Старинные задачи для учащихся 6 класса

Старинные задачи для учащихся 6 класса

Задачи из раздела «тексты старинных задач» интересны учащимся, как среднего возраста, так и старшего. Когда же решать старинные и занимательные задачи, развивающие логическое мышление, вызывающие большое любопытство у многих ребят? А что если сделать решение этих задач небольшой частью урока? Так «родилась» идея «Задача дня». Для неё отводится крайняя правая часть доски, на которой пишется задача «сегодняшнего дня». Ребята могут решать её, а могут и не решать. Просто те, кому она интересна, могут решить её дома или на перемене. На следующем уроке к этой задаче обязательно возвращаемся, уделяя её решению небольшую часть урока (а на доске может быть записана новая задача). Обычно решать её выходят 2-3 человека и предлагают иногда несколько способов решения одной и той же задачи – «бенефис одной задачи». Не беда, что кто-то не решил задачу, ведь он пытался это сделать, на уроке он увидит правильное решение.

Признаки делимости

1. «Ай да старушка!» (из старинных рукописей).

Старуха принесла на рынок кошелку яиц. Не успела разложить их, как богатый купец ненароком зацепил кошелку, и все яйца разбились. Прибежал городовой, ухватил купца и приказал возместить убытки. А тот спрашивает:

– Сколько было всего яиц?

– Не знаю, не считала, – отвечает старушка. – Зато дома я все яйца раскладывала на кучки. Сначала разложила на две кучки, и осталось одно яйцо. Потом на три. Опять одно осталось. Тогда разложила на четыре, на пять, на шесть, на семь кучек, но каждый раз оставалось одно яйцо. В последний раз на восемь разложила. И что же! Опять лишнее яйцо. Я рассердилась и больше не считала...

– Ясно, – сказал купец и протянул деньги.

– Правильно, – подтвердил городовой, и все разошлись добром.

А ты сможешь высчитать, сколько было яиц в кошелке?

2. В легенде рассказывается, что когда один из помощников Магомета – Мудрец Хозрат Али садился на коня, подошедший человек спросил его:

– Какое число делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без остатка?

Мудрец ответил:

– Умножь число дней в неделе на число дней в нужном месяце и на число месяцев в году (считая, что в месяце 30 дней).

Проверь, прав ли Хозрат Али?

3. «Сколько яиц в лукошке?» (из старинных рукописей).

Пришел крестьянин на базар и принёс лукошко яиц. Торговцы его спрашивают: «Много ли у тебя в том лукошке яиц?» Крестьянин молвил им так: «Я всего не помню на перечень, сколько в том лукошке яиц. Только помню: перекладывал я те яйца в лукошко по 2 яйца, и одно лишнее осталось на земле, и я клал в лукошко по 3 яйца, то одно же яйцо осталось, и я клал в лукошко по 4 яйца, то одно же яйцо осталось, и я клал в лукошко по 5 яиц, то одно же яйцо осталось, и я клал в лукошко по 6 яиц, то одно же яйцо осталось, и я клал в лукошко по 7 яиц, то ни одного не осталось. Сочтите мне, сколько в том лукошке яиц было?"

4. «За какое время окупятся куры?» (из «Арифметики» Магницкого, 1703г.).

Один человек купил 3 курицы и заплатил за них 46 копеек. Первая курица несла по 3 яйца через 4 дня, вторая – по 2 яйца через 3 дня, а третья – по 1 яйцу через 2 дня. Продавал он яйца по 5 штук за полкопейки. За какое время окупятся куры?

5. «Угадайте число!» (из старинных рукописей).

Угадайте число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1, от деления на 3 даёт в остатке 2, от деления на 4 даёт в остатке3, от деления на 5 даёт в остатке 4, от деления на 6 даёт в остатке 5, а на 7 – делится без остатка.

Задачи не движение

6. Старинная русская задача.

Роскошно липа расцветала.

Под ней червяк завёлся малый.

Да вверх пополз во всю он мочь –

Четыре локтя делал в ночь.

Но днём сослепу полз обратно

Он на два локтя аккуратно.

