Способы быстрого умножения и деления

Способы быстрого умножения и деления

1.

Умножение на 4, 8,16 и т.д.

Чтобы число умножить на 4, 8, 16 его последовательно удваивают.

213 8 = (213 2) 4= (4262) 2 = 852 2= 1704.

2.

Умножение на 5

Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2 .

138 5 = (138 10) : 2 = 1380 : 2 = 690.

Умножение на 50

Чтобы умножить число на 50, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 2 .

87 50 =(87100) : 2 = 4350.

3.

5.

Умножение на 125

Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8.

32 125 = 32 : 8 1000 = 4000.

Умножение на 25

Чтобы умножить число на 25, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 4.

34825 = 34800 : 4 = 8700.

4.

6.

Умножение на 15

Чтобы умножить число на 15, нужно исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения.

2)129 15 = 1290 + 645 = 1935.

Умножение на 11.

1 способ.

Чтобы число умножить на 11 , к нему приписывают ноль и прибавляют исходное число.

24111 = 2410 + 241 = 2651

7.

8.

Умножение на 11.

2 способ.

Следует “раздвинуть” цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта

сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

34 11 = 374, т.к. 3 + 4 =7, семерку помещаем между тройкой и четверкой,

68 11 = 748, т.к. 6 + 8 = 14, четверку помещаем между семеркой (шестерка плюс перенесенная единица) и восьмеркой.

Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания к множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности

1)8 318 = 8 (300 + 0+8)= 2400 + 80 + 64 =2544;

2) 7 196 = 7 (200 - 4) = 1400 – 28 = 1372.

9.

Умножение двузначного числа на 101 и на 10101.

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. 1) 57 101 = 5757.

2) 89 10101 = 898989.

11.

Умножение на 9, 99 и 999.

К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.

1) 286 9 = 2860 – 286 = 2574; 2) 23 99 = 2300 – 23 = 2277;

3) 18 999 = 18000 – 18 = 17982.

10.

Умножение на 6.

Чтобы умножить число на 6, надо:1-ый способ: последовательное умножение – сперва умножить на 3, затем умножить на 248*6 = 48*3*2 = 144*2 = 288

Умножение на 6.

2-ой способ – представление числа 6 в виде суммы 5+1 и использование распределительного закона умножения:

48*6 = 48*(5+1) = 48*5 + 48*1 = (48*10:2) + 48 = 240 + 48 = 288

13.

12.

Умножение на 8.

При умножении на 8 можно пользоваться двумя приёмами:

1. Последовательное умножение:

48 * 8 = 48 * 2* 2* 2

1. 8 представляется в виде разности (10 – 2): 127 * 8 = 127 * (10 – 2) = 127*10 – 127*2 = 1270 – 254 = 1016

Умножение на 7.

При умножении числа на семь, 7 представляется в виде суммы 5+2.

97*7 = 97* (5 + 2) = 97*5 + 97*2 = 97*10:2 + 97*2 = 485 + 194 = 679

Умножение чисел на 22, 33, 44, ….99.

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, …, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4*11; 55 = 5*11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

18 * 44 = 18 * 4 * 11 = 72 * 11 = 7(7+2)2 = 792

Умножение чисел от 10 до 20.

К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.

16 * 18 = (16 + 8) *10 + 6*8 = 288

15.

14.

Способ быстрого умножения.

Для получения единиц произведения перемножают единицы множителей, для получения десятков умножают десятки одного на единицы другого множителя и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки.

62 * 58 = 3596

1. 8 * 2 = 16 (пишем 6, запоминаем 1)

2. 8 * 6 + 5 * 2 = 59 (пишем 9, помним 5)

3. 5 * 6 + 5 = 35

17.

16.

18.

Умножения на 12: нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней поочередно ее «соседа».

Пример: 63247 · 12

Необходимо записывать цифры множимого через интервал и каждую цифру результата писать точно под цифрой числа 63247, из которой она образовалась.

• 63247 · 12 1дважды 7 будет = 14, переносим

• 4

• 63247 · 12 дважды 4+7+1=16, переносим 1

• 64

• 63247 · 12 дважды 2+4+1 = 9

• 964

• Следующие шаги аналогичны.

