К началу учебного года! Готовые материалы для учителей на каждый урок со скидкой от 30%

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Была в сети 22.11.2021 03:00

Алавова Альбина Дадашевна

учитель начальных классов

44 года

1 100

54 902

Подписчики

Подписки

Местоположение

Россия, с. Каякент

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Сочетательный закон сложения. Скобки

Категория: Математика

22.11.2021 02:13

В каждой семье свои законы: сладкое — после супа, игры — после приборки. Но если с родителями можно договориться об исключениях, то правила точных наук оспорить никак нельзя. В этой статье узнаем, какие законы есть в математике.

О чем эта статья:

Переместительный закон сложения
Сочетательный закон сложения
Переместительный закон умножения
Сочетательный закон умножения
Распределительный закон умножения
Задания для самопроверки

Поделиться статьей

АВТОР

Лидия Казанцева
РУБРИКА

6 класс
ДАТА ПУБЛИКАЦИИ

30.12.2020
ПРОСМОТРЫ

15647

Переместительный закон сложения

Начнем изучать основные законы математики со сложения натуральных чисел.

Переместительный закон сложения

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. С помощью переменных его можно записать так:

m + n = n + m

Переместительный закон сложения работает для любых чисел.

Если прибавить шестерку к двойке — получим восьмерку. И наоборот, прибавим двойку к шестерке — снова получим восьмерку. Это доказывает справедливость переместительного закона сложения.

6 + 2 = 8
2 + 6 = 8

Приведем пример с весами, которые используют продавцы в магазинах.

Если мы положим на одну чашу весов 3 килограмма конфет, а на другую — такие же 3 килограмма конфет, то стрелка весов будет на нейтральной позиции. Это говорит нам о том, что чаши действительно весят одинаково.

При этом неважно, как будут лежать конфеты, в каком порядке. Если перемешать конфеты в пакете, как шары в лотерейном мешке — их вес не изменится и будет по-прежнему 3 килограмма. От перестановки мест конфет их сумма, то есть вес, не меняется.

Поэтому, между выражениями 8 + 2 и 2 + 8 можно поставить знак равенства. Это значит, что их сумма равна:

8 + 2 = 2 + 8
10 = 10

Формула переместительного закона для обыкновенных дробей:

Чтобы сложить две дроби нужно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Вот так:

Вебинар :Домашнее задание без слёз и скандаловСреда, 24 ноября в 19:00 МСК

Записаться →

Сочетательный закон сложения

Сочетательный закон сложения помогает группировать слагаемые для удобства их вычислений.

Сочетательный закон сложения: два способа

Результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий.
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

Чтобы лучше запомнить суть этого закона, просто выбирайте формулировку, которая вам больше нравится.

Рассмотрим сумму из трех слагаемых:

1 + 3 + 4

Чтобы вычислить это выражение, можно сначала сложить числа 1 и 3 и к полученному результату прибавить 4. Чтобы было удобнее, можно сумму 1 и 3 взять в скобки — так мы поймем, что ими нужно заняться в первую очередь:

1 + 3 + 4 = (1 + 3) + 4 = 5 + 4 = 8

Или по-другому: сложим числа 3 и 4 и к результату прибавим 1:

1 + 3 + 4 = 1 + (3 + 4) = 1 + 7 = 8

В обоих случаях получается один и тот же результат — что и требовалось доказать.

Между выражениями (1 + 3) + 4 и 1 + (3 + 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному и тому же значению:

(1 + 3) + 4 = 1 + (3 + 4)
8 = 8

Отразим сочетательный закон сложения с помощью переменных:

(a + b) + c = a + (b + c)

Формула сочетательного закона для обыкновенных дробей:

Например, если к сумме одной седьмой и трёх седьмых прибавить четыре седьмых, то в результате получим восемь седьмых.

Переставим скобки — к одной седьмой прибавим сумму трёх седьмых и четырех седьмых. И снова ответ будет восемь седьмых.

Значит, сочетательный закон справедлив и для обыкновенных дробей.

Переместительный закон умножения

С каждым новым правилом решать задачки по математике все интереснее.

Переместительный закон умножения

От перемены мест множителей произведение не меняется. То есть, если множимое и множитель поменять местами — их произведение никак не изменится.

Проверим, действительно ли это так. Умножим пятерку на двойку, а потом наоборот:

5 * 2 = 10
2 * 5 = 10

В обоих случаях получили один ответ — значит между выражениями 5 * 2 и 2 * 5 можно поставить знак равенства.

