Законы логики. Упрощение логических функций

Этап урока, время

Деятельность учителя

Орг. момент

Настроить учащихся на работу.

Изучение нового материала

В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений. Приведем соотношения, отражающие эти законы.

1. Закон двойного отрицания:

А=

Двойное отрицание исключает отрицание.

2. Переместительный (коммутативный) закон:

— для логического сложения:

AB = BA

— для логического умножения:

А&В = В&А

Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.

В обычной алгебре  а + b = b + a, axb = bха.

3. Сочетательный (ассоциативный) закон:

— для логического сложения:

(AB)C=A (BC)

— для логического умножения:

(А&В)&С = А&(В&С)

При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать. В обычной алгебре (а + b) + с = а + (b + с) = а + b + с, а х (b х с) = а х (b х с) = а х b x с.

4. Распределительный (дистрибутивный) закон:

— для логического сложения:

(A B)&C = (A&C)  (B&C);

— для логического умножения: (А&В) C = (AC)&(BC).

Определяет правило выноса общего высказывания за скобку. В обычной алгебре (а + b) хс = ахс + bхс.

5. Закон общей инверсии (законы де Моргана):

— для логического сложения

A  В = ; для логического умножения:

=

6.  Закон равносильности

— для логического сложения:

AA=A;

— для логического умножения:

А&А =А.

Закон означает отсутствие показателей степени.

7. Законы исключения констант:

—для логического сложения:   

Al=l, AO = A;

— для логического умножения:

    A&1 = А,   А&О = 0.

8. Закон противоречия:

А&=0

Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.

9.   Закон исключения третьего:

A = 1

Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.

10.  Закон поглощения:

— для логического сложения:  

A  (A&B) =А;

 — для логического умножения:

A&(AB)= A.

11.  Закон исключения (склеивания):

— для логического сложения:

(A&B)(&B) = В

— для логического умножения:

(AB)&(B) =B

Справедливость приведенных законов можно доказать табличным способом: выписать все наборы значений А и В, вычислить на них значения левой и правой частей доказываемого выражения и убедиться, что результирующие столбцы совпадут.

Пример 1.

Пусть нам необходимо упростить логическое выражение:

(А &. В) + (A  & ¬В).

1.Воспользуемся правилом дистрибутивности и вынесем за скобки  А:

(А & В) + (А & ¬В) = А & (В + ¬В).

2.По закону исключенного третьего В + ¬В = 1, следовательно:

А & (В + ¬B) = А & 1 = А.

Пример 2.

Пусть нам необходимо упростить логическое выражение:

   ¬(A +¬B)+¬(A+ B)+ A & B   

1.   сначала раскрываем инверсию сложных выражений,  используя законы де Моргана:

¬(A +¬B)+¬(A+ B)+ A & B=¬A&B + ¬A&¬B + A& B

2.  выносим за скобки  в первых двух слагаемых и используем закон исключения третьего 

В + ¬В = 1:

¬A&B + ¬A&¬B + A& B=¬A&(B+¬B)+A&B=¬A+A&B

3. наконец, применяем распределительный закон для операции «И» и еще раз закон исключения третьего A+ ¬A = 1, следовательно:

¬A+A&B=(¬A+A)&(¬A+B)=¬A+B

 Пример 3.

Пусть нам необходимо упростить логическое выражение:

 (А + В) & (А + С).

1. Раскроем скобки: (А + В) & (А + С) = A & A + A & C + B & A + B & C;
2. Так как  A & A =A, следовательно,  A & A + A & C + B & A + B & C = A + A & C + B & A + B & C;
3. В высказываниях А и А & C вынесем за скобки А и используя свойство А + 1= 1, получим  A + A & C + B & A + B & C = A & (1 + C) + B & A + B & C = A + B & A + B & C;
4. Аналогично предыдущему пункту вынесем за скобки высказывание А.  A + B & A + B & C = A & (1 + B) + B & C = A + B & C.

Практическая работа

Упростить логические выражения:

а) А*В*неА*В+В

б) (А+В)*(неА+неВ)

в) А+А*В+А*С

г) А+неА*В+неА*С

д) А*(А+В+С)

Ответы:

Выполним каждое действие отдельно:

а) В данном выражении: А * В * не А * В + В, видно, что А и не А сокращаются.

Тогда получаем:

А * В * не А * В + В = В * В + В = В + В = В.

б) Раскроем скобки в выражении: 

(А + В) * (не А + не В) = А * не А + А * не В + В * не А + В * не В. Видно, что А * не А и В * не В сокращаются.

Тогда получаем:

А * не А + А * не В + В * не А + В * не В = А * не В + В * не А.

в) А + А * В + А * С = А.

г) А + не А * В + не А * С = А + В + С.

д) А * (А + В + С) = А * А + А * В * А * С = А.

Домашнее задание

Теория