Старинные занимательные задачи

«Способы решения

старинных занимательных задач»

M.Д.Богданова

1. Теоретическая часть

1.1. Историческая справка

Из первых известных письменных источников мы узнаем о том, что математические знания на Руси были распространены уже в X – XI вв. Они были связаны с практическими нуждами людей: летоисчислением, вычислением поголовья и стоимости стада, определением прибыли от сбора урожая и т. д. В XVI-XVII вв в России появляется рукописная математическая литература (этого требуют межевание и измерение земель, система податного обложения, градостроительство и военное дело, развивающиеся торговые отношения внутри страны и торговля с другими государствами). Для подготовки кадров нужны были учебники. В 1703 г. Впервые был издан учебник типографским способом (2400 экземпляров), он назывался «Арифметика, сиречь наука числительная…». Автором его был Леонтий Филиппович Магницкий. На протяжении пятидесяти лет он был основным учебником математики для всех учебных заведений России.

1.2. Словарь единиц измерения

Верста (поприще) – мера длины, равная 1,06 км

Аршин – мера длины, равная 0,71 м

Алтын – денежная единица, равная 3 копейкам

Полушка – денежная единица, равная 0,25 рублей

Гривна – денежная единица, равная 10 копейкам

Фунт – мера веса, равная 453,6 г

Сажень – мера длины, равная 2,13 м

Четверть – мера, равная четвертой части какой-либо единицы

измерения

Пядь – расстояние между вытянутыми большим и указательным пальцами руки при их наибольшем удалении. (19 – 23 см)

Локоть – расстояние от конца вытянутого среднего пальца руки до локтевого сгиба. (38 – 46 см)

Вершок – мера длины, равная 4,5 см

2. Практическая часть

Задача 1. Купил некто трех сукон 106 аршин, единого взял 12 аршин больше перед другим , а другого 9-ю больше пред третьим, и ведательно есть , колико коего сукна взято было .(Из старинной книги «Арифметика» Л.Ф. Магницкого, начало 18 века)

Решение: Пусть некто купил 3 вида сукна

I— х+9+12

II—х+9

III—х

Составим уравнение: х+(х+9)+(х+21)=106

Х+Х+9+Х+21=106

3Х+30=106

3Х=76

Х=25

Если х= ,то х+9=25 +9=34 и 34 +12=46

Ответ: 1- 46 аршина; 2- 34 аршина; 3 --25 аршина

Задача 2. Летела стая гусей, на встречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, 100 гусей!» «Нас не 100 гусей, - отвечает ему вожак стаи, - если бы нас было столько, сколько теперь, да еще столько, да пол столько, да четверть столько, да еще ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей» Сколько было в стае гусей?

Решение: Пусть Х- это стая гусей(столько)

- пол столько;

- четверть столько, исходя из этого , составим уравнение

Х+Х+ - приведем к общему знаменателю умножив на 4

- приведение подобных слагаемых

Ответ: в стае было 36 гусей

Задача 3. Говорят, что на вопрос о том, что сколько у него учеников, древнегреческий математик Пифагор ответил так: «Половина моих учеников изучает математику, четвертая часть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют три девы » .

Сколько учеников было у Пифагора ?

Решение: Пусть Х – это количество всех учеников Пифагора

- ученики изучающие математику;

- ученики изучающие природу;

- ученики проводят время в размышлении.

1. - три девы

Составив уравнение : приводим к общему знаменателю

( количество всех учеников )

По условию задачи из них изучают :

Математику – 14 учеников ( );

Природу - 7 учеников ( );

Размышляют – 4 ученика ( )

Ответ: У Пифагора было всего 28 учеников.

Задача 4. В клетке находятся фазаны и кролики. У всех животных 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке кроликов и сколько фазанов?

Решение: Пусть К - это кролики , Ф- фазаны т.к у кролика 4 ноги , а у фазана их 2, то исходя из этого составим систему уравнений :

4к+2ф=94 (ноги)

К+ф = 35 (головы)

Выразим фазанов через кроликов

Ф= 35-К подставим это в первое уравнение

4К+2Ф=94

4К+2(35-К)=94

4К +70 -2 К = 94

2К = 24

К = 12;

если кроликов 12 то, фазанов 35 – 12 = 23

Ответ: кроликов 12 , фазанов 23 .

Задача 5. У моста через речку встретились лодырь и черт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ черт предложил : «Я могу помочь тебе. Каждый раз , как ты перейдешь этот мост, у тебя деньги удвоятся. Но каждый раз перейдя мост ты должен будешь отдать мне 24 копейки». Три раза лодырь проходил мост, а когда заглянул в кошелек, там стало пусто. Сколько же денег было у лодыря ?

Решение задачи с конца: т.к. кошелек оказался пустым мы имеем 0

1 действие – 0+24=24

2 действие – 24 : 2 = 12

3 действие – 12+24= 36

4 действие – 36: 2 = 18

5 действие – 18 + 24 = 42

6 действие – 42 : 2 = 21

Ответ: У лодыря было 21 копейка

Задача 6. Я задумал число, прибавил к нему единицу, умножил сумму на два, произведение разделил на три и отнял от результата четыре. Получилось пять. Какое число я задумал ?

Решение задачи с конца:

1 действие – 5+4 = 9

2 действие - 9* 3 =27

3 действие - 27 : 2= 13,5

1. действие - 13,5 -1 = 12,5

Ответ: задуманное число равно 12, 5

Задача 7.

Один человек выпивает бочонок кваса за 14 дней, а вместе с женой выпивает такой же бочонок кваса за 10 дней. Нужно узнать, за сколько дней жена одна выпивает такой же бочонок кваса.

Решение:

За 140 дней человек выпьет 10 бочонков кваса, а вдвоем с женой за 140 дней они выпьют 14 бочонков кваса. Значит за 140 дней жена выпьет 14-10 = 4 бочонка кваса, а тогда один" бочонок она выпьет за 140:4 = 35 дней.

Ответ: 35 дней.

Задача 8.

На мельнице имеется три жернова. На первом из них за сутки можно смолоть 60 четвертей зерна, на втором 54 четверти, а на третьем 48 четвертей. Некто хочет смолоть 81 четверть зерна за наименьшее время на этих трех жерновах.

За какое наименьшее время можно смолоть зерно и сколько для этого на каждый жернов надо зерна насыпать?

Ответ:

Ясно, что все три жернова должны работать одинаковое время, потому что простой любого из 3-х жерновов увеличивает время помола зерна. Поскольку за сутки все 3 жернова вместе могут смолоть 60 + 54 + 48 = 162 четверти зерна, а надо смолоть

81 четверть, то жернова должны работать 12 часов и за это время на первом жернове надо смолоть 30 четвертей, на втором 27 четвертей, а на третьем 24 четверти зерна.

Задача 9. Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый из мальчиков дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; в свою очередь и третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок.

Сколько яблок было вначале у каждого мальчика?

Решение:

1) 8 : 2 = 4 (яблока) – было у второго (и первого) мальчика до последней передачи.

2) 8 + 4 × 2 = 16 (яблок) – было у третьего мальчика до последней передачи.

3) 16 : 2 = 8 (яблок) – было у третьего мальчика до второй передачи.

4) 4 : 2 = 2 (яблока) – было у первого мальчика до второй передачи.

5) 8 × 3 = 24 (яблока) – было у всех мальчиков.

6) 24 – 8 – 2 = 14 (яблок) – было у второго мальчика до второй передачи.

7) 8 : 2 = 4 (яблока) – было у третьего мальчика сначала.

8) 14 : 2 = 7 (яблок) – было у второго мальчика сначала.

9) 24 – 4 – 7 = 13 (яблок) – было у первого мальчика сначала.

Ответ: изначально у первого мальчика было 13 яблок,

у второго мальчика – 7 яблок,

у третьего мальчика – 4 яблока.

Задача 10. Два человека пошли одновременно друг за другом из одного места вокруг города. Один из них идет по 4 версты в час, а второй по 3,5 версты в час. Путь вокруг того же города составляет 15 верст.

Через сколько часов они сошлись и сколько раз каждый из них обошел город?

Решение:

1) 4 – 3,5 = 0,5 (верст) – отставание за один час.

2) 15 : 0,5 = 30 (часов) – время, через которое люди встретятся.

3) 30 × 4 = 120 (верст) – прошел первый человек.

4) 30 × 3,5 = 105 (верст) – прошел второй человек.

5) 120 : 15 = 8 (раз) – обошел город первый.

6) 105 : 15 = 7 (раз) – обошел город второй.

Ответ: люди сошлись через 30 часов.

За это время первый человек обошел город 8 раз,

а второй человек – 7 раз.

Задача 11. Хозяин нанял работника на год и обещал ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот, проработав только 7 месяцев, захотел уйти. При расчете он получил кафтан и 5 рублей. Сколько стоит кафтан?

Решение:

1. 12 - 7 = 5 (месяцев) – осталось работнику.

2. 12 - 5 = 7 (рублей) – недополучил работник.

3. 7 : 5 = 1,40 (рублей) – за один месяц.

4. 7 × 1,4 = 9,8 (рублей) – за 7 месяцев.

5. 9,8 - 5 = 4,8 (рублей) – цена кафтана.

Ответ: цена кафтана равна 4,8 рублей.

15. Хозяин нанял работника с таким условием: За каждый рабочий день будет ему платить по 20 копеек, а за каждый нерабочий день – вычитать 30 копеек. По прошествии 60 дней работник ничего не заработал.

Сколько было рабочих дней?

Решение:

1) 20 × 60 = 1200 (копеек) – заработал бы работник, если бы не пропустил ни одного дня.

2) 20 – ( – 30) = 50 (копеек) – разница между рабочим и нерабочим днем.

3) 1200 : 50 = 24 (дня) – нерабочие дни.

4) 60 – 24 = 36 (дней) – рабочие дни.

Ответ: работник проработал 36 дней.

Список литературы

1. С.Н. Олехник, Ю.В. Нестеренко, М.К. Потапов., Старинные занимательные задачи., М., Наука, 1988.

2. Школьная энциклопедия. Математика., под ред. С.М. Никольского., М., Научное издательство., БРЭ., 1996.