5 * 2 = 2 * 5
10 = 10

Переместительный закон умножения с помощью переменных выглядит так:

a * b = b * a

Вебинар :Домашнее задание без слёз и скандаловСреда, 24 ноября в 19:00 МСК

Записаться →

Сочетательный закон умножения

Рассмотрим еще один полезный закон в математике.

Сочетательный закон умножения

Если выражение состоит из нескольких сомножителей, то их произведение не зависит от порядка действий.

Другими словами, умножайте числа в любом порядке — как вам больше нравится.

Рассмотрим пример:

2 * 3 * 4

Это выражение можно вычислить в любом порядке. Давайте сначала перемножим числа 2 и 3, а полученный результат умножим на 4:

2 * 3 = 6
6 * 4 = 24
2 * 3 * 4 = 24

А теперь по-другому: перемножим числа 3 и 4, а результат умножим на 2:

3 * 4 = 12
2 * 12 = 24
2 * 3 * 4 = 24

Тот же ответ! Значит между выражениями (2 * 3) * 4 и 2 * (3 * 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному значению.

(2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4)
6 * 4 = 2 * 12
24 = 24

Для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство:

a * b * с = (a * b) * с = a * (b * с)

Пример

Вычислить: 5 * 6 * 7 * 8.

Как решаем:

Это выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим слева направо:

5 * 6 = 30

30 * 7 = 210

210 * 8 = 1680

5 * 6 * 7 * 8 = 1680

Ответ: 1680

Распределительный закон умножения

Для умножения есть еще один закон — распределительный. На математике в 6 классе он звучит так:

Распределительный закон умножения

Чтобы число умножить на сумму чисел, нужно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Чтобы сумму чисел умножить на число, нужно каждое слагаемое отдельно умножить на число и полученные произведения сложить.

То есть при помощи распределительного закона умножения можно умножить сумму на число и число на сумму. Проверим на примере:

(3 + 5) * 2

Сначала выполним действие в скобках:

(3 + 5) = 8

В главном выражении (3 + 5) * 2 заменим выражение в скобках на восьмерку:

8 * 2 = 16

Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое в скобках, нужно умножить на 2, а потом сложить полученные результаты:

(3 + 5) * 2 = 3 * 2 + 5 * 2
3 * 2 = 6
5 * 2 = 10
6 + 10 = 16

Отразим распределительный закон умножения с помощью переменных:

(a + b) * c = a * c + b * c

Выражение в скобках (a + b) — это множимое. Тогда переменная с — множитель, так как они соединены знаком умножения.

Из переместительного закона умножения мы знаем, что от перемены мест множимого и множителя произведение не изменится.

Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c * (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Для такого умножения можно применять распределительный закон умножения. Переменную c можно умножить на каждое слагаемое в скобках:

c * (a + b) = c * a + c * b

Пример 1

Решить: 5 * (3 + 2).

Как решаем:

Умножим пятерку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:

5 * (3 + 2) = 5 * 3 + 5 * 2 = 15 + 10 = 25

Ответ: 25

Пример 2

Найти значение выражения 2 * (5 + 2).

Как решаем:

Умножим двойку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:

2 * (5 + 2) = 2 * 5 + 2 * 2 = 10 + 4 = 14

Ответ: 4.

Если в скобках не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. А после из полученного первого числа вычесть второе число.

Пример 3

Решить: 4 * (6 − 2).

Как решаем:

Умножим четверку на каждое число в скобках. Из полученного первого числа вычтем второе число:

4 * (6 − 2) = 4 * 6 − 4 * 2 = 24 − 8 = 16

Ответ: 16

Распределительный закон умножения для суммы обыкновенных дробей:

Распределительный закон умножения для разности обыкновенных дробей:

Проверим справедливость этого закона:

Посчитаем, чему равна левая часть равенства.

Теперь посчитаем, чему равна правая часть равенства.

Так мы доказали справедливость распределительного закона.

Просмотр содержимого документа
«Сочетательный закон сложения. Скобки»

Класс: 2.

Конспект урока по математике для 2 класса по теме «Скобки. Сочетательный закон сложения».

Форма организации: фронтальная и групповая.

Цели: 1. учить детей решать учебные проблемы по теме «Скобки. Сочетательный закон сложения»;

2.развивать мыслительную деятельность, вычислительные навыки, умение выполнять действия в определенном порядке;

3.воспитывать любовь к умственному труду.