• Окончательный ответ:

63247 · 12 = 758964

19.

20.

Крестьянский способ умножения

(существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример: умножим 47 на 35,

• запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;

• левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

• деление заканчивается, когда слева появится единица;

• вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа; 35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645

далее оставшиеся справа числа складываем – это результат

21.

Метод решетки

Пример: умножим 25 и 63.

Начертим таблицу, в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).

21.

	2	5
1	1 2	3 0	6
5	0 6	1 5	3
	7	5

22.

УМНОЖЕНИЕ НА ПАЛЬЦАХ

Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, насколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.

Пример: 8 ∙ 9 = 72

Умножение на 75,750 и т. д

Чтобы число умножить на 75,750и т. д. надо это число разделить на 4 и умножить на 300, 3000 и т.д. (75 = 300: 4)

48* 75 = 48:4*300 = 3600

23.

Умножение на 37.

При умножении числа на 37, если данное число кратно 3,его делят на 3 и умножают на 111.

27*37=(27:3)*(37*3)=9*111=999

Если же данное число не кратно 3, то из произведения вычитают 37 или к произведению прибавляют 37.

23*37=(24-1)*37=(24:3)*(37*3)-37=888-37=851.

24.

Умножение многозначных чисел.

пример: перемножим 987 и 12:

• рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);

• затем квадратные клетки делим по диагонали;

• вверху таблицы записываем число 987;

• слева таблицы число 12;

• теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки ниже диагонали, единицы выше;

• после заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали справой стороны;

• результат читаем по стрелке.

25.

Умножение двузначных чисел на 111.

Сначала возьмём множимым такое двузначное число, сумма цифр которого меньше 10. Поясним на числовых примерах:

45*111.

Так как 111=100+10+1, то 45*111=45*(100+10+1). При умножении двузначного числа, сумма цифр которого меньше 10, на 111, надо в середину между цифрами вставить два раза сумму цифр (т.е. чисел, ими изображаемых) его десятков и единиц 4+5=9. 4500+450+45=4995. Следовательно, 45*111=4995. Когда сумма цифр двузначного множимого больше или равна 10, например 68*11, надо сложить цифры множимого (6+8) и в середину между цифрами 6 и 8 вставить 2 раза единицы полученной суммы. Наконец, к составленному числу 6448 прибавить 1100. Следовательно, 68*111=7548.

26.

Умножение чисел, близких к 100:

 При увеличении (уменьшении) одного из множителей на несколько единиц умножаем полученное целое число и прибавленные (отнятые) единицы на другой множитель и  из первого произведения вычитаем второе произведение (полученные произведения складываем)

98∙8=(100-2) ∙8=100∙8-2∙8=800-16=784.

Данный прием представления одного из сомножителей в виде разности позволяет легко умножать на 9, 99, 999.

Для этого достаточно умножить число на 10 (100, 1000) и из полученного  целого числа вычесть число, которое умножали: 154х9=154х10-154=1540-154=1386.

Но еще проще ознакомить детей с правилом — «чтобы умножить число на 9 (99, 999)достаточно вычесть из этого числа число его десятков (сотен, тысяч), увеличенное на единицу, и к полученной разности приписать дополнение его цифры единиц до 10 (дополнение до 100 (1000) числа, образованного двумя (тремя) последними цифрами этого числа):

154х9=(154-16)х10+(10-4)=138х10+6=1380+6=1386

27.

Умножение двузначных чисел, у которых сумма единиц равна 10:

Пусть даны два двузначных числа, у которых сумма равна 10:

М=10m + n, K=10a + 10 – n. Составим их произведение.

M * K= (10m+n) * (10a + 10 – n) =100am + 100m – 10mn + 10an + +10n – n²= m * (a + 1) * 100 + n * (10a + 10 – n) – 10mn = (10m) * * (10 * (a + 1)) + n * (K – 10m).

Рассмотрим несколько примеров:

17 * 23= 10 * 30 + 7 * 13= 300 + 91= 391;

33 * 67= 30 * 70 + 3 * 37= 2100 + 111= 2211.

