Скалярное произведение векторов

Практическое занятие

Скалярное произведение векторов. Векторное уравнение прямой и плоскости.

1. Теоретический этап

1. Если векторы заданы координатами: {x₁; y₁; z₁}, {x₂; y₂; z₂}, то скалярное произведение векторов вычисляется по правилу: = x₁x₂ + y₁ y₂ + z₁z₂

· = | | · | | cos α

3. Косинус угла между векторами:

2) Подготовительный этап

Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов = {1; 2; –5} и = {4; 8; 1}.

Дано: = {1; 2; –5} , = {4; 8; 1}

Найти: ⋅

Решение: Если векторы заданы координатами: {x₁; y₁; z₁}, {x₂; y₂; z₂}, то скалярное произведение векторов вычисляется по правилу: = x₁x₂ + y₁ y₂ + z₁z₂

· = 1 · 4 + 2 · 8 + (–5) · 1 = 4 + … –5 = ….

Ответ: 15

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины | | = 3, | | = 6, а угол между векторами равен 60˚.

Дано: | | = 3, | | = 6, = 60

Найти: ⋅

Решение:

· = | | · | | cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 3 ∙ 6 ∙ = …

Ответ: 9

Пример 3. Найти скалярное произведение векторов = + 3 и = 5 – 3 , если их длины | | = 3, | | = 2, а угол между векторами и равен 60˚.

Дано: = + 3 ; = 5 –3 ; | | = 3, | | = 2, = 60

Найти: ·

Решение:

· = ( + 3 ) · (5 – 3 ) = 5 |a|² – 3ab + 15 ab – 9 |b|² = 5 |a|² + 12 ab – 9 |b|² = = 5 · 3² + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ - 9 · 2² = … + 36 – 36 = …

Ответ: 45

Пример 4. Даны векторы (−8; 8; − 4) и  (1; x; −2). Найди значение x, если = 8.

Дано: (−8; 8; − 4) ,  (1; x; −2), = 8

Найти: х

Решение: = x₁x₂ + y₁ y₂ + z₁z_{2 .} Подставим данные в формулу.

Т.к   = 8, то

8 = (−8) ∙ 1 + 8 ∙ x + (− 4) ∙ (− 2)

8 = − 8 + 8x + 8

8x = 8

х = …

Ответ: 1

Пример 5. Дано: , , .

Выяснить какой угол между векторами: а) и , б) , .

Решение:

а)

, значит угол ….

б) = + + = , значит

в) = = + + = , значит угол ...

Ответ: а) тупой, б) острый, в) прямой.

3) Практический этап

1. Найти скалярное произведение векторов {4; −6; 4} и {7; 2; −8}.

2. Найти скалярное произведение векторов и , если их длины | | = 10, | | = 8, а угол между векторами равен 150˚.

3. Найти скалярное произведение векторов = 2 + и = 3 - , если их длины | | = 2, | | = 3, а угол между векторами и равен 30˚.

4. Даны векторы  (−8; 4; −5) и  (3; x; −4). Найди значение x, если  = 0.

4) Дополнительные задания^*.

1. Найдите скалярный квадрат вектора = 7 .

2. Найдите скалярное произведение если = 60˚.

3. Вычислите скалярное произведение векторов если

4. ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб, ребро которого равно 1. Найдите скалярное произведение

векторов и .

1. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если А( ; 1; 0), С( 0; 2; 0 ), В(0; 0; 2 ), D( ).

2. Дан квадрат ABCD. Найдите угол между векторами и .

3. Найдите скалярный квадрат вектора = 5 +2 .

4. Найдите скалярное произведение если = 150˚.

5. Вычислите скалярное произведение векторов если - 3 + и = 4 - .

6. ABCDA₁B₁C₁D₁ - куб, ребро которого равно 2. Найдите скалярное произведение

векторов и .

1. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если А(1; 1 ; 5 ), С(8 ; 5 ; 5 ),

В(4; 7; 5), D(5 ).