Планируемые результаты освоения учебного предмета.
Личностные результаты: ученики

-принимают и осваивают социальную роль обучающегося;

-имеют мотивы учебной деятельности, формируется личностный смысл учения; -стремятся развивать внимание, память, логическое мышление, навыки счета, навыки сотрудничества; -проявляют самостоятельность, личную ответственность.

Метапредметные результаты. Формирование УДД.

Регулятивные УДД: ученики

-формулируют учебную задачу урока, составляют план и определяют последовательность действий, прогнозируют результаты деятельности;

-контролируют, корректируют и оценивают собственную деятельность и деятельность партнеров по образовательному процессу;

-способны к мобилизации волевых усилий;.

Познавательные УДД: ученики

-формулируют познавательную цель; -анализируют, сравнивают, классифицируют, строят логическую цепочку рассуждений, выделяют закономерности;

-контролируют и оценивают процесс и результаты деятельности; - делает выводы в результате совместной работы класса и учителя;

-ориентируется в учебнике;

-составляет алгоритм под руководством учителя.
Коммуникативные УДД: ученики

-оформляют свои мысли в устной речи;

- слушают и понимают речь других;

-учатся работать в паре, выполнять различные роли (лидера, исполнителя);

- договариваются и приходят к общему решению в совместной деятельности с одноклассниками, в том числе в ситуации столкновения интересов.
Предметные результаты: -ученики знают: порядок действий в выражениях со скобками, сочетательный закон сложения, состав числа; -умеют: выполнять действия в выражениях со скобками, решать задачи изученных видов.

Демонстрационный и раздаточный материал: портрет Ю.Гагарина, карточки, сигнальные карточки , веер с цифрами.

Деятельность педагога

Деятельность детей

УУД

I. Организационный момент

Цель этапа: создание условий для осознанного вхождения учащихся в пространство деятельности на уроке.

- Чтоб урок наш стал светлее,

Мы поделимся добром.

Вы ладони протяните,

В них любовь свою вложите,

Ей с друзьями поделитесь

И друг другу улыбнитесь.

-Внимание! Проверь, дружок, готов ли ты начать урок?!

- По каким критериям?

Готовность к деятельности, положительная эмоциональная направленность.

-У нас всё получится!

Вспоминают критерии, проверяют свою готовность.

Выражают эмоции. Делают выводы в результате совместной работы класса и учителя.

II. Актуализация знаний

Цель этапа: повторение изученного материала, необходимого для «открытия нового знания»

Устный счет.

1.1-Впиши недостающие числа.(Используют веер с цифрами)

1.2.Решение задач.

1.2.а. Полина с Кристиной считали звезды на небе. Кристина насчитала 7 звезд, а Полина- 10 звезд. На сколько больше Полина сосчитала звезд, чем Кристина?

1.2.б. В группе подготовки космонавтов было12 человек. В первый день на тренажерах занималось 5 человек, во второй день-3 человека. Сколько человек осталось без занятий на тренажерах?

1.3. Детям раздаются карточки.

-Вычисли:

19-9= (Г) 18-4= (Н)

14+4= (Р) 6+5= (Щ)

11+2-4= (А) 9+2+4= (И)

-Вставь буквы в соответствующие клетки:

10	9	10	9	18	15	14

-Какое слово получилось?

-Кто такой Гагарин? (показ портрета Ю. Гагарина)

-В этом году исполняется 80 лет со дня рождения первого космонавта. Каким должен быть космонавт?

- Чем интересны выражения 11+2-4, 9+2+4? Как выполнили действия?

(трудолюбивый, умный, добрый, смелый, находчивый, внимательный, решительный, сообразительный, здоровый, заботливый, выносливый терпеливый, наблюдательный.

Действия выполняются по порядку, слева направо.

Актуализация изученных способов действий, развитие мыслительных операций.
Оформляют свои мысли в устной речи.

Слушают и понимают речь других.

контролируют, корректируют и оценивают собственную деятельность и деятельность партнеров по образовательному процессу;

Контролируют, корректируют и оценивают собственную деятельность и деятельность партнеров по образовательному процессу.

III. Постановка учебной задачи. Проблемное объяснение нового знания

Цель этапа: мотивация к пробному учебному действию, выявление и фиксация затруднений в индивидуальной деятельности каждого

1.Постановка проблемы.

-Что я выбрала для повторения?

-Почему?

-Я предлагаю для вас задание, которое содержит для вас новое. Вычислить, выполняя действия по стрелкам (у доски решает ученик).

10 - 7 + 2

10 - 7 + 2

-Чем похожи выражения?

-Чем отличаются?

-Почему?

-Какую учебную задачу мы должны решить на уроке?

