Сложение и вычитание векторов.

Сложение и вычитание векторов.

Сумма двух векторов. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма.

Представим себе такую ситуацию. Направляясь из школы домой, вам захотелось пить и вы решили зайти сначала в магазин, а затем уже домой. Цель достигнута: вы из школы добрались домой. Сейчас мы описали принцип первого правила сложения векторов.

Правило треугольника.

Чтобы найти вектор суммы двух векторов и , нужно:

1. совместить параллельным переносом начало вектора с концом вектора ;

2. провести вектор из начала вектора в конец вектора ;

3. получившийся вектор и есть вектор суммы: .

Если к вектору прибавить нулевой вектор по правилу треугольника, то получим вектор , т.е. справедливо равенство: .

Утверждение. Если и – произвольные точки, то .

Например, .

Сложение векторов подчиняется алгебраическим законам.

ТЕОРЕМА. Для любых векторов и справедливы равенства:

(переместительный закон)

(сочетательный закон).

Дано:

Доказать: 1)

2)

Доказательство.

Доказательство теоремы в случае, когда векторы коллинеарны достаточно простое. Его вы можете провести самостоятельно. Мы рассмотрим случай, когда данные векторы неколлинеарны.

1). Отметим произвольную точку и отложим от этой точки вектор . Воспользуемся правилом треугольника и прибавим к нему вектор . Вектором суммы этих двух векторов является вектор . (Рисунок слева).

Теперь от точки и отложим вектор . По правилу треугольника прибавим к нему вектор . Вектором суммы этих двух векторов является вектор . (Рисунок справа).

– параллелограмм и точка совпадает с точкой . Значит, , т.е.

2
). От точки отложим вектор , от точки отложим вектор , а от точки – вектор . Найдём суммы векторов по правилу треугольника.

Теорема доказана.

При доказательстве первой формулы получился параллелограмм, причём, из точки выходят два вектора и , а вектор их суммы является диагональю параллелограмма. На основе этого возникает второе правило геометрического сложения векторов.

Правило параллелограмма.

Чтобы найти вектор суммы двух векторов и , нужно:

1. совместить параллельным переносом начала векторов и ;

2. на этих векторах достроить параллелограмм;

3. вектором суммы является вектор, который лежит на диагонали параллелограмма, имеющий своё начало в начале исходных векторов.

Сумма нескольких векторов.

Сложение нескольких векторов происходит по принципу правила треугольника. Складываются два вектора, к вектору суммы прибавляется следующий вектор и т.д. Приведём пример.

Сложить векторы .

О тметим точку и отложим от неё вектор . Прибавим к нему вектор по правилу треугольника. . Теперь к вектору прибавим вектор . . К вектору прибавляем вектор . . Осталось к вектору прибавить вектор . .

Итак, . Значит, суммой векторов является вектор, с началом в начале первого вектора и концом – в конце последнего. Такое сложение векторов называется правилом многоугольника.

Правило многоугольника.

Чтобы найти вектор суммы нескольких векторов, нужно:

1. последовательно совместить параллельным переносом начало последующего вектора с концом предыдущего;

2. вектором суммы всех векторов является вектор, с началом в начале первого вектора и концом – в конце последнего.

Вычитание векторов.

Определение. Разностью двух векторов и называется такой вектор , что при сложении его с вектором получается вектор .

В ычитание векторов можно производить, руководствуясь двумя понятиями: следствием из правила треугольника сложения векторов; определением разности двух чисел. Разберём каждое из них.

Сложим векторы и по правилу треугольника. По рисунку видно, что . Отсюда, и . Значит, разность двух векторов можно составить, совмещая их начала, либо совмещая их концы. Отсюда два правила:

I правило вычитания векторов.

Чтобы найти вектор разности двух векторов, нужно:

1. совместить параллельным переносом начала этих векторов;

2. вектором разности является вектор с началом в конце второго вектора и концом в конце первого вектора.

II правило вычитания векторов.

Чтобы найти вектор разности двух векторов, нужно:

1. совместить параллельным переносом концы этих векторов;

2. вектором разности является вектор с началом в начале первого вектора и концом в начале второго вектора.

Далее, из алгебры мы знаем, что для того, чтобы из числа вычесть число , нужно к числу прибавить число, противоположное числу , т.е. . Такое же правило справедливо и для векторов.

ТЕОРЕМА. Для любых векторов справедливо равенство:

Дано:

Доказать:

Доказательство.

1. Найдём разность векторов по I правилу. Вектором разности является вектор (рисунок слева). А теперь найдём сумму векторов по правилу треугольника, где – вектор, противоположный вектору . Вектором суммы является вектор (рисунок справа). Не трудно заметить, что . Они сонаправлены и имеют одинаковые модули.

2. А теперь докажем то же самое аналитически. По определению разности векторов,

Что и требовалось доказать.

Из этой теоремы следует третье правило вычитания векторов.

III правило вычитания векторов.

Чтобы найти вектор разности двух векторов, нужно к первому вектору прибавить вектор, противоположный второму.

Используя это правило вычитания векторов, способ сложения векторов выбирается произвольно.

1. В ектор является суммой векторов и . Определите, какой из четырёх рисунков верный.

1. Проведите векторы . Какая геометрическая фигура у вас получилась?

2. В ектор является разностью векторов и . Определите, какой из четырёх рисунков верный.

1. В ектор является суммой векторов и . Определите, какой из четырёх рисунков верный.

1. В ыразите вектор через векторы , используя рисунок.

1. В ыразите вектор через векторы , используя рисунок.

1. Упростите выражения:

2. Длина вектора равна , а длина вектора равна . Сколько различных целых значений может принимать длина вектора ?

3. Длина вектора равна , а длина вектора равна . Сколько различных целых значений может принимать длина вектора ?

4. Длина вектора равна , а длина вектора равна . Сколько различных целых значений может принимать длина вектора ?

5. Длина вектора равна , а длина вектора равна . Сколько различных целых значений может принимать длина вектора ?

6. Длина вектора равна , а длина вектора равна . Сколько различных целых значений может принимать длина вектора ?

7. В квадрате проведены диагонали и . Укажите номера верных утверждений.

8. – параллелограмм. Найдите сумму векторов .

9. – прямоугольник. Диагонали и пересекаются в точке . Укажите номера верных утверждений.

10. – параллелограмм. Выразите векторы и через векторы и .

1. – параллелограмм. Выразите векторы и через векторы и .

1. – прямоугольник. Выразите векторы и через векторы и .

1. – параллелограмм. Выразите векторы и через векторы и .

1. Н айдите длины векторов , изображённых на клетчатой бумаге с размерами клетки 1 х 1.

1. Д ве стороны прямоугольника равны 20 и 21. Найдите длину суммы векторов и .

1. Д ве стороны прямоугольника равны 7 и 24. Найдите длину разности векторов и .

1. Н а каждом рисунке найдите длину вектора (размеры клетки 1 х 1).

1. Н а каждом рисунке найдите длину суммы векторов и (размеры клетки 1 х 1).

1. Н а каждом рисунке найдите длину разности векторов и , изображённых на клетчатой бумаге с размерами клетки 1 х 1.

5