 будет записано как 2012 единиц и 6 нулей.
Выделяем из 2012 одну единицу (остается 2011 единиц) и преобразуем ее с последующими 6 нулями в 26 и считаем дальше: 26 – 24 = 110000, т.е. содержит 2 единицы.
Тогда общее количество единиц в результате будет равно 1 + 381+2011+2 = 2395.
Возможен и другой вариант решения задачи.
Получаем, как и с первом решении, ряд 24032 + 22400– 22018 – 26 - 24
Сначала берем выражение (крайние слагаемые с плюсом и минусом) 22400-24 , которое даст нам в результате 2396 единиц и 4 нуля. Вычитаем оттуда 22018 (убираем единицу на 2019 месте) и 26 (убираем единицу на 7 месте). Тогда остается 2396-2 = 2394 единицы. Прибавляем единицу, полученную из числа 24032 , и получаем в итоге 2395 единиц.
Ответ: 2395
20. Сколько единиц и значащих нулей в двоичной записи числа
4512 + 8512 - 2128 - 250 ?
Решение: Приведем все числа к степеням двойки, разложив число 250 как 256 – 4 - 2:
4512 + 8512 - 2128 – 250 = 21024 + 21536 - 2128 – (28 – 24 – 21) =
= 21536 + 21024 - 2128 – 28 + 24 + 21
(полученный ряд отсортирован в порядке убывания степеней двойки).
Согласно закономерности 1, 2N = 10…0N, где количество нулей будет равно N. Тогда число 21536 даст нам 1 единицу, 24 и 21 дадут нам по одной единице (нули нас пока не интересуют), получаем всего 3 единицы.
Согласно закономерности 4, число 2N–2K при K N записывается как N–K единиц и K нулей: . Тогда 21024 – 2128 будет записано как (1024-128 =) 896 единиц и 128 нулей.
Выделяем из результата одну единицу для дальнейших расчетов, остается 895 единиц.
Преобразуем выделенную единицу с 128 нулями в 2128, тогда 2128 – 28 будет записано как 120 единиц и 8 нулей.
Тогда общее количество единиц в результате будет равно 3 + 895+120 = 1018.
Всего в исходном числе 1537 знаков (старшее число 21536 записывается как 1 единица 1536 нулей), тогда значащих нулей в числе будет всего 1537-1018 = 519.
Возможен и другой вариант решения задачи.
Получаем, как и с первом решении, 21536 + 21024 - 2128 – 28 + 24 + 21
Сначала берем выражение 21024-28 (крайние слагаемые с плюсом и минусом), которое даст нам в результате 1016 единиц и 8 нулей. Вычитаем оттуда 2128 (убираем единицу на 129 месте). Тогда остается (1016-1) = 1015 единиц. Прибавляем единицы, полученные из чисел 22048, 24 и 21 и получаем в итоге 1015 + 3 = 1018 единиц.
Всего в исходном числе 1537 знаков (старшее число 21536 записывается как 1 единица 1536 нулей), тогда значащих нулей в числе будет всего 1537-1018 = 519.
Ответ: 1018 единиц и 519 значащих нулей.
21. Значение арифметического выражения 98 + 35 – 9 записали в троичной системе счисления. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
Решение: Приведем все числа к степеням тройки:
98 + 35 – 9 = 316 + 35 – 32
Число 316 в троичной системе счисления записывается как 1 единица и 16 нулей, двоек в нем нет.
Выражение 35 – 32 в троичной системе счисления будет записано как 3 двойки и 2 нуля.
Ответ: 3.
22. Сколько цифр в восьмеричной записи числа 21023 + 21026?
Решение: В заданном выражении общая длина результата в двоичной системе счисления будет получена из наибольшего числа 21026 и будет равна 1027 знакам. Тогда в восьмеричной системе мы получим из нулей 1026 / 3 = 342 знака плюс одну единицу вначале, итого – 343 знака.
Ответ: 343.
23. Какая первая цифра в шестнадцатеричной записи числа 2379+2378+2377?