2.Открытие нового знания.

-Как можно обозначить в записи порядок действий?

-Общепринятый способ обозначения порядка действий - это с помощью скобок.

-Где в наших выражениях поставим скобки?

2. 1.Чтение правила на стр.19.

-Что нового узнали?

-Если узнали правило, сможете ли сразу правильно находить значения выражений?

2.2.Сообщение темы и целей урока.

-Какая тема урока?

Открывается на доске тема: «Скобки. Сочетательный закон сложения».

-Какую еще учебную задачу мы должны решить на уроке?

-Какие цели стоят перед нами?

Физминутка «Ракета» А сейчас мы с вами, дети,
Улетаем на ракете.
На носки поднимись,
А потом руки вниз.
Раз, два (стойка на носках, руки вверх, ладоши образуют «купол ракеты»)
Три, четыре – (основная стойка)
Вот летит ракета ввысь.

-Решение задач на сравнение, нахождение остатка. Нахождение значения выражения, состав числа.

-Будем продолжать учиться выполнять действия, учиться решать задачи.

Участие в учебном диалоге.

Сначала 10-7=3, затем 3+2=5

Сначала 7+2=9, потом 10-9=1

-Значения выражений получились разными из-за изменения порядка действий.

-Как обозначить в записи порядок действий?

(Пусть дети пофантазируют и предложат свои варианты.)

(10 - 7) + 2

10 - (7 + 2)

Чтение правила детьми.

-Действие в скобках выполняется первым.

-Нет, нужно потренироваться.

-Узнать сочетательный закон сложения

( Узнать новый способ, потренироваться, дополнить знания и т.д..)

Учатся высказывать свое предположение.

Составляют алгоритм под руководством учителя:

1.Подумать.

2.Узнать правило.

3.Потренироваться.

IV. Первичное закрепление нового способа действия с проговариванием во внешней речи

Цель этапа: зафиксировать во внешней речи новое учебное действие

Постановка цели.

1.1. Первичное закрепление нового способа действия с проговариванием во внешней речи.

Работа по учебнику, стр.19 №3.

Чтение правила, стр.19.

1.2.-Мы поставили несколько целей. Достигли ли все?

–Что будем делать сейчас?

Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону. Работа в парах.

Работа по учебнику, стр.19 №4.

3 Разбор и решение задачи №5.

1 столбик: проговариванием во внешней речи.

2,3 столбик: решение у доски «по-цепочке».

- Нет, нужно ещё потренироваться.

-Тренироваться в нахождение значений выражений со скобками, пользоваться сочетательным свойством сложения, решать задачи, используя полученные знания.

1 столбик: с проговариванием во внешней речи в паре.

2 столбик: 1 ученик в паре проговаривает. Записывают оба.

3 столбик: проговаривает 2 ученик в паре. Записывают оба.

4 столбик: самостоятельная работа самопроверкой по эталону.

Проверка по эталону. Если ребёнок выполнил правильно: на полях пишет +, если ошибка-?

Дети, у кого есть ?, пытаются объяснить причину ошибки и исправляют ее.

Работа в диалоге с учителем.

Определяют и формулируют цель деятельности на уроке с помощью учителя.

оформляют свои мысли в устной речи

Ориентируются в учебнике.

Договариваются и приходят к общему решению в совместной деятельности с одноклассниками, в том числе в ситуации столкновения интересов.

Учатся работать в паре.

Фиксация во внешней речи причины затруднения.

Проверяют написанное, сравнивая с образцом.

Учатся работать по предложенному учителем плану.

V.Итог урока Цель этапа: способствовать формированию рефлексии, осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка деятельности

1.Рефлексия.

-Правильно выполнив задания, мы узнаем об интересных фактах о полете в космос Ю. Гагарина.

-Найди ошибки в расстановке порядка

1 2

действий в выражениях: 4 + ( 3 - 1)

1 2

12 + 6 – 4

-Старт корабля «Восток», на котором был совершен 1полет человека в космос, был произведён в 09:07 12 апреля 1961 года по московскому времени с космодрома Байконур.

-Расставь скобки: 2 1

19 – 8 - 1

1 2

5 + 13 – 7

- Корабль выполнил один оборот вокруг Земли за108 минут.

2.Итог урока.

- Что нового сегодня узнали?

-Удалось ли вам преодолеть трудности?

Учащиеся берут сигналы + и ?. Показывают при помощи этих сигналов, где правильная и неправильная расстановке порядка. Неправильный ответ проговаривают правильно.