Способы решения "заводских задач"

1. Способы решения «заводских» задач.

Хочу представить вам решение четырех «заводских» задач.

3.1 Алгебраический метод – применение производной.

Известный американский педагог и математик Д.Пойа пишет, что «составить уравнение – значит выразить символами условие, сформулированное словами. Это перевод с обычного языка на язык математических формул. Трудности, которые могут встретиться при составлении уравнений, являются трудностями перевода».

Решение задачи 1, представленное Инной Фельдман на своем сайте репетитора по математике «ЕГЭ? Оk!», сначала показалось трудным, громоздким. Но оно помогло усвоить понятие «человеко - часы» через соотношения

1 ч/ч – 0,2 кг алюминия

5 ч/ч – 1 кг алюминия

5k – kкг алюминия

Иногда при решении задачи удобно найти, сколько человеко-часов требуется для изготовления единицы продукции. Например, если в условии сказано, что один рабочий за час добывает 0,2кг алюминия, следовательно, на добычу 1кг алюминия требуется 5 человеко-часов.

Далее составляется система из четырех уравнений, в первых трех уравнениях все переменные выражаются через одну. С помощью четвертого уравнения получаем функциональную зависимость общей массы сплава от одной переменной. Находим производную, приравниваем ее к нулю, находим на ограниченном отрезке максимум и наибольшее значение функции.

Итак, решение задачи с помощью производной:

1. Составить уравнение функции.

2. Найти ее производную.

3. Приравнять к нулю, чтобы выявить точки экстремума.

4. Вычислить наибольшее значение функции.

Алгебраический способ решения задач является самым распространенными наиболее общим в школьном курсе изучения математики.

При решении задачи алгебраическим способом необходимо выполнить несколько этапов, заканчивая этапом анализа решения уравнения или неравенства. Цель этапа – из всех найденных решений уравнения выбрать те, которые подходят по смыслу задачи. Если смысловое значение не выполнено, то найденную величину называют посторонним решением. Полезно провести проверку.

Запись ответа в соответствии с вопросом задачи.

3.2 Арифметический метод – перебор чисел.

Второй способ решения задачи состоит в том, что уравнение х² + у² = 500 решается методом подбора,

х = 10 и у = 20. А количество металла добытого во второй области находится через решение линейного уравнения или через использование пропорции.

При решении задачи 2 на сайте репетитора по математике Павла Бердова нашла важное пояснение необходимое при введении переменных.

В условии задачи говорится о том, что «на втором комбинате для изготовления  t деталей (и А, и В) требуется t² человеко-смен» и при решении вводится две разные переменные m иn. Он говорит о том, что tиt²показывают зависимость между количеством деталей (и А, и В) и количеством человеко – смен, но это не означает, что количество деталей А равно количеству деталей В. Количество деталей А и деталей В – это разные числа! Поняв это, можно смело вводить две переменные и решать эту задачу известными способами. Либо, используя исследование функции с помощью производной, либо метод подбора.

При решении задачи 3 попробовала использовать таблицы т.к. условие задачи позволяло сделать такое представление данных задачи. Можно за х и у принять количество рабочих, а можно за х и у принять количество человеко – часов.

Далее составляются уравнения для общего количества алюминия и общего количества никеля, при условии, что алюминия нужно в 2 раза больше и составляется функция выпуска всего сплава S(x) для которой с помощью производной находится наибольшее значение. Понятно, что вторая таблица выглядит попроще, поэтому удобнее за х и у принимать количество рабочих, а не количество добытого металла.

Хотя полный перебор в большинстве прикладных задач на практике не применяется, есть ряд исключений.

Метод подбора удобен при действиях с целыми числами, при увеличении величин он стан овится нерациональным и трудоемким.

Дерево возможных вариантов.

3.3 Логический метод.

Также данная задача решается другим способом. Можно сказать логическим. С помощью логических рассуждений отбрасываются лишние вычисления, не надо составлять никаких уравнений и таблиц.

Взадача 4 говорится, чтов двух областях есть по 40 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,2 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х² человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у² человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Из условия видно, что по­сколь­ку алю­ми­ний и ни­кель вза­и­мо­за­ме­ня­е­мы, и не­об­хо­ди­мо про­из­ве­сти наи­боль­шее ко­ли­че­ство ме­тал­ла, все ра­бо­чие пер­вой об­ла­сти долж­ны быть на­прав­ле­ны на до­бы­чу ни­ке­ля, ко­то­рый они до­бы­ва­ют вдвое более эф­фек­тив­но, чем алю­ми­ний. За сутки ими будет до­бы­то 40 · 5 · 0,2 = 40 кг ни­ке­ля.