Трудился наш червяк отважный,

И вот итог работы важной,

Награда девяти ночей:

Он на верхушке липы сей.

– Теперь, мой друг, поведай ты,

Какой та липа высоты.

7. Задача из «Курса чистой математики» Войтяховского(1811 г.).

Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 саженей, а собака в 5 минут 1300 саженей. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца?

8. Задача из «Курса чистой математики» Войтяховского(1811 г.).

Собака гонится за лошадью. Собака делает 6 скачков, когда лошадь делает только 5, и в 4 скачка собака пробегает то же расстояние, что лошадь пробегает в 7 скачков. Лошадь успела проскакать 5,5 км, когда ей вдогонку побежала собака. Какое расстояние успеет ещё пробежать лошадь, пока её догонит собака?

Задачи из старинных рукописей и из "Арифметики" Л.Ф. Магницкого

9. «Два воина».

Один воин вышел из города и проходил по 12 верст в день, а другой воин вышел одновременно с ним и шёл так: в первый день – 1 версту, во второй – 2, в третий – 3, в четвёртый – 4, так прибавлял каждый день по версте, пока не настиг первого. Через сколько же дней второй воин настиг первого?

10. «Из Москвы в Вологду».

Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своём совершать каждый день по 40 вёрст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему делать в день по 45 вёрст. На какой день второй человек догонит первого?

11."Когда они встретятся?".

Идёт один человек в другой город и проходит в день по 40 вёрст, а другой человек идёт из другого города ему навстречу и проходит в день по 30 вёрст. Расстояние между городами 700 вёрст. Через сколько дней путники встретятся?

12. Два человека поидоша (пошли) с единого места окрест (кругом) града, и един от них идяше по 4 версты на час, а другой по 3 версты; окрест же того града 15 вёрст, и ведательно есть: в колико часов паки (опять) сошлися и коликожды кийждо обошёл тот град?

Пропорции

13. Из «Арифметики» Магницкого(1703г.).

Некий человек нанял работника на год, обещав дати ему 12 рублей и кафтан. Но тот по случаю, работав 7 месяцев, восхоте отъити и прошаше достойные платы с кафтаном; он же даде ему по достоинству расчет 5 рублей и кафтан, и ведательно есть: коликия цены оный кафтан бяше?

14. Из «Арифметики» Магницкого(1703г.).

Некто согласился работать с условием получить в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?

15. Старинная задача среднеазиатского учёного Бируни.

Если 10 дирхемов (денежная единица) приносят доход 5 дирхемов за 2 месяца, то какой доход принесут 8 дирхемов за 3 месяца?

Сложение обыкновенных дробей

16. Из рукописей XVII века.

Лев съел овцу одним часом, волк съел овцу в 2 часа, а пёс съел овцу в три часа. Ино хочешь ведати: все три – лев, волк и пёс – овцу съели вместе вдруг, и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми.

17. Из «Арифметики» Магницкого (1703г.).

Един человек выпьет кадь питья в 14 дней, а со женою выпьет тоежу кадь в 10 дней, ведательно есть: в колико дней жена его способна выпить тоежо кадь?

18. «Воз сена».

Лошадь съедает воз сена за месяц, коза – за 2 месяца, овца – за 3. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

19. «Постройка дома».

Четыре плотника хотят строить дом. Первый плотник один может построить дом за год, второй плотник может построить дом за 2 года, третий – за три года, а четвертый – за 4 года. Однако строили дом четыре плотника вместе. За какое время они выстроили дом?

20. Старинная задача (Китай, II век).

Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней, а дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?

21. Ананий из Ширака (Армения, VII век).

В городе Афинах был водоём, в который проведены 3 трубы. Одна из труб может наполнить водоём за 1 час, другая, более тонкая, - за 2 часа, третья, еще более тонкая, - за 3 часа. За какую часть часа все три трубы вместе наполнят водоём?

22. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона.

Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить её один раз за три недели, В – три раза за 8 недель, С – 5 раз за 12 недель. За какое время они смогут выполнить эту работу все вместе? (В неделе 6 рабочих дней по 12 часов.)

23. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона.

Лев может съесть овцу за 2 часа, волк – за 3 часа, а собака – за 6 часов. За какое время они вместе съели бы овцу?

