Способы отбора корней на заданном промежутке тригонометрических уравнений.

Способы отбора корней на заданном промежутке тригонометрических уравнений.

Подготовка к ЕГЭ.

Учитель математики

МАОУ «ССОШ№2»

Королева Елена Ивановна

Обязательный минимум знаний

sin x = a , -1  a  1 (  a   1)

x = arcsin a + 2  n, n  Z

x =  - arcsin a + 2  n, n  Z

sin x = 0

x =  k, k  Z

sin x = 1

sin x = - 1

x =  /2 + 2  k, k  Z

x = -  /2 + 2  k, k  Z

y

y

y

x

x

x

Обязательный минимум знаний

cos x = a , -1  a  1 (  a   1)

x =  arccos a + 2  n, n  Z

arccos (- a) =  - arccos a

cos x = 0

x =  /2 +  k, k  Z

cos x = 1

cos x = - 1

x = 2  k, k  Z

x =  + 2  k, k  Z

y

y

y

x

x

x

Обязательный минимум знаний

tg x = a , a  R

ctg x = a , a  R

x = arctg a +  n, n  Z

x = arcctg a +  n, n  Z

arctg (- a) = - arctg a

arctg (- a) =  - arctg a

Рекомендации по решению тригонометрических уравнений

• Свести уравнение к простейшему

Некоторые методы решения

тригонометрических уравнений

• Применение тригонометрических формул
• Использование формул сокращённого умножения
• Разложение на множители
• Сведение к квадратному уравнению относительно sin x, cos x, tg x
• Введением вспомогательного аргумента
• Делением обеих частей однородного уравнения первой степени ( asin x +bcosx = 0 ) на cos x
• Делением обеих частей однородного уравнения второй степени (a sin 2 x +bsin x cos x+ c cos 2 x =0) на cos 2 x

При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений обычно используют один из следующих способов.

● Арифметический способ:

а) непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения;

б) перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.

● Алгебраический способ :

а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней;

б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами.

● Геометрический способ:

а) изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений;

б) изображение корней на числовой прямой с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений.

● Функционально-графический способ:

выбор корней с помощью графика простейшей тригонометрической функции.

Найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку (арифметический, метод перебора).

sin 3x = √3/2, x  [-  /2;  /2]

3x = ( – 1) k  /3 +  k, k  Z

x = ( – 1) k  /9 +  k/3, k  Z

Отберём корни с помощью перебора значений k:

k = 0, x =  /9 – принадлежит промежутку

k = 1, x = –  /9 +  /3 = 2  /9 – принадлежит промежутку

k = 2, x =  /9 + 2  /3 = 7  /9 – не принадлежит промежутку

k = – 1, x = –  /9 –  /3 = – 4  /9 – принадлежит промежутку

k = – 2, x =  /9 – 2  /3 = – 5  /9 – не принадлежит промежутку

Ответ : -4  /9;  /9; 2  /9

Найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку ( с помощью неравенства)

tg 3x = – 1 , x  (-  /2;  )

3x = –  /4 +  n, n  Z

x = –  /12 +  n/3, n  Z

Отберём корни с помощью неравенства:

n = – 1, x = –  /12 –  /3 = – 5  /12

n = 0, x = –  /12

n = 1, x = –  /12 +  /3 =  /4

n = 2, x = –  /12 + 2  /3 = 7  /12

n = 3, x = –  /12 +  = 11  /12

–  /2 –  /12 +  n/3

– 1/2

– 1/2 + 1/12

– 5/12

– 5/4

n = – 1; 0; 1; 2; 3

Ответ: – 5  /12; –  /12;  /4; 7  /12; 11  /12

Найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку ( с помощью графика)

cos x = – √2/2, x  [ – 4; 5  /4]

x =  arccos (– √2/2) + 2  n, n  Z

x =  3  /4 + 2  n, n  Z

Отберём корни с помощью графика:

x = –  /2 –  /4 = – 3  /4; x = –  –  /4 = – 5  /4

Ответ:  5  /4;  3  /4

Проведем отбор корней на отрезке [3  ; 9  2] (с помощью графиков)

sin x = ½

Построим графики функций y = sin x и y = ½

x = 4  +  /6 = 25  /6

Ответ: а) x1 =  /6 + 2  k, k  Z

x2 = 5  /6 + 2  k, k  Z

б) 25  /6

Решить уравнение 7 2cosx = 49 sin2x и указать его корни на отрезке [  ; 5  /2]

Проведём отбор корней с помощью тригонометрической окружности:

Решим уравнение:

7 2cosx = 49 sin2x,

7 2cosx = 7 2sin2x,

2cos x = 2sin 2x,

cos x – 2 sinx cosx = 0,

cos x (1 – 2sinx) = 0,

cos x = 0 ,

x =  /2 +  k, k  Z

или

1 – 2sinx = 0,

sin x = ½,

x =  /6 + 2  k, k  Z

x = 5  /6 + 2  k, k  Z

x = 2  +  /6 = 13  /6

Ответ: а)  /2 +  k, k  Z, x1 =  /6 + 2  k, k  Z; x2 = 5  /6 + 2  k, k  Z

б) 3  /2; 5  /2; 13  /6

Функционально-графический способ: