Статья "Уравнения с параметрами"

Развитие творческих мыслительных способностей невозможно вне проблемных ситуаций, поэтому особое значение в обучении имеют нестандартные задачи. К ним относятся и задачи, содержащие параметр. Математическое содержание этих задач не выходит за пределы программы, тем не менее, их решение, как правило, вызывает у учащихся затруднения.

В применении к параметрическим уравнениям и неравенствам можно выделить следующие исследовательские умения:

1) Умение выражать через параметр условия принадлежности данного параметрического уравнения к тому или иному классу уравнений;

2) Умение определять вид уравнения и указывать вид коэффициентов в зависимости от параметров;

3) Умение выражать через параметры, условия наличия решений параметрического уравнения;

4) В случае наличия корней (решений) уметь выражать условия наличия того или иного количества корней (решений);

5) Умение выражать через параметры сами корни параметрические уравнения (решения неравенства).

Развивающий характер уравнений и неравенств с параметрами определяется их способностью реализовывать многие виды мыслительной деятельности учащихся:

• Выработка определенных алгоритмов мышления;

• Умение определить наличие и количество корней (в уравнении, системе);

• Решение семейств уравнений, являющихся следствием данного;

• Выражение одной переменной через другую;

• Нахождение области определения уравнения;

• Повторение большого объема формул при решении;

• Знание соответствующих методов решения;

• Широкое применение словесной и графической аргументации;

• Развитие графической культуры учащихся.

С чего же начинать обучение решению уравнений с параметрами? Конечно, с азов.

Решить уравнение – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения, и каковы они, то есть, исследовать его относительно параметра.

Множество значений параметра разбивают на подмножества, границами которых служат те значения параметра, в которых, или при переходе через которые, происходит качественное изменение уравнения. Такие значения параметра называют «особыми» или контрольными.

Линейные уравнения, содержащие параметр.

Алгоритм решения таких уравнений:

1. Найти ОДЗ

2. Решить уравнение относительно х

3. Определить контрольные значения параметра

4. Проверить, нет ли таких значений параметра, при которых значение х было бы равно числу, исключенному из ОДЗ

ПРИМЕР № 1.

Решить уравнение

ОДЗ: а² – 2а ≠ 0  а ≠ 0, а ≠ 2

1. при а = 0, а = 2 решений нет

2. приа ≠ 0, а ≠ 2

3х – 2 + ах – а + 2а – 4 = 0

(3 + а)∙х = 6 – а

1. контрольное значение 3 + а = 0  а = – 3  0∙х = 6  нет решений

2. а ≠ –3  х =

Ответ: при а = 0, а = 2, а = – 3 нет решений

при а ≠ 0, а ≠ 2, а ≠ – 3 х =

ПРИМЕР № 2.

Решить уравнение

ОДЗ: х ≠ –1, х ≠ 2

bx – 5x – 2b + 10 – 7x –3bx –7 -3b = 2bx – 5

• 4bx – 12x = – 8 +5b

• 4(b + 3)∙x = 8 – 5b

1. b = – 3  0∙x = 23 нет решений

2. b ≠ – 3  x =

Найдём те значения параметра b, при которых х = – 1

= –1

– 8 +5b = 4b + 12

b = 20

Найдём те значения параметра b, при которых х = 2

= 2

8 + 5b = 8b + 24

13b = – 16

b =

Ответ: при b = – 3, b = 20, b = нет решений

при b≠ – 3, b≠ 20, b≠x =

Квадратные уравнения, содержащие параметр.

Для нахождения контрольных значений параметра при решении квадратных уравнений часто пользуются следующими фактами:

1. Коэффициент при х² не должен быть равен нулю;

2. Значения параметра, при которых дискриминант уравнения D равен нулю, относят к контрольным, так как, если дискриминант обращается в нуль при некотором значении параметра и при переходе через эту точку меняется знак, то при переходе через эту точку меняется число действительных корней квадратного уравнения.

ПРИМЕР № 2.

ОДЗ: x  2, b  – 1

1. при b = – 1 нет решений

2. при b  – 1

x² – 2x + 2bx + 2x – 3b + 4 =0

x² + 2bx – 3b + 4 =0

Всё зависит от дискриминанта, найдём его и рассмотрим все случаи.

D = b² – 4 + 3b = b² + 3b – 4 = (b + 4)(b – 1)

1. при – 4нет решений

2. при b b 1

x₁ = b + , x₂ = b –

1. при b = – 4

x² – 8x + 4 + 12 = 0

x² – 8x +16 = 0

(x – 4)² = 0

x = 4

при b = 1

x² + 2x + 4 – 3 = 0

x² + 2x + 1 = 0

(x + 1)² = 0

x= – 1

Найдём те значения параметра b, при которых х = 2.

4 + 4b – 3b + 4 = 0

b = – 8

x² – 16x + 4 + 24 = 0

x² – 16x + 28 = 0

x₁ = 14, x₂ = 2

Ответ: при – 4b

при b = – 8 x = 14

при b = – 4 x = 4

при b = 1 x= – 1

при b b 1

x₁ = b + , x₂ = b –

ПРИМЕР № 4.

При каких значениях параметра а найдутся такие значения х, что числа 2^х – а; –2^-х-1; 4^х +, взятые в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию.

Решение:

Первый член прогрессии а₁ = 2^х – а; второй член прогрессии а₂ = –2^-х-1; третий член прогрессии а₃ = 4^х +.

а₂= ⇒ 2а₂ = а₁ + а₃⇒

2(–2^-х-1) = 2^х – а + 4^х +

–2¹∙2^-х-1= 2^х – а + 4^х +

–2^-х = 2^х – а + 4^х +

а = (2^х + 2^-х) + (4^х + 4^-х) [(2^х + 2^-х)² = 4^х +2∙2^х∙2^-х + 4^-х = 4^х+ 4^-х +2]

а = (2^х + 2^-х) + (2^х + 2^-х)² – 2

Введём новую переменную, пусть t = 2^х + 2^-х, рассмотрим данную функцию и найдём её экстремумы:

= 2^х– 2^-х = 0

2^x– = 0

2^2х – 1 = 0

2^2х = 1

2^2х = 2⁰

2х = 0

х = 0

y(0) = 2⁰ + 2⁰ = 2 ⇒t 2.

а = t² + t – 2

t² + t – (2 – a) = 0

t_1,2= , так как t 2⇒t = ⇒

2

⇒4а+9⇒4а⇒ а 4.

Ответ: при а.