Старинные задачи для учащихся 9 класса

Старинные задачи для учащихся 9 класса

Задачи из раздела «тексты старинных задач» интересны учащимся, как среднего возраста, так и старшего. Когда же решать старинные и занимательные задачи, развивающие логическое мышление, вызывающие большое любопытство у многих ребят? А что если сделать решение этих задач небольшой частью урока? Так «родилась» идея «Задача дня». Для неё отводится крайняя правая часть доски, на которой пишется задача «сегодняшнего дня». Ребята могут решать её, а могут и не решать. Просто те, кому она интересна, могут решить её дома или на перемене. На следующем уроке к этой задаче обязательно возвращаемся, уделяя её решению небольшую часть урока (а на доске может быть записана новая задача). Обычно решать её выходят 2-3 человека и предлагают иногда несколько способов решения одной и той же задачи – «бенефис одной задачи». Не беда, что кто-то не решил задачу, ведь он пытался это сделать, на уроке он увидит правильное решение.

Арифметическая прогрессия

1. Из руководства по математике «Задачи для изощрения ума юношей», Алкуин (около 735-804 гг.).

Лестница имеет 100 ступеней. На первой ступени сидит один голубь, на второй – два, на третьей – три, так на всех ступенях до сотой. Сколько всего голубей?

2. Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого (1703г.).

Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.

Геометрическая прогрессия

3. Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого (1703г.).

Некий человек продае коня за 156 рублев; раскаявся же, купец нача отдавати продавцу, глаголя: «Яко несть мне лепо взяти сицевого коня, недостойного такие высокие цены. Продавец предложи ину куплю, глаголя: «Аще те мнится велика цена сему коню бытии, убо купи гвоздие, их же сей конь имать в подковах своих ног, коня же возьми за тою куплею в дар себе. А гвозди во всякой подкове по шести, и за един гвоздь даждь ми полушку, за другой же – две полушки, а за третий – копейку, и тако все гвозди купи». Купец же, видя столь малую цену и коня хотя в дар себе взятии, обещал таку цену платити, чая не больше 10 рублев за гвоздие дати. И ведательно есть: колико купец – он проторговался?

Задача эта содержится в рукописях XVII века. Она аналогична задаче об изобретателе игры в шахматы, который согласился за скромное вознаграждение – именно, чтобы ему на первую клетку положили 1 зерно, на 2-ю – 2, на 3-ю – 4 и так далее, удваивая число зерен каждый раз. Оказывается, для выполнения этой задачи потребовался бы обильный урожай с поля, превосходящего величиною всю сушу земного шара в 28 раз.

В знаменитой «Божественной комедии» Данте (1265-1321 гг.) читаем:

Заискрилась всех тех кругов краса,

И был пожар в тех искрах необъятным,

Число же искр обильней в сотни раз,

Чем клеток счет двойной в доске шахматной.

«Счет двойной» означает нарастание чисел при помощи удвоения предыдущего числа, то есть мы имеем тут упоминание о той же старой задаче.

4. Старинная русская задача.

Шли семь старцев,

У каждого старца по семи костылей;

На каждом костыле по семи сучков;

На каждом сучке по семи кошелей;

В каждом кошеле по семи пирогов;

В каждом пироге по семи воробьёв.

Сколько всех?

5. Аналогичная задача в египетском папирусе Ахмеса.

Каждый из 7 человек имеет 7 кошек. Каждая кошка съедает по 7 мышек, каждая мышка за одно лето может уничтожить 7 ячменных колосков, а из зеоен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного зерна. Сколько горстей зерна ежегодно спасается благодаря кошкам?

В старинной русской задаче вместо «горстей» зерна встречается «мера» зерна («мера» - старая русская мера объема, равная 26,74 литра).

6. По сообщению одной газеты 1914 г., у судьи в г. Новочеркасске разбиралось дело о продаже стада в 20 овец по условию – уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и так далее. Очевидно, покупатель соблазнился надеждою дешево купить стадо – и просчитался. Подсчитайте, какую сумму он должен был уплатить.

Оказывается, Магницкий не без основания снабдил решение этой задачи предупреждением:

Хотяй туне притяжати,

От кого что принимати,

Да зрит то себе опасно…

7. Из старинных русских рукописей XV-XVIIIвв.

Некий человек хотел шахматную доску яблоками насыпать так: на первое положить одно яблоко, на второе – два, на третье – 4, на четвёртое – 8, на пятое – 16 и впредь на все 64 места – вдвое. Ино много ли на котором месте порозень и что всех яблок числом будет? А как ему те яблоки продавать по 2000 рубль и колино за все яблоки денег будет?

Занимательные задачи

8. «Девичья хитрость».

2	3	2
3		3
2	3	2

Золотошвея, взяв 20 девушек в учение, разместила их в 8 комнатах своего дома так, как показано на рисунке.

По вечерам золотошвея обходила дом и проверяла, чтобы в комнатах на каждой стороне было по 7 девушек. Однажды к девушкам в гости приехали 4 подружки и, заговорившись, остались у них ночевать, причем все 24 девушки разместились так, что вечером золотошвея насчитала в комнатах на каждой стороне дома опять по 7 девушек. На следующий день 4 девушки пошли провожать своих четырех подруг и дома не ночевали. Оставшиеся 16 девушек разместились так, что опять вечером золотошвея насчитала в комнатах с каждой стороны дома по 7 девушек. Как размещались девушки по комнатам в двух последующих случаях?

9. «Как разделить орехи?» (задача из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого)

Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная  в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3  раза». Как же разделить орехи?

10. Старинная задача.

Скупой богач раздобыл 9 одинаковых монет, но, зная, что одна из них фальшивая и легче других, мучился до самой смерти, однако так и не додумался, как отличить, какая именно. Тем не менее, даже самый начинающий мудрец, подумав, должен найти способ всего двумя взвешиваниями на весах без гирь определить фальшивую монету.

11. Задача Л.Н. Толстого.

Некто пришел в магазин и купил шляпу, стоящую 10 руб., и дал хозяину денежный билет в 25 руб. У хозяина не было сдачи, и он разменял у соседа и отдал ему 15 руб. Когда покупатель ушел, пришел сосед и сказал, что 25-рублевый билет оказался фальшивым, и потребовал 25 руб. обратно. Спрашивается, сколько рублей убытка понес при этой операции хозяин.

12. Старинная задача.

У одного старика спросили, сколько ему лет. Он сказал, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это могло быть?

13. Замысловатый ответ.

Принес крестьянин на рынок продавать яйца. Подходит к нему торговец и спрашивает: «Сколько стоит десяток яиц?» Крестьянин ответил замысловато: «Двадцать пять яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц». Сосчитайте, по какой цене продавал крестьянин десяток яиц.

14. Из руководства по математике «Задачи для изощрения ума юношей», Алкуин (около 735-804 гг.).

Два торговца купили за 100 сольди стадо свиней, платили по 2 сольди за 5 свиней. Потом стадо разделили на 2 равные части и стали продавать по той же цене, однако заработали больше, чем заплатили сами. Как это можно сделать?

15. Из старинных рукописей.

Один человек купил 112 баранов старых и молодых, заплатив за них 49 рублей и 20 алтын. За старого барана он платил по 15 алтын и по 4 полушки, а за молодого барана по 10 алтын. Сколько каких баранов было куплено?

16. Задача о волке, козе и капусте.

Эту знаменитую задачу ирландский ученый монах Алкуин (735-804 гг.) поместил в своем сочинении «Задачи для оттачивания ума юношей».

Через реку надо перевезти троих: волка, козу и кочан капусты; на лодке, кроме перевозчика, может поместиться только один из трёх. Как перевезти их, чтобы коза не могла съесть капусту, а волк не мог съесть козу?

17. Из сборников занимательных задач конца XVIII века.

Имеется 21 бочонок: 7 полных, 7 полупустых и 7 пустых. Нужно поделить бочонки между тремя ларями так, чтобы каждому продавцу досталось одинаковое число бочонков и вина, причем переливать вино нельзя. Как это сделать? (Ларь – продавец)

18. Эта задача была предложена Ване Петрову в 1834 г. в Костромской гимназии, где решили проверить слухи о необыкновенных способностях неграмотного деревенского мальчика: «Сколькими способами можно уплатить 78 рублей, имея билеты трехрублевого и пятирублевого достоинства?»

19. Задача из «Азбуки» Л.Н. Толстого (1828-1910 гг.), великого русского писателя, педагога, почетного члена Петербургской академии наук.

Пятеро братьев разделили между собой после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собой, и тогда у всех братьев стало поровну. Много ли стоили дома?

20. Из сборников занимательных задач конца XVIII века.

Ребята пилят бревна на метровые куски. Отпиливание одного такого куска занимает одну минуту. За сколько минут они распилят бревно длиной в 5 метров? 21. Два отца и два сына поймали трех зайцев, а каждому досталось по одному зайцу. Спрашивается, как это могло случиться? 22. «Косари на лугу» (из старинных сборников задач). Было два луга: один в 6 десятин, другой в 3. На большой луг пришла партия косарей и косила его полдня. После обеда партия разделилась пополам: одна половина осталась на большом лугу и к вечеру докосила его, а другая пошла на малый луг и косила его, но к вечеру не кончила. На другой день на малый луг пришел один человек. Он косил целый день и к вечеру кончил. Сколько человек было во всей партии косарей? 23. А и В играют 30 камешками. Каждый из них поочередно должен брать до 6 камешков. Выигрывает тот, кто возьмет последний камешек. А начинает. Как он должен играть, чтобы выиграть наверняка? 24. Пуассон – великий французский математик, живший в XIX веке (1781-1840 гг.). Родители готовили его к работе цирюльника (парикмахера). И только гений, и непреодолимое желание решать задачи сделали Пуассона великим. Одну из задач предложил талантливому мальчику его друг, и юный Пуассон моментально с ней справился: «В сосуде было 12 пинт (1 пинта примерно равна 568 см³) оливкового масла.  Это масло нужно поровну продать двум покупателям. Но в лавке оказалось только две мерные кружки: 8 пинт и 5 пинт. Как, пользуясь ими, разделить масло поровну, то есть 6 пинт и еще 6 пинт?» 25. Старинная восточная задача. 2 верблюда и 8 баранов стоят 18 таньга. 5 верблюдов и 2 барана стоят 27 таньга. Сколько стоит отдельно верблюд и баран? 26. Эта задача приписывается великому английскому математику Исааку Ньютону (1642-1727) и встречается в двух старых (1821 и 1852 годов) английских сборниках в переводе: Мне нужна ваша помощь, Чтобы посадить девять деревьев В десять рядов так, чтобы в каждом ряду было три. Скажи, - как, и я ничего больше у тебя не спрошу. 27. «Рыцари и оруженосцы» (из занимательных задач конца XVIII века). Три рыцаря, каждый в сопровождении оруженосца, съехались на берегу реки и хотят переправиться на другой берег. Есть лодка, которая может вместить только двух человек. Могут ли рыцари переправиться на другой берег при условии, что, оказавшись отдельно от своего рыцаря, ни один оруженосец не находился бы при этом в обществе двух рыцарей? 28. «Четыре купца». Четверо купцов имеют некоторую сумму. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 рублей; сложившись без второго – 85 рублей; сложившись без третьего – 80 рублей; сложившись без четвертого – 75 рублей. Сколько у кого денег? РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ, ОТВЕТЫ 1. Решение: Алкуин так находит сумму этой прогрессии: на 1-й и 99-й ступенях сидят всего 100 голубей, на 2-й и 98-й тоже 100 и так далее. Только 50-я и 100 ступень останется без пары. То есть на лестнице голубей. Ответ: 5050 голубей. 2. Решение: Ответ: 462 лата. 3. Решение: копеек заплатит купец за 24 гвоздя, т.е. проторговался он на 4194303,75 – 15600 = 4178703,75 копеек. Ответ: 4178703,75 копеек. 4. Решение: Ответ: 137256. 5. Решение: горстей. Ответ: 16807 горстей. 6. Решение: Ответ: 1048575 копеек. 7. Решение: Количество всех яблок образует геометрическую прогрессию. Всех яблок: Денег будет Ответ:

3 1 3 1 1 3 1 3 4 1 2 1 1 2 1 4 1	1	5
1		1
5	1	1

8. Решение:

1	5	1
5		5
1	5	1

9. Решение: Уменьшим втрое количество орехов в большей части, мы получим их столько же, как в четырех меньших. Значит, большая часть должна содержать в раз больше орехов, чем меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в меньшей, поэтому меньшая должна содержать орехов, а большая 130 – 10 = 120 орехов. Ответ: 10 и 120 орехов. 10. Решение: Разделить 9 монет на 3 группы по 3 монеты. Кладем по 3 монеты на чашки весов. Если весы в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке. Тогда берем 2 из трех монет и кладем их по одной на чашки. Если весы в равновесии, то легкая монета – третья, если нет, то одна чашка поднимется – там фальшивая монета. 11. Решение: 10 руб. – шляпа, 15 руб. – сдача, 25 руб. – за фальшивый билет: 10+15+25 = 50 руб. – убыток. Ответ: 50 рублей. 12. Решение: Он родился в високосный год 29 февраля. 13. Решение: Так как 25 яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц, то 30 яиц без полушки стоят пять полушек. Значит, 30 яиц стоят 6 полушек, 10 яиц стоят 2 полушки или полкопейки. Ответ: 10 яиц стоят 2 полушки или полкопейки. А вот текст решения этой задачи из рукописи: «А считай сице: складывай яйца с яйцы да деньги с деньгами. Как 25 яиц да 5 яиц станет 30 яиц. Сложив деньгами Дели ж 30 яиц на 3 деньги, придет 10 яиц за деньгу». (Деньга = 2 полушки) 14. Решение: Алкуин предложил такое решение: торговцы купили 250 свиней и разделили стадо на 2 равные части по 125 голов. В одно стадо собрали лучших свиней и продавали по 2 свиньи за 1 сольди, из другого стада продавали по 3 свиньи за 1 сольди. В сумме получалось по 5 свиней за 2 сольди. Торговцы вернули затраченную за покупку 100 сольди (первый заработал 60 сольди, второй – 40 сольди), и у них осталось 10 свиней. 15. Решение: Алтын = 3 коп., молодой баран стоил 10 алтын или 30 копеек, старый баран . Старый баран дороже молодого на 46 – 30 = 16 (коп.). Если бы были куплены только молодые бараны, то за них заплатили бы коп., а было уплачено 4960 коп., значит, излишек 4960 – 3360 = 1600 (коп.) пошел на оплату старых баранов. Старых баранов куплено , молодых 112 – 100 = 12. Ответ: 100 старых, 12 молодых. 16. Решение: Сначала перевезти козу, затем перевезти капусту, а козу – обратно, затем перевезти волка к капусте, а затем снова перевезти козу. 17. Решение: (полупустых) каждому. 1-й способ:

I	2	3	2
II	2	3	2
III	3	1	3

2-й способ:

I	1	5	1
II	3	1	3
III	3	1	3

18. Решение: Он предложил 6 способов: 19. Решение: (руб.) – заплатили двум меньшим; 2400 : 2 = 1200 (руб.) – получил каждый в наследство; (руб.) – стоил дом. Ответ: 2000 рублей. 20. Ответ: за 4 минуты. 21. Ответ: это были дед, отец и внук. 22. Решение: Большой луг косила полдня вся партия, а полдня – полпартии. Значит, до обеда было скошено вдвое больше, чем после обеда, или до обеда 4 десятины, а после 2. Следовательно, вторая половина партии скосила на малом лугу тоже 2 десятины, и осталось скосить 1 десятину. Итак, всего вся партия выкосила в первый день: 6 + 2 = 8 (десятин). Оставшуюся 1 десятину на малом лугу косил один человек 1 день. Если один человек в один день выкосил 1 десятину, то очевидно, что партия, выкосившая в один день 8 десятин, состояла из 8 человек. Ответ: 8 человек. 23. Решение: А должен следить за тем, чтобы каждый раз дополнять общее число взятых камешков до 2, 9, 16, 23. Первый раз он возьмет 2 камешка. Если В возьмет, например 4, то А берёт 3, так как 2 + 4 + 3 = 9 и т.д. 24.

12	8	5
12 4 4 9 9 1 1 6	0 8 3 3 0 8 6 6	0 0 5 0 3 3 5 0

25. Решение: Пусть х таньга стоит верблюд, у таньга – баран. Ответ: 5 таньга стоит верблюд, 1 таньга – баран. 26.







27. Решение: Сначала отправляются 2 оруженосца. Возвращается один из оруженосцев и перевозит третьего. Возвращается один из оруженосцев и остается со своим рыцарем. Два других рыцаря отправляются к своим оруженосцам. Один из рыцарей возвращается со своим оруженосцем, оставляет его и забирает с собой рыцаря. Первый оруженосец переезжает обратно и забирает одного из оставшихся оруженосцев. Рыцарь забирает своего оруженосца. Оформим это решение в форме таблицы: обозначим буквами А, Б, В – рыцарей, а их оруженосцев соответственно малыми буквами а, б, в.

Первый берег	Второй берег
А Б В А б в	* * * * * *
А Б В * * *	* * * а б *
А Б В * * *	* * * а б в
* * В * * в	А Б * а б *
* * * * б в	А Б В а * *
* * * * * *	А Б В а б *

28. Решение: 1 + 2 + 3 + 4 = 110, I = 110 – 90 = 20, II = 110 – 85 = 25, III = 110 – 80 = 30, IV = 110 – 75 = 35. Ответ: у I – 20 руб., у II – 25 руб., у III – 30 руб., у IV – 35 руб.