Во второй области следует распределить так рабочих, чтобы ни один их час не пропал даром, т.е. чтобы на выходе получалось целое число (в кг) выработки металла. Например, 20 человек, работая по 5 часов в сутки, будут давать

  кг алюминия

и

  кг кг никеля

Таким образом, суммарно завод сможет производить в сутки 40 кг никеля, 10 кг никеля, 10 кг алюминия.

Всего получаем 60 кг.

К логическим методам относятся анализ, синтез, абстрагирование, идеализация, обобщение, дедукция, индукция, аналогия, экстраполяция, моделирование, гипотеза.

Логические методы являются необходимыми средствами познания, поэтому каждый ученик должен хорошо овладеть этими методами и использовать их в своей умственной деятельности.

Аристотель рассматривал "Аналитику" (логику) как метод, с помощью которого можно сделать из некоторых предпосылок (предположений) вывод, а затем обосновать, верно ли сделан этот вывод, опираясь на законы логики.

3.4 Геометрический метод.

С самого начала исследования меня интересовал вопрос: а можно ли решать такие задачи с помощью геометрического метода. Хотя уже догадывалась, что можно изобразить окружность х² + у² = 200 и найти связь между и окружностью и прямой S = х + у. И во на сайте «Решу ЕГЭ» нашла решение, представленное Дмитрием Гущиным.

Итак, задача 4. Для первой области вычисляем только количество никеля, рассуждая логически. Для второй области из условия получаем уравнение х² + у² = 200 и S = х + у, где х и у количество алюминия и никеля соответственно.

Оказывается, окружностьх² + у² = 200 и прямая у = - х + S должны касаться в первой четверти!

Из ри­сун­ка видно, что точка ка­са­ния яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ги­по­те­ну­зы рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Ко­ор­ди­на­ты точки ка­са­ния (0,5s;0,5s) долж­ны удо­вле­тво­рять урав­не­нию окруж­но­сти. Тогда 0,25s² + 0,25s² = 200 от­ку­да s = 20 при x = y = 10.Итого: 40 + 20 = 60 кг металла в двух областях.

Из-засложности, нестандартностигеометрическийметод применяется редко при решении негеометрических задач.. Темважнееданноеисследование. Многиезадачиалгебрыоченьтруднорешитьаналитическимпутём, а решениезадачгеометрическимметодомнаправляетсянагляднымпредставлениемусловийввидерисункаиличертежа, чтопомогаетглубжепонятьусловиезадачи, делаетихболеенаглядным, очевидным, значительноупрощаетрешение, ведёткболеебыстромуполучениюответа.

Задачи, решаемые этим методом, содержат «геометрический подтекст», поскольку их составление изначально и решение в последующем подразумевает использование различных геометрических соображений.

Метод основан на том, что между геометрическими и алгебраическими задачами, между языком алгебры («языком формул») и языком геометрии («языком расстояний») существует неоспоримая связь, известная со времен Декарта.

3.5 Графический метод.

И здесь же находилась еще графическая интерпретация решения подобных задач!

Оченьмногиетекстовыезадачинасоставлениеуравнений (илисистем

уравнений) можнорешатьграфически.

Функция у = на отрезке [а; в] достигает своего наибольшего значения

равного .

В нашем слу­чаево вто­рой об­ла­сти на добычу алю­ми­ния затрачивается 5х человеко - часов, а на добычу ни­келя – 5(40 – х). Тогда за сутки они добу­дут  кг алю­ми­ния и  кг ни­ке­ля. Най­дем наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

f(x) = + , где a = 0, b = 200, по­это­му ис­ко­мое наи­боль­шее зна­че­ние

 f_наиб = = 20 до­сти­га­ет­ся в точке,где 5x = 100, то есть при x = 20.

ЗнаниеприёмоврешениянегеометрическихзадачграфическимметодомпозволяютуспешнорешатьзадачиЕГЭ, конкурсныеиолимпиадныезадачи. Существенноупрощаетсярешение, становитсяболеепонятныминаглядным.

Рисунокнепростооблегчаетрешение, аявляетсясущественнымегоэтапом.

Эффективностьметодавнаглядностиибыстротерешения, вкрасотематематическихвыкладок, эстетикеграфическогоподходакрешениюзаданий.

Известно, что графический метод является удобным и быстрым способом решения задач с параметрами.

Также эту задачу можно решить с помощью производной и методом подбора.