24. За единицу длины в Древнем Египте принимали «царский локоть», равный 13/25 м и «локоть простолюдина» - 9/20 м. Фараоны и жрецы брали дань в «царских локтях», а простому народу продавали в «локтях простолюдинов». Предположим, что купец должен отдать дань материей 75 «царских локтей», а продать ему посчастливилось 80 «простолюдиновых локтей» материи. Сравни количество проданной материи с количеством материи, отданной в дань.

Нахождение числа по его части. Нахождение части от числа

25. «Сколько лет Демохару?» (задача сформулирована древнегреческим философом Метродором ещё в IV веке до н.э.).

Демохар четверть своей жизни был мальчиком, одну пятую – юношей, треть – мужчиной и 13 лет прожил стариком. Сколько лет он прожил?

26. Задача Древней Греции.

– Скажи мне, Знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?

– Вот сколько, – ответил философ, – половина моих учеников изучают математику, четвертая – природу седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют 3 девы.

27. Из курса математики французского автора Ж. Озанама (XVII в.).

Трое хотят купить дом за 24000 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй - одну треть, а третий - оставшуюся часть. Сколько даст каждый?

28. Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого (1703 г.).

Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят. За первую игрушку заплатил одну пятую всех своих денег, за другую – три седьмых остатка от первой игрушки, за третью заплатил три пятых остатка от второй игрушки, а по приезде в дом нашел остальные – 1 рубль 92 копейки. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за каждую игрушку он заплатил?

29."Сколько лет жил Диофант?".

На памятнике древнегреческому математику Диофанту начертано: «Прохожий! Под этим камнем покоится прах Диофанта, умершего в старости. Шестую часть его жизни заняло детство, двенадцатую – отрочество, седьмую – юность. Затем протекла половина его жизни, после чего женился. Через пять лет у него родился сын, а когда сыну минуло четыре года, Диофант скончался». Сколько же лет прожил Диофант?

30. Из «Курса чистой математики» Войтяховского (1811 г.).

Капитан на вопрос, сколько имеет в своей команде людей, ответствовал, что две пятых его команды в карауле, две седьмых – в работе, одна четвёртая – в лазарете и 27 человек налицо. Сколько человек в его команде?

31. «Далеко ли до деревни?» (из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого).

Прохожий, догнавший второго, спросил: «Далеко ли до деревни, что у нас впереди?». Ответ был таков: «Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если еще пройдешь две версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько вёрст осталось еще идти первому прохожему?

32. Задача Бхаскары (индусский математик XII в.).

Есть кадамба Цветок, на один лепесток

Пчёлок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла вся в цвету симендга;

И на ней третья часть поместилась.

Разность их ты найди, трижды их ты сложи,

На кутай посади.

Лишь одна не нашла себе места нигде,

Все летала то взад, то вперед и везде

Ароматом цветов наслаждалась.

Назови теперь мне, подсчитав всё в уме,

Сколько пчелок всего здесь собрались?

33. «Покупка сукна» (задача из старинных рукописей).

Некто купил три четверти аршина сукна и заплатил за них 3 алтына. Сколько надо заплатить за 100 аршин такого же сукна?

34. Старинная задача.

- Хроноса вестник, скажи, какая часть дня миновала?

- Дважды две трети того, что прошло, остается.

(Хронос – бог времени в греческой мифологии. В Древней Греции день содержал двенадцать часов.)

35. Из старого задачника.

Два господина держат пари: чья лошадь перегонит, тот за каждую версту получает 200 рублей. Лошадь одного в полторы минуты бежала три четверти версты, а другого - в две с третью минуты - одну три четверти версты, и бежали они 8 минут. Кто из них выиграл пари и сколько?

36. Из старого задачника.

Когда Гераклом Герион

Был в страшной схватке сокрушён,

То победителю в награду

Быков отличных было стадо;

Быков на луг отправил он

И погрузился в крепкий сон.

Но сын Вулкана Какус смелый

К быкам, как вор, подполз умело

И сделал всё, что он хотел:

Он отобрать себе успел

Одну шестнадцатую стада;

Теперь добычу спрятать надо.