Решение: В заданном выражении все три числа при переводе в двоичную систему счисления будут содержать по одной единице с последующими нулями, всего таких единиц – три. Общая длина числа вычисляется по числу 2379 и будет равна 380 знаков. Тогда в шестнадцатеричном представлении этого числа будет 380 / 4 = 95 знаков. Следовательно, первой будет цифра
11102 = Е16.
Ответ: Е.
24. Найдите основания систем счисления X и Y, если известно, что 87X=73Y и 62X=52Y. в ответе запишите число, составленное из чисел Y и X, записанных подряд без пробелов. Например, если X=13 и Y=15, ответ запишется как 1513.
Решение:
Из первого выражения 87X=73Y получаем, что Х≥9, Y X, то Y ≥ 10
Переводим числа 879 и 73y в десятичную систему счисления и сравниваем их:
879 = 7 + 72 = 79 ≠ 73
Так как 7310 меньше 879, то увеличиваем Y, получаем 7311 = 3 + 77 = 80;
7312 = 3 + 84 = 87 879;
теперь увеличиваем Х , получаем 8710 = 7312.
Тогда Х = 10, Y = 12.
Проверяем второе выражение: 5212 = 2 + 60 = 6210.
Ответ: 1210.
25. Выражение 25325 записали в троичной системе счисления. Определите, сколько в этой записи цифр 0, 1 и 2.
Решение:
Десятичное число 325 в троичной системе счисления будет записано как 1 единица и 25 нулей.
Переводим 25 = 32 = 10123.
Тогда в троичной системе счисления умножаем 1012 * 1 и приписываем 25 нулей.
В итоге получаем: 26 нулей, 2 единицы и 1 двойку.
Ответ: 26 нулей, 2 единицы и 1 двойка.
26. Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены *:
X = *E16 = 2*68.
Сколько чисел соответствуют условию задачи?
Решение:
Представим известные «обрывки» чисел в двоичной системе счисления:
*Е16 = ****11102
2*68 = 10***1102
Получаем, что двоичное число будет выглядеть так: 101**11102.
Тогда возможны всего 4 варианта таких двоичных чисел: 001, 011, 101, 111.
Ответ: 4.
27. Укажите наибольшее четырёхзначное восьмеричное число, четверичная запись которого содержит ровно 2 тройки, нестоящие рядом. В ответе запишите только само восьмеричное число, основание системы счисления указывать не нужно.
Решение: Наибольшее возможное четырехзначное восьмеричное число –
77778 =1111111111112 = 3333334
По условию, четверичная запись числа должна содержать ровно 2 тройки, не стоящие рядом. Тогда получаем число 3232224=1110111010102=73528.
Ответ: 7352.
28. Определите количество натуральных чисел, кратных основанию четверичной системы счисления и удовлетворяющих неравенству: 7348 x 16
Решение: Так как нужно найти натуральные числа, то переведем 7348 и 1Е416 в десятичную систему счисления:
7348 = 4+24+448=476
1Е416=4+224+256=484
Тогда ищем числа, кратные 4 в промежутке 476 x
Ответ: 2.
29. Определите количество натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству:
( 1708 + FE16 ) ≤ x ≤ ( 2008 + 111111112 ).
Решение: Так как нужно найти натуральные числа, то переведем все числа в десятичную систему счисления и вычислим значения неравенства:
1708 = 0+56+64=120, FE16=14+240=254, 2008=64*2=128, 111111112= 255
120+254=374, 128+255=383
Тогда ищем натуральные числа в промежутке 374 ≤ x ≤ 383, всего их 10.
Ответ: 10.
30. Петя и Коля загадывают натуральные числа. Петя загадал число Х, а Коля число У. После того, как Петя прибавил к Колиному числу 9, а Коля к Петиному числу 20, сумма полученных чисел при записи в двоичной системе счисления представляет собой пять единиц. Чему равна изначальная сумма загаданных мальчиками чисел? Ответ запишите в двоичной системе счисления. Основание указывать не надо.
Решение: Сумма полученных чисел составила 111112 = 31. Тогда 31-29 = 2=102.
Ответ: 10.
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
