Старинные задачи на дроби

Старинные задачи на дроби

Куц Наталья Ивановна,

учитель математики и информатики

МБОУ СОШ №4 с углубленным изучением отдельных предметов

Батайск

2020

Из истории дробей

• Наряду с необходимостью считать предметы у людей с древних времен появилась потребность измерять длину, площадь, время и другие величины. Результат измерений не всегда удается выразить целым числом, приходится учитывать и части употребляемой меры. Так возникли дроби .

• Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Следующей дробью была треть. И у египтян, и у вавилонян были специальные обозначения для дробей 1/3 и 2/3 , не совпадавшие с обозначениями для других дробей.

• Египтяне все дроби старались записать как суммы долей, то есть дробей вида 1/n. Например, вместо 8/15 они писали 1/3 + 1/5. Единственным исключением была, как мы сказали дробь 2/3. Иногда это бывало удобно.

В папирусе Ахмеса есть задача:

"Разделить 7 хлебов между 8 людьми".

Если резать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49

разрезов. А по-египетски эта задача решалась так.

Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2 + 1/4 + 1/8.

Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и

восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезаем пополам, два

хлеба - на 4 части и один хлеб – на 8 долей, после чего каждому

даем его часть.

Но складывать такие дроби было неудобно.

Ещё в первом веке до нашей эры выдающийся римский оратор и писатель Цицерон говорил:

«Без знания дробей никто не может

признаваться знающим арифметику!».

Интересная система дробей была в Древнем Риме. У римлян основной единицей измерения массы служил

асс, а также денежной единицей. Асс делился на 12 равных частей- унций. Со временем унции стали применять для измерения любых величин( пути,

времени). Например, римлянин мог сказать, что

он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь не шла о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено

7/12 пути или прочтено 5/12 книги. Так возникли римские дроби, у которых знаменатель всегда был двенадцать.

В греческих сочинениях по математике дробей не встречалось. Греческие ученые считали, что

математика должна заниматься только целыми числами.

Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель – снизу и не писали дробной черты. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы. Первым

учёным средневековья, который стал регулярно применять дробную черту и современную запись обыкновенной дроби, был итальянский математик Леонардо Пизанский (т.е. из г.Пиза) или Фибоначчи (т.е. сын Боначчи).

В средние века учение о дробях считалось самым трудным разделом арифметики. Кто знал дроби был в почёте. Автор старинной славянской рукописи 16 века пишет: «Не есть се дивно, что…в целых, но есть похвально, что в долях…».

В Древней Руси дроби называли долями, позднее ломаными числами. Так у дробей с числителем 1 были свои названия:

1/2 - половина, полтина

1/3 – треть

1/4 - четь

1/6 – полтреть

1/8 – полчеть

1/12 – полполтреть

1/10 – десятина.

Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века.

И только при Петре I стала вводиться десятичная система счисления, которая и сохранилась до наших дней.

Обыкновенные дроби

Что такое дробь?

На рисунке круг разделен на две равные части. Равные части называются долями. Название долей зависит от того, на сколько равных частей разделена одна целая (единица) или предмет, принимаемый нами за единицу.

Определение: Одну долю или несколько равных долей единицы называют дробью .

Дробные числа записывают с помощью натуральных чисел и черты. Например, одну четвертую часть записывают так :1/4

Такие записи, как 1/4 и 3/4 называют

обыкновенными дробями.

Число внизу, под чертой, показывает, на сколько равных частей делили единицу, или предмет, принимаемый за единицу. Его называют знаменателем дроби .

Число вверху, над чертой, показывает, сколько таких частей взяли. Его называют числителем дроби.

Правильные и неправильные дроби

Пирог разрезали на 5 равных

частей и 3 части положили на

тарелку. На ней оказалось 3/5

пирога. Если положить все 5

частей, то на тарелке будет 5/5

пирога, то есть весь пирог.

Значит 5/5=1

Возьмем еще один такой же

пирог и разрежем его тоже на 5

равных частей. Если на

тарелку положить, например 11

частей, то там будет 11/5

пирога.

Дробь, в которой числитель меньше

знаменателя, называют правильной дробью.

Например: 1/7 , 9/20 , 51/52.

Дробь, в которой числитель больше знаменателя

или равен ему, называют неправильной дробью.

Например: 10/9 , 24/15, 7/7. Правильная дробь меньше единицы, а неправильная

дробь больше или равна единице.

Задачи

Четыре плотника хотят

построить дом. 1 плотник

может построить дом за год,

второй- за 2 года, третий- за

три года, четвёртый- за 4 года.

За сколько лет они построят

дом при совместной работе?

«Арифметика», Магницский, 1703

Задачи

Четыре плотника хотят

построить дом. 1 плотник

может построить дом за год,

второй- за 2 года, третий- за

три года, четвёртый- за 4 года.

За сколько лет они построят

дом при совместной работе?

«Арифметика», Магницский, 1703

Число 12 –делители 1, 2, 3, 4. 1) 12:1=12( домов) 1 плотник за 12 лет 2) 12:2=6( дом) 2 плотник за 12 лет 3) 12:3=4( дом) 3 плотник за 12 лет 4) 12:4=3( дом) 4 плотник за 12 лет 5) 12+6+4+3=25( домов) вместе за 12 лет 6) 12:25= 12/25( года) 1 дом вместе. Ответ: примерно 6 месяцев.

Лошадь съедает воз

сена за месяц, коза-

за два месяца, овца-

за три месяца.

За какое время лошадь,

коза и овца вместе

съедят такой же воз сена?

Решение: Лошадь - 1 воз 1 месяц

6 возов - 6месяцев

Коза - 1 воз 2 месяца

3 воза- 6 месяцев

Овца - 1 воз 3 месяца

2 воза- 6 месяцев

НОК(1,2,3)=6

1)6+3+2=11(возов) лошадь, коза и овца за 6 мес.

2)6:11=6/11(месяца) они съедят 1 воз.

Ответ: 6/11 месяца.

Лошадь съедает воз

сена за месяц, коза-

за два месяца, овца-

за три месяца.

За какое время лошадь,

коза и овца вместе

съедят такой же воз сена?