Сравнение отрезков и углов.

ГЛАВА 1. Начальные геометрические сведения.

§ 3. Сравнение отрезков и углов.

п. 5. Равенство геометрических фигур.

Среди всего множества фигур, существующих в геометрии, есть фигуры, которые одинаковые по формы, но размеры у них разные, а есть и те, у которых одинаковые и размеры, и форма.

Определение. Равными называются геометрические фигуры, одинаковые по форме, имеющие одинаковые размеры. Другими словами, если геометрические фигуры можно совместить наложением, то они равны.

Под наложением в элементарной геометрии понимают один из основных приёмов доказательства теорем о равенстве фигур. В геометрии считается аксиомой, что плоские фигуры можно передвигать по плоскости без изменения их вида и свойств. Наложение одной фигуры на другую достигается передвижением их по плоскости, причём это передвижение может иногда сопровождаться и переворачиванием.

п. 6. Сравнение отрезков и углов.

Отрезки и углы можно сравнивать с помощью описанного выше способа – наложения. Рассмотрим этот процесс подробней.

Возьмите две палочки (можно китайские). А теперь приложите одну палочку к другой так, чтобы левые концы их совпадали. Если совпадут и правые концы, то эти палочки равны. Теперь от одной палочки отломите кусочек (и выбросьте его в мусор). Попробуйте сейчас приложить вторую палочку к первой (левые концы должны совпадать!). Что произошло? Вторая палочка короче первой, т.к. правые концы не совпадают! Значит, вторая палочка меньше первой (ну, или первая больше второй). В этом и состоит принцип наложения. Только делать это мы будем, используя наше воображение.

Даны два отрезка и . Совместим отрезок с отрезком так, чтобы точка совпала с точкой . Смотрим теперь на точки и . Совпали они? Значит, отрезки равны. Не совпали? Значит, один отрезок больше другого.

Проблема только в том, что далеко не все люди могут без проблем определить, совпадут отрезки, или, всё-таки, один отрезок чуть-чуть короче другого. Здесь на помощь приходит циркуль. Возьмите циркуль и измерьте им отрезок . Не меняя раствора циркуля, приложите теперь его к отрезку . Теперь вы точно видите, одинаковые это отрезки или нет.

Определение. Серединой отрезка называется точка, которая делит этот отрезок на два равных отрезка.

– середина отрезка

Перейдём теперь к сравнению углов.

Углы, также как и отрезки, можно сравнивать с помощью способа наложения.

Возьмём два разных угольника. Совместим их так, чтобы вершина угла синего угольника совпадала с вершиной угла красного угольника, а его одна сторона совпадала со стороной красного угольника. Теперь наглядно видно, что углы, имеющие общую вершину, не равны – угол синего угольника больше, чем угол красного угольника.

Возьмём теперь другие два угольника и проделаем те же самые манипуляции.

Теперь видно, что углы двух угольников, имеющие общую вершину совпадают. Значит, они равны.

Итак, при сравнении углов способом наложения, необходимо совместить вершины углов таким образом, чтобы сторона одного угла совместилась со стороной другого угла. Если две другие стороны тоже совместятся, то углы равны.

Если же две другие стороны не совместятся, то меньшим будет тот угол, который является частью другого.

В ершина совпадает с вершиной , луч совпадает с лучом , луч не совпадает с лучом , но проходит между сторонами угла , значит, угол меньше угла .

Вершина совпадает с вершиной , луч совпадает с лучом , луч не совпадает с лучом , и не проходит между сторонами угла , значит, угол больше угла .

Для такого сравнения углов нужен хороший глазомер. Но не все им обладают. Поэтому, можно использовать и другие способы сравнения, которые будут рассмотрены позднее.

Определение. Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины угла, проходящий между его сторонами и делящий этот угол на два равных угла.

1. На рис. 1 CB = BE, DE AC. Сравните отрезки AB и DB.

2. Н а рис. 2 ∠AOB = ∠DOC. Есть ли ещё на рисунке равные углы?

1. На рис. 1 EO = NO, OK OL. Сравните отрезки EK и NL.

2. На рис. 2 ∠MOL = ∠KON. Есть ли ещё на рисунке равные углы?

1. На прямой а от точки А в одном направлении отложены два отрезка АВ и АС (АС АВ). От точки С на этой прямой отложите такой отрезок СЕ, чтобы АС = ВЕ. Что вы можете сказать о длине отрезка СЕ?

2. ∠ AOC = ∠BOD, OM – биссектриса ∠АОВ. Докажите, что OM – биссектриса ∠COD.

1. На прямой m от точки А отложены два отрезка так, что АС АВ и точка А лежит между точками В и С. От точки С отложен отрезок СМ так, что ВМ = АС. Сравните отрезки МС и АВ.

2. Н а рисунке ∠AOC = ∠BOС и ∠AOЕ = ∠BOF. Является ли луч ОС биссектрисой угла EOF?

1. Если на прямой даны точки A, B, C, D (точка С лежит между А и В) так, что AB = CD, то является ли середина отрезка AD также серединой отрезка ВС? Обоснуйте ответ.

2. На рисунке ОВ – луч, принадлежащий внутренней области угла АОС. Как нужно провести луч ОЕ, чтобы ∠AOC = ∠BOЕ? Покажите на рисунках возможные варианты.

1. АВ и АС – отрезки одной прямой (А лежит между точками В и С), точка М – середина отрезка АВ, N – середина АС. Верно ли, что BC = 2MN? Ответ обоснуйте.

2. Н а рисунке ОС – луч, принадлежащий внутренней области угла АОВ. Как нужно провести луч OD, чтобы ∠AOD = ∠COB? Покажите на рисунке возможные варианты.

1. На прямой а от точки А отложены два отрезка АВ и АС, причём ABAC1,99AB. Сравните отрезки ВС и АВ. Ответ обоснуйте.

2. Н а рисунке ∠AOC = ∠BOD, OM и ON – биссектрисы углов АОВ и COD. Сравните углы MON и AOC.