В пещеру стадо он загнал,

Куда свет дня не проникал,

И вход туда прикрыл надёжно:

Найти быков здесь невозможно!

Когда Геракл пришёл на луг,

Он насчитал 120 штук.

И не осталось в нём сомненья,

Что состоялось похищенье.

В нём сердце закипело злобой,

Быков он ищет, смотрит в оба.

И вдруг как бы из-под земли

Услышал, что ревут они.

К пещере бросился он в гневе,

Все разметал он в этом хлеве

И Какуса убил в мгновенье,

Быков добыл из заточенья;

И стадо он угнал скорей, -

Всё получил царь Эвристей.

Теперь скажи мне, вычислитель,

Скольких быков злой похититель

Из стада увести сумел

И сколько всех быков имел

Геракл, могучий и отважный, -

Всё это знать нам очень важно!

37. «Сколько останется воды?» (из книг, изданных в XVIII веке).

Из ведра, содержащего 5 литров воды, отливают один литр, а затем в ведро вливают один литр сока. Перемешав все это, из ведра отливают один литр смеси, затем в ведро опять вливают один литр сока. Опять перемешивают, отливают один литр смеси и вливают 1 литр сока. Сколько в ведре останется после этого воды?

Уравнения

38. Из «Арифметики» Магницкого (1703 г.).

Некто муж благоговеин вниде в сиротопитательницу милостыню дати убогим; дав же каждому их по 3 пенязя, и усмотре яко недостанет денег на 3 человека. Аще же бы дал им по 2 пенязя, и тогда бы осталось денег на четуре человека; и ведательно есть: колико бяше убогих в сиротопитательнице оной, такожде и денег колико у того мужа было?

39. «Сколь он стар?» (старинная задача XVIII века).

Некто, будучи вопрошён, сколь он стар, ответствовал: «Когда я проживу ещё половину, да треть, да четверть моих лет, тогда мне будет 100 лет». Сколь он стар?

40. Задача, которую предложил маленькому Александру Пушкину великий полководец А.В. Суворов, гостивший в доме Ганнибалов (деда А.С. Пушкина).

Летела стая гусей, а навстречу им гусь.

- Здравствуйте, сто гусей! - говорит он им.

- Нас не 100 гусей, - отвечают они ему. – Вот если бы нас было столько, сколько есть, да ещё раз столько, да полстолько, да четверть, да ты с нами, тогда было бы сто.

Сколько гусей было в стае?

Мальчик долго размышлял над задачей, и только когда карета с гостем почти скрылась, он крикнул вдогонку, называя ответ.

41. «Почём фрак и жилет?» (задача из «Курса чистой математики» Войтяховского (1786 г.)).

Войтяховский Ефим Дмитриевич (умер около 1812 года) – штык-юнкер и благородного юношества партикулярный учитель – издал большой «Курс математики в 4-х томах».

У проезжего госконца оценили богатство: модный жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак в полтретья (2) дороже жилета. Спрашивается каждой вещи цена.

42. Из книги «Об индийском счете» аль Хорезми.

Если от числа отнять его треть и его четверть, то получится восемь. Найти число.

43. «Руководство алгебры и собрание алгебраических задач». А.Ф. Малинин (1834-1888) – видный ученый, педагог, директор Московского учительского института.

Купец рассчитывал, что если он станет продавать сукно по 3 руб. за аршин, то получит убытку 18 руб. 50 коп., если же продаст по 4 руб. за аршин, то будет иметь прибыль 37 руб. Сколько аршин у него было?

44. «Руководство алгебры и собрание алгебраических задач». А.Ф. Малинин, К.П. Буренин.

Для перевозки 25 зеркал нанят извозчик с условием заплатить ему по 1 руб. за доставку каждого зеркала в целости и вычесть по 5 руб. за каждое зеркало, разбитое им. При расчете он получил 18 руб. Сколько зеркал доставлено им в целости?

45. Из трактата «Математика в девяти книгах».

Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесет по 8, то избыток 3, если каждый человек внесет по 7, то недостаток 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи.

46. Из «Курса чистой математики» (1786 г.) Ефима Войтяховского.

