Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых.

Определение. Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Признак скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся

Одна дорога проходит по эстакаде, а другая под эстакадой

Лодка плывет под мостом

Задание. Найдите на рисунке скрещивающиеся прямые

№ п/п

РИСУНОК

ЗАДАНИЕ

1.

Назовите прямые, проходящие через вершины куба ABCDA₁B₁C₁D₁ и скрещивающиеся с прямой АВ.

2.

Через вершину А ромба ABCD проведена прямая a, параллельная диагонали BD, а через вершину С – прямая b, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что:

1. прямые а и CD пересекаются;

2. а и b скрещивающиеся прямые.

Точка Р не лежит в плоскости АВС, СМ – медиана данного треугольника. Каково взаимное расположение прямых СМ и АР?

3.

ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб. Докажите, что BD СС₁

4.

ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб. Докажите, что BD₁ DА₁

5.

DABC - правильный тетраэдр. Докажите, что:

1. AD С

2. BЕ С

6.

На рисунке изображен куб. Каково взаимное расположение прямых:

1. АВ и АВ₁; б) AD и ВС; в) AD₁ и ВС;

1. DD₁ и СС₁; д) А₁D₁ и В₁А₁; е) D₁С₁ и ВС?

7.

Нарисуйте куб ABCDA₁B₁C₁D₁ и выделите ребро СС₁ красным цветом. Запишите все ребра куба, которые:

1. параллельные ребру СС₁;

2. пересекающие ребро СС₁;

3. скрещивающиеся с ребром СС₁.

8.

Нарисуйте куб ABCDA₁B₁C₁D₁ и выделите диагональ АС грани ABCD цветным карандашом. Запишите все прямые, содержащие диагонали других пяти граней (всего 10 диагоналей), которые:

1. параллельные прямой АС;

2. пересекающие прямую АС;

3. скрещивающиеся с прямой АС.

№ п/п

РИСУНОК

ЗАДАНИЕ

1.

Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC. Точки M, N и P — середины отрезков DA, DB и DC соответственно. Точка K лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых:

а) ND и AB; б) PK и BC; в) MN и AB;

г) MP и AC; д) KN и AC; е) MD и BC.

2.

Точка M не лежит в плоскости _ABC. Каково взаимное расположение прямых MA и BC?

3.

DABC - правильный тетраэдр. Докажите, что:

1. BD С

2. АЕ С

Найдите еще одну пару скрещивающихся прямых и докажите, что они сращивающиеся.

4.

АВСА₁В₁С₁ – правильная треугольная призма. Найдите две пары скрещивающихся прямых с прямой ВС₁ и докажите, что они скрещивающиеся.

5.

На рисунке изображен куб. Каково взаимное расположение прямых:

1. АВ и СD; б) AD и А₁D₁; в) AС и ВD;

1. АС и АD₁; д) А₁D₁ и DС; е) ВВ₁ и DD₁?

6.

Нарисуйте прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и выделите ребро СD цветным карандашом. Запишите все ребра куба, которые:

1. параллельные ребру СD;

2. пересекающие ребро СD;

3. скрещивающиеся с ребром СD.

7.

Нарисуйте куб ABCDA₁B₁C₁D₁ и выделите диагональ А₁В грани АВВ₁А₁ цветным карандашом. Запишите все прямые, содержащие диагонали других пяти граней (всего 10 диагоналей), которые:

1. параллельные прямой А₁В;

2. пересекающие прямую А₁В;

3. скрещивающиеся с прямой А₁В.