Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника.

Неравенство

треугольника

Геометрия, 7 класс,

К учебнику Л.С.Атанасяна

Автор: Софронова Наталия Андреевна,

учитель математики МОУ «Упшинская ООШ»

Оршанского района Республики Марий Эл

О

1

3

2

С

М

К

Угол 2 – внешний угол треугольника СОК при вершине К

АС Доказать: ے С ے В 2 Δ АДС –равнобедренный 1 В С На стороне АВ отложим отрезок АД, равный АС. Угол 2 – внешний угол треугольника ВДС при вершине Д Проведем отрезок СД. Так как АД " width="640"

Д

Соотношения между сторонами

и углами треугольника

ТЕОРЕМА.

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол;

2) против большего угла лежит большая сторона.

А

Дано: ΔАВС, АВ АС

Доказать: ے С ے В

2

Δ АДС –равнобедренный

1

В

С

На стороне АВ отложим отрезок АД, равный АС.

Угол 2 – внешний угол треугольника ВДС при вершине Д

Проведем отрезок СД.

Так как АД

АС " width="640"

Соотношения между сторонами

и углами треугольника

ТЕОРЕМА.

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол;

2 ) против большего угла лежит большая сторона.

А

В

С

В обоих случаях получили противоречие с условием теоремы,

значит наше предположение неверно. Следовательно, АВ АС

Соотношения между сторонами

и углами треугольника

СЛЕДСТВИЕ 1.

В прямоугольном треугольнике

гипотенуза больше катета

А

Почему ?

В

С

СЛЕДСТВИЕ 2. (признак равнобедренного треугольника)

В

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный

Почему ?

А

С

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

ТЕОРЕМА.

В

1

2

А

Д

С

На продолжении стороны АС отложим отрезок СД, равный ВС

Рассмотрим треугольник АВД

Неравенство треугольника

№ 251. Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон

В

С

А

Среди данных треугольников найди не существующие:

Р

А

9

5

5

К

3

В

15

Р

М

С

X

4

18

G

13

9

7

2

3

Z

6

A

12

W

N

О

С

2

Y

R

4

T

6

8

7

5

F

E

V

11

№ 238. Доказать, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.

В

Один из них острый, другой – прямой, либо они оба прямые.

Поэтому один из треугольников АВК и СВК остроугольный, другой- тупоугольный, либо они оба прямоугольные.

2

1

С

А

К

2 случай:  СВК-прямоугольный

1 случай:  СВК -тупоугольный

ВН (Почему?) " width="640"

№ 239. Доказать, что в треугольнике медиана не меньше высоты, прове-денной из той же вершины.

В

В

2 случай

1 случай

С

М

А

М(Н)

С

А

Н

ВМ=ВН (Почему?)

ВМВН (Почему?)

№ 240. В равнобедренном треугольнике АВС с осно-ванием АС биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Доказать, что  АОС - равнобедренный

В

М

К

О

1

3

2

4

С

А

№ 241. Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника АВС, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках М и К. Докажите, что  АМК - равнобедренный

А

М

К

2

1

С

В

№ 242. Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна третьей стороне треугольника, то треугольник - равнобедренный

К

1

М

А

2

3

4

С

В

№ 243. Через вершину С треугольника АВС проведена прямая, параллельная его биссектрисе АК и пересекающая прямую АВ в точке Д. Докажите, что АС = АД.

В

К

1

2

4

С

А

3

Д

№ 244. Отрезок АД – биссектриса треугольника АВС. Через точку Д проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторону АВ в точке Е. Докажите, что Δ АДЕ - равнобедренный.

В

Д

Е

3

2

1

4

С

А

№ 245. Через точку пересечения биссектрис ВB 1 и СC 1 треугольника АВС проведена прямая, параллельная прямой ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках М и N. Докажите, что MN=BM + CN.

В

2

1

M

5

C 1

O

3

6

4

С

N

А

B 1

№ 246. На рисунке ВО и СО – биссектрисы углов В и С треугольника АВС. OE || AB, OD||AC. Доказать, что периметр треугольника ЕDО равен длине отрезка ВС.

А

O

6

5

3

1

2

4

С

Е

D

В

№ 247. На рисунке АВ=АС, AP=AQ. Доказать, что: а) Δ ВОС - равнобедренный; б) Прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.

А

4

3

Р

Q

O

1

2

К

С

В