На вопрос: который час? – ответствовано: прошедши часов от полуночи до сего времени равны остальных до полудни. Спрашивается число часов того времени.

47. Древнеегипетская задача.

Количество и его четвертая часть дают вместе 15. Найти количество.

48. «Хозяин и работник» (из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого).

Хозяин нанял работника с таким условием: за каждый день, проработанный им, он будет платить ему по 20 копеек, а за каждый нерабочий день – вычитать по 30 копеек. По прошествии 60 дней работник ничего не заработал. Сколько было рабочих дней?

49. Из рассказа А.П. Чехова «Репетитор».

Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а чёрное – 3 руб.

50. Из «Всеобщей арифметики» Ньютона.

Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на восемь динариев больше, то он мог дать каждому по три, но он раздает лишь по два и у него остается три. Сколько было бедных?

51. «Покупка масла» (из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого).

Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?

52. Задача Древней Греции.

- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещает твою школу и слушает твои беседы?

- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть – музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме того, есть ещё три женщины.

53. Старинная русская задача.

Вопросил некто некоего учителя: «Сколько имеешь учеников у себя, так как хочу отдать тебе сына в училище». Учитель ответил: «Если ко мне придет учеников ещё столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда у меня будет учеников 100.

Сколько было у учителя учеников?

54. Из «Московского папируса» (XVIII – XVII вв. до н.э.).

а) х -

б)

55. Из «Арифметики» Диофанта.

56. Из папируса «Ахмеса» («Московский папирус» XVIII – XVII вв. до н.э.).

а) б) (

в) г)

д)

57. Задача ал-Каши (родился около 1436-1437 г.).

Плата работнику за месяц, то есть за тридцать дней, - десять динаров и платье. Он работал 3 дня и заработал платье. Какова стоимость платья?

58. Задача великого французского математика XVIII века Э. Безу.

По контракту работнику причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с него взыкивается 12 франков. Через 30 дней работник узнал, что ему ничего не причитается. Сколько дней работал работник в течение этих 30 дней.

59. Древнегреческая задача о статусе Минервы.

(Минерва - в греческой мифологии богиня мудрости, покровительница наук, искусств и ремесел.)

Я - изваяние из злата. Поэты то злато

В дар принесли: Харизий принёс половину всей жертвы,

Феспия часть восьмую дала; десятую - Солон.

Часть двадцатая-жертва певца Фемисона, а девять

Всё завершивших талантов - обет, Аристоником данный.

Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?

(Талант - самая большая денежная единица в Древней Греции.)

60. Задача о музах. Историческая справка.

По представлению древних греков, науками и искусствами ведали мифические женские существа – музы: Евтерпа – богиня-покровительница музыки, Клио – истории, Талия – комедии, Мельпомена – трагедии, Терпсихора – танцев и хорового пения, Эрато – поэзии, Урания – астрономии, Каллиопа – эпоса и красноречия. Местопребыванием муз и Аполлона служила гора Геликон. В поэтической задаче о музах бог любви Эрот жалуется богине красоты и любви Киприде на муз:

Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает:

- Что тебя так огорчило, ответствуй немедля!

- Яблок я нёс с Геликона немало, - Эрот отвечает,-

Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.

Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио

Пятую долю взяла. Талия - долю восьмую.

С частью двадцатой ушла Мельпомена.

Четверть взяла Терпсихора.

С частью седьмою Эрато от меня убежала.

Тридцать плодов утащила Полимпия. Сотня и 20

Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.

Возвращаюсь домой почти что с пустыми руками.

Только полсотни плодов мне оставили музы на долю.

Сколько плодов нёс Эрот до встречи с музами?

РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ, ОТВЕТЫ

1. НОК (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) +1 = 840 + 1 = 841.

Ответ: 841 яйцо.

2. Мудрец прав: НОК (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) = 2520, 2520 =

3. Ответ: НОК (2, 3, 4, 5, 6)= 60; 60 - делится на 7.

Ответ: 301 яйцо.

4. Решение:

Чтобы возместить сумму 46 копеек, надо (яиц).