28.

Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10.

Число десятков любого множителя умножить на число, которое больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа приписать второй. Этот способ основан на тождестве (10a+b)·(10a+c)=100a(a+1)+bc, где b+c=10.

Примеры.

13·17=221, а)1·(1+1)=2, пишем 2;

б) 3·7=21, приписываем справа 21.

204·206=42024, а)20·(20+1)=420, пишем 420;

б)6·4=24, приписываем справа 24.

29.

Умножение "крестом"

В этом способе работа на каждом этапе осуществляется с цифрами, приводящими к результату одного порядка 23*48 преобразуем как 24*102 + (2*8 + 3*4)*101 + 3*8*100= 800 + 280 + 24 = 1104 Вычисляем сначала произведение нулевого порядка (3*8 = 24); затем произведение первого порядка ((2*8 + 3*4)*101 = 280) и складываем его, с учетом порядка, с предыдущим (280 + 24= 304); затем дополняем текущую сумму произведением 2-го порядка (2*4*102 = 800) и получаем окончательный итог: 800 + 304 = 1104.

30.

Умножение "пирамидой"   Этот способ иногда называют также общим способом сокращенного умножения. 29 * 45 = 1305.

1.Умножаем цифры, стоящие друг под другом, выделяя под каждой результат по 2 знака.

2. Умножаем накрест соседние цифры. Итог пишем со сдвигом на 1 знак влево под результатом 1-го шага.

3. "Раздвигаем" шаг креста на одну позицию. Под него попадают только крайние цифры. Записываем их произведение под результатом предыдущего шага со сдвигом на 1 знак влево:

31.

32.

Умножение одинаковых чисел заканчивающихся на 5

Такие число как 15*15, 25*25, 35*35 и т.д., легко умножить следующим образом: Все знают, что 5*5 = 25 , далее к первому числу +1 и умножаем его на первое число второго множителя. 35 * 35 = (3+1) * 3 || (5*5) = 1225

33.

Разложение множителей на слагаемые

Если один из множителей представим в виде суммы чисел, умножение на которые легко выполняется, то это может упростить вычисления. 425 * 36 = 425 * (25+11) = 425*(4*25):4 + 425*11 = = 10625 + 4675 = 15300.

Умножение крестом

23*48 преобразуем как 24*10² + (2*8 + 3*4)*10¹ + + 3*8*10⁰.

Вычисляем сначала произведение нулевого порядка (3*8 = 24); затем произведение первого порядка ((2*8 + 3*4)*10¹ = 280) и складываем его, с учетом порядка, с предыдущим (280 + 24= 304); затем дополняем текущую сумму произведением 2-го порядка (2*4*10² = 800) и получаем окончательный итог: 800 + 304 = 1104. Графически это можно изобразить так:

где черточки " | ", "X" и т.д. связывают перемножаемые цифры.
Для трехзначных чисел схема аналогична:

При этом средний, наиболее объемный шаг вычислений в последнем примере целесообразно выполнять как (2*4 + 3*7) + 5*1 = (8+21) + 5*1 =29 + 5*1 = 29 + 5 = 34, т.е. избегать запоминания более двух промежуточных результатов одновременно, уменьшая тем самым пиковую сложность вычислений.

34.

Умножение чисел, заключенных между 10 и 20

Умножение чисел, заключенных между 10 и 20, выполняется по формуле:

АС * EG = (АС + G) * 10 + C*G;

К сумме одного из сомножителей с единицами другого, умноженной на десять, прибавляем произведение единиц.

Пример:

17 * 14 = (17 + 4) * 10 + 7 * 4 = 210 + 28 = 238.

35.

Число 100 в качестве опорного.

1. 96+7=97+6= 103,

2. 103-10=93.

2. 93×100=9300.

3. 4×3=12

4. 9300+12=9312.

36.

Умножение «крестиком».

Пример: 24 х 32 = 768

Последовательно производим

следующие действия:

1. 4 х 2 = 8 – это последняя цифра результата.

2. 2 х 2 = 4; 4 х 3 = 12; 4 + 12 = 16.