НОК (4, 3, 2)= 12. За 12 дней первая курица снесла 9 яиц, вторая – 8, третья – 6. Вместе они снесли: 9+8+6=23 яйца. Так как 460:23=20, то за 20 (дней) курицы снесут 23 (яиц). Значит, куры окупятся за 240 дней.

Ответ: 240 дней.

5. Решение:

НОК (2, 3, 4, 5, 6) = 60, 60 – 1 = 59 – не делится на 7, 60 делится на 7.

Ответ: 119.

6. Решение: локтей высота липы.

Ответ: 20 локтей.

7. Решение:

(саженей/мин) – скорость зайца,

(саженей/мин) – скорость собаки,

(мин)

Ответ: через 15 минут.

8. Решение:

Пусть х м – длина скачка собаки, у м – длина скачка лошади. По условию: 4х = 7у/

Значит, х = 7, у = 4. Разница между 6 скачками собаки и 5 скачками лошади составит (м). Значит, 5500 м собака преодолеет за таких серий. За это время собака совершит скачков, а лошадь скачков. Собака пробежит (м), а лошадь

(м).

Ответ: 5 километров.

9. Решение:

В первый день воин отстанет на 12-1=11 вёрст, во второй – ещё на 12-2=10 вёрст, в третий – на 9 и так далее. На 12-й день отставание составит 11+10+9+…+2+1 вёрст. А затем расстояние между ними начнёт сокращаться. В 13-й день – на 13-12=1 версту, в 14-й - на 14-12=2 версты, в 15-й день ещё на 15-12=3 версты и, наконец, в 23-й день сократится на
23-12=11 вёрст. На 23-й день расстояние между ними уменьшится на (1+2+3+…+11) вёрст. Это значит, что второй воин догонит первого по происшествии 23 дней.

Ответ: через 23 дня.

10. Решение:

Так как первый вышел на день раньше и прошел 40 вёрст, то второму надо нагнать эти 40 вёрст. За дней второй догонит первого.

Ответ: за 8 дней.

11. Решение:

дней – через столько дней они встретятся.

Ответ: через 10 дней.

12. Решение:

15 : (ч) они сошлись; 22,5 - прошёл первый;
22,5 ∙3 - прошёл второй; 90 : 15 = 6 (раз) обошел град первый,
75 : 15 = 5 (раз) обошел град второй человек.

Ответ: через 22,5 часа они сошлись, 6 раз обошел град первый человек, 5 раз – второй.

13. Решение:

Плата за 1 месяц: руб., а с другой стороны: руб. Отсюда уравнение:
= , k = 4,8 руб. или 48 гривенников.

Ответ: 48 гривенников стоит кафтан.

14. Решение:

Пусть х флоринов стоит одежда, тогда - месячный заработок.

, х=9,2.

Ответ: 9,2 флорина.

15. Решение:

10 дирхемов приносят доход 2,5 дирхема за 1 месяц, 8 дирхемов – х дирхемов за 1 месяц. Составим пропорцию: х = 2. Значит, (дирхемов) за 3 месяца.

Ответ: 6 дирхемов.

16. Решение:

За 12 часов лев съедает 12 овец, волк – 6, пёс – 4. Всего же они съедят за 12 часов 22 овцы, в час они съедают овцы, а одну овцу все вместе – в часа.

Ответ: за часа.

17. Решение:

(кади) – жена в один день. Значит, за 35 дней жена выпьет кадь.

Ответ: за 35 дней.

18. Решение:

Лошадь съедает за один месяц 1 воз, коза - воза, овца - воза. Вместе за месяц:
1 + + , = месяца съедят трое воз сена.

Ответ: за месяца.

19. Решение:

За один год четверо построят совместно: 1 + + (дома). Один дом построят за = года = дня.

Ответ: 175,2 дня.

20. Решение:

(дней) – они встретятся.

Ответ: через дней.

21. Решение:

1 + + (водоема) наполнят три трубы за 1 час, 1 : = (часа) – за это время наполнят водоём все три трубы вместе.

Ответ: за часа.