6 – предпоследняя цифра в ответе,

единицу запоминаем.

3. 2 х 3 = 6, 6 + 1 = 7 – это первая цифра в ответе. Ответ – 768.

37.

38.

Число 10 в качестве опорного

13 ×14 = ( складываем накрест.)

1. 13+4, и 14+3 равно 17

2. Пишем 17 после знака равенства

3. Умножаем 17 на 10. Получаем 170. 17×10=170. -это промежуточный результат, записываем его после знака равенства

Перемножаем в кружках 3×4=12.

Прибавляем 170 к 12, получаем 182

( +3 )× (+4 ) = 12 13×14 =

= 170+12=182

10

Вычисления по формуле (а+b) (а-b) = а² — b²

умножение 52*48

Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2)*(50—2)

и применяем приведенную в заголовке формулу:

(50+2)*(50—2)=50²-2²= 2496

39.

Полезно запомнить:

37*З =111

Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п.

37*6=37*3*2=222 37*9=37*3*3=333

37*12=37*3*4=444 37*15=37*3*5 =555 и т. д,

7*11*13=1001

Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:

77*13=1001 77*26=2002

77*39=3003 и т. д. 91*11=1001

91*22=2002 91*33=3003 и т. д.

143*7=1001 143*14=2002

143*21=3003 и т. д.

Деление на 5

42.

Деление на 5; 50 и 500

Чтобы число разделить на 5; 50 или 500, надо это число разделить  на 10; 100  или 1000 соответственно, и затем результат умножить на  2. 

1) 21600 : 50 = 21600 : 100 2 = 432.   2) 42400 : 5 = 42400 : 10 2 = 8480.  

3) 214000 : 500 = 214000 : 1000 2 = 428.  4) 218 : 0,5 = 1218 2= 436.

41.

Последовательное деление

Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем  последовательное деление.

1)720 : 45 = (720 : 9) : 5 =  80 : 5 = 16   или  2) 9324 : 36 = ( 9324 : 3 ) : 12 = 3108 : 12 =  259.

40.

44.

43.

Деление на 125;

Чтобы число разделить на 125, надо это число умножить на 8 и разделить на 1000

9000 : 125 = 9000 : 1000 8 = 72.

Деление на 25

Чтобы число разделить на  25, надо это число разделить на 100 и умножить на  4 .

12100 : 25 =  12100 : 100 4 = 484

45.

Деление на 4.

1. Чтобы число разделить на 4, его дважды делят на 2.

Например:124:4 = (124:2):2 = 62:2 = 31.

1. Признаки делимости на 4:- число делится на 4, если на 4 делится число, состоящее из последних двух цифр числа.

Например: 1836, число 36:4 = 4, значит 1836 делится на 4.

46.

Признак делимости на 6:

Число делится на 6, если сумма цифр числа делится на 6.

327 делится на 6, так как 3 + 2 + 7 = 12 делится на 6.

Деление на 250, 2500 и т.д.

Чтобы выполнить деление числа на 250,2500 и т. д. это число надо разделить на 100,1000,10000 и т.д. и умножить на 4

312000: 250 = 312000:1000*4 = 1248.

49.

Деление на 75,750 и т. д

Чтобы число разделить на 75,750 и т. д. надо это число разделить на 300, 3000 и т.д. и умножить на 4

7200: 75 = 7200: 300*4 = 96.

48.

Деление на 1250,12500

Чтобы разделить число на 1250 и т.д., надо это число разделить на 10000 и т. д. и умножить на 8.

70000: 1250 = 70000:10000*8 = 56.

47.

51.

Деление на 15

Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30. Например

240:15=480:30=48:3=16

50.

Деление на 8

Чтобы устно разделить число на 8,

его трижды делят пополам.

Например:

464:8=232:4=116:2=58

516:8=258:4=129:2= 64 1/2

Все рассмотренные нами методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Умножение без калькулятора – тренировка памяти и математического мышления

Устный счет – гимнастика ума!

Вычислительная техника с каждым днем становится все более совершенной, но любая машина делает то, что в нее закладывают люди, а мы узнали некоторые приемы устного счета, которые помогут нам в жизни.