22. Решение:

Рабочий А выполнит работу за 3(ч), рабочий В выполнит эту работу за 8(ч), рабочий С выполнит её за 12 (ч). За 1 час А выполнит (часть) работы, за 1 час В выполнит (часть) работы, за 1 час С выполнит (часть) работы, вместе за 1 час они выполнят + (часть) работы, тогда всю работу они выполнят за 1 : = 64 (ч).

Ответ: за 64 часа.

23. Решение:

1/2 часть съест лев за 1 час, 1/3 овцы съест волк за 1 час, 1/6 часть овцы съест собака за 1 час. Вместе они за 1 час съедят: + (овцу).

Ответ: за 1 час.

24. Решение:

39 (м) – должен отдать дань за75 «царских локтей».

36 (м) – «простолюдиновых локтей» продал.

Ответ: 36

25. Решение:

1 – (1/4 + 1/5 + 1/3) = 1 – 47/60 = 13/60 жизни прожил стариком.

13 : 13/60 = 60 (лет) – прожил Демохар.

Ответ: 60 лет.

26. Решение:

1 – (1/2 + 1/4 + 1/7) = 1 – 25/28 = 3/28 составляют девы

3 : 3/28 = 28 (чел.) – посещают школу

Ответ: 28 человек.

27. Ответ: 12000, 8000, 4000 ливров.

28. Решение:

1 – 1/5 = 4/5 (денег) – остаток от I игрушки

4/5 3/7 = 12/35 (денег) – за II игрушку

4/5 – 12/35 = 16/35 (денег) – остаток от II игрушки

16/35 3/5 = 48/175 (денег) – стоит III игрушка

16/35 – 48/175 = 32/175 (денег) – осталось в кошельке

1,92 : 32/175 = 10,5 (руб.) – было в кошельке

10,5 1/5 = 2,1 (руб.) – заплатил за I игрушку

(10,5 – 2,1) 3/7 = 8,4 3/7 = 3,6 (руб.) – заплатил за II игрушку

(8,4 – 3,6) 3/5 = 4,8 3/5 = 2,88 (руб.) – заплатил за III игрушку

Ответ: 10,5 руб. было в кошельке; 2,1 руб. стоит I игрушка; 3, 6 руб. – II игрушка; 2,88 руб. – III игрушка.

29. Решение:

1 – (1/6 + 1/12 +1/7 + 1/2) = 1 – 75/84 = 9/84 составляют 5 + 4 = 9 лет

9 : 9/84 = 84 (года) – прожил Диофант

Ответ: 84 год.

30. Решение:

1 – (2/5 + 2/7 + 1/4) = 1 – 131/140 = 9/140 всей команды составляют 27 человек

27 : 9/140 = 420(чел.) – в команде

Ответ: 420 человек.

31. Решение:

До середины расстояния между деревнями прохожему осталось пройти 2 версты, что составляет 1/2 - 1/3 = 1/6 часть всего расстояния между деревнями.

2 : 1/6 = 12 (вёрст) – расстояние между деревнями.

1 – 1/3 = 2/3 пути осталось пройти

12 2/3 = 8 (вёрст) – осталось еще идти первому прохожему.

Ответ: 8 вёрст.

32. Решение:

1 – (1/5 + 1/3 + 3 (1/3 – 1/5)) = 1 – 14/15 = 1/15 всех пчёл составляет 1 пчела, значит, всего было 15 пчёл.

Ответ: 15 пчёл.

33. Решение:

3 : 3/4 = 4 (алтына) – стоит 1 аршин

4 100 = 400 (алтын)

Ответ: 400 алтын.

34. Решение:

Пусть х часов прошло, (12 – х) часов осталось.

2

Ответ:

35. Решение:

(версты/мин) – скорость первой лошади

(версты/мин) – скорость второй лошади

(версты) – пробежала первая лошадь

(вёрст) – вторая лошадь

(руб.) выиграл второй господин.

Ответ: 400 рублей выиграл второй господин.

36. Решение:

1 – 1/16 = 15/16 (частей) составляют 120 быков

120 : 15/16 = 128 (быков) было

Ответ: было 128 быков.

37. Решение:

После первого переливания в ведре останется 4 литра воды. Отливая из ведра 1 литр смеси, мы каждый раз отливаем 1/5 часть содержащейся в смеси воды. Поэтому после второго переливания в ведре останется 4 – 1/5 4 = 16/5 литра воды. После третьего переливания в ведре останется 16/5 – 1/5 16/5 = 64/25 литров.

Ответ: 64/25 литров, т.е. 2,56 литров воды.

38. Решение:

Пусть было х человек.

3х – 3 3 = 2х + 4

х = 17 (человек)

3 (пенязя) – было у мужа

Ответ: 17 человек, 42 пенязя.

39. Решение:

Пусть х лет было этому человеку.

х + 1/2х + 1/3х + 1/4х = 100

х = 48

Ответ: 48 лет.

40. Решение:

Пусть было х гусей.

х + х + 1/2х + 1/4х + 1 = 100

х = 36

Ответ: 36 гусей.

41. Решение:

Пусть х коп. стоил жилет, 2,5х коп. стоил фрак.

Т.к. 1 алтын = 3 коп., 1 полушка = 1/4 коп., то вместе жилет и фрак стоили

3 3 – 1/4 = 8,75 (коп.)

2,5х + х = 8,75

х = 2,5 (коп.) стоил жилет

2,5 (коп.) – фрак.

Ответ: 2,5 копейки и 6,25 копеек.

42. Решение:

х – 1/3х – 1/4х = 8

х = 19,2

Ответ: число 19,2.

43. Решение:

Пусть было х аршин.

3,75х + 18,5 = 4,5х – 37

х = 74

Ответ: 74 аршина.

44. Решение:

Пусть было х целых, тогда (25 – х) – разбитых зеркал.

1,5х – 5 (25 – х) = 18

х = 22

Ответ: 22 целых зеркала.

45. Решение:

Пусть было х человек.

8х – 3 = 7х + 4

х = 7

8 - стоимость вещи.

Ответ: 7 человек, 53 – стоимость вещи.

46. Решение:

Пусть х часов от полуночи до того времени, (12 – х) часов осталось до полудни.

2/5х = 2/3

х = 7,5

Ответ: 7 часов 30 минут.

47. Решение:

х + 1/4х = 15

х = 12

Ответ: 12

48. Решение:

Пусть было х рабочих дней, тогда (60 – х) дней – нерабочих.

0,2х – 0,3(60 – х) = 0

х = 36

Ответ: 36 рабочих дней.

49. Решение:

Пусть купец купил х аршин синего сукна, тогда (138 – х) аршин – чёрного.

5х + 3(138 – х) = 540

х = 63 (аршина) – синего сукна

138 – 63 = 75 (аршин) – чёрного сукна.

Ответ: 63; 75 аршин.

50. Решение:

Пусть было х бедных.

3х – 8 = 2х + 3

х = 11

Ответ: 11 бедных.

51. Решение:

1 гривна = 10 копеек, 1 алтын = 3 копейки.

Пусть х руб. стоит бочка.

8х + 0,6 = 9х – 1,6

х = 2,2 (руб.) – стоит бочка

2,2 8 + 0,6 = 18,2 (руб.) – было до покупки.

Ответ: 18,2 рублей или 18 рублей и 2 гривны.

52. Решение:

Пусть х учеников посещают школу.

1/2х + 1/4х + 1/7х + 3 = х

х = 28

Ответ: 28 учеников.

53. Решение:

Пусть у учителя было х учеников.

х + х + 1/2х +1/4х + 1 = 100

х = 36

Ответ: 36 учеников.

54. Ответ: а) 25; б) 4; в) 3.

55. Ответ: а) 20; б) 4.

56. Ответ: а) 17,5; б) 225/19; в) 40/7; г) 1554/97; д) 9/32.

57. Решение:

Пусть х динаров стоит платье, тогда динаров – дневной заработок.

Ответ: динаров.

58. Решение:

Пусть х дней он работал.

48х – 12(30 – х) = 0

х = 6

Ответ: работник работал 6 дней.

59. Решение:

Пусть х талантов принесли в дар поэты.

x = 40

Ответ: 40 талантов.

60. Решение:

Пусть х яблок нёс Эрот, тогда:

Ответ: 3360 яблок.