Теорема Виета, уравнения квадратные и не только

О ТЕОРЕМЕ ВИЕТА, УРАВНЕНИЯХ КВАДРАТНЫХ И НЕ ТОЛЬКО

Н. Трегуб, г. Донецк

Как свидетельствует мой собственный многолетний опыт, большинство учителей к сути квадратных уравнений, уравнений высших степеней и к использованию теоремы Виета для квадратных и других алгебраических уравнений относится достаточно "прагматично", то есть используют их очень редко и в совсем простых заданиях. Чаще всего это именно такие традиционные задания, где прямо сказано "использовать теорему Виета" или просто речь идет о сумме и произведении корней (причем только квадратного уравнения). В настоящей статье мне бы хотелось показать примеры использования этой замечательной теоремы для более широкого класса задач. И, может быть, тем самым несколько расширить кругозор коллег, а значит, дать им возможность познакомить с такими методами решения задач учащихся; в особенности тех, кто готовится к поступлению в высшие учебные заведения, кто интересуется математикой и хочет участвовать в олимпиадах разных уровней.

Увидеть «спрятанную» теорему Виета и тем самым найти короткий и красивый способ решения задачи не так легко, если решающий не имеет определенных навыков. Использование данной теоремы в нестандартных задачах требует наличия семантической гибкости мышления и способствует развитию творческих способностей учащихся.

Вначале несколько слов хотелось бы сказать об уравнениях вида , которые далеко не всегда являются квадратными. Очевидно, что при уравнение становится линейным, а при превращается в тождество. Решая задания с параметром, учащиеся часто забывают о таких фактах; то есть на вопрос, когда уравнение вида имеет один корень, тут же отвечают: «Когда дискриминант равен нулю», забывая рассмотреть случай линейного уравнения.

Задание 1. (см. [4]) При каких значениях а уравнение

имеет единственное решение?

Легко проверяется, что при уравнение становится линейным и имеет один корень. При уравнение будет квадратным и тогда единственное решение будет в случае, когда дискриминант равен нулю. В этом случае а будет равняться или . Таким образом, исходное уравнение будет иметь единственное решение при а, равном

Остановимся теперь на следующем факте.

Утверждение. Если уравнение имеет три разных корня (то есть функция имеет нули в трех разных точках), то . (Это нетрудно доказать).

Следствием этого факта может быть такое утверждение: «Если уравнение , где , а М = const (то есть постоянная величина), имеет три разных корня, то при всех действительных значениях х, то есть равенство становится тождеством». Таким образом, с = М.

Примерами использования приведенного факта будут небезызвестные задания. (См., например, [1], [2], [5], [6]).

Задание 2. Найдите значение выражения

Задание 3. Докажите тождества:

а)

б)

Начнем с задания 2.

Очевидно, что функция имеет степень не выше второй. Кроме того, легко увидеть, что Поэтому в соответствии с выше приведенным утверждением при всех действительных значениях х .

Что касается задания 3.а), то, чтобы доказать это тождество, введем функцию Степень этой функции также не выше второй. Убедимся, что Поэтому при всех действительных значениях х, то есть тождество доказано. Аналогично доказывается и тождество 3б). Только для его доказательства необходимо ввести функцию

и убедиться, что .

Задание 4. Пусть a, b, c – различные числа. Докажите, что из системы

следуют равенства x = y = z = 0.

Для решения этой задачи введем функцию

Тогда по условию

Введеная функция имеет три нуля. Это означает, что в уравнении все коэффициенты равны нулю, то есть , что и требовалось доказать.

Приведем теперь примеры заданий, для решения которых может быть использована теорема Виета.

Задание 5. Известно, что

.

Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство

Доказательство начнем с очевидного факта:

если то Тогда так как по условию

Обозначим

Рассмотрим уравнение . Это уравнение имеет только 2 корня и По теореме Виета Тогда или или . Очевидно, что в этих обоих случаях что и требовалось доказать.

Аналогичная идея лежит в основе решения следующего задания.

Задание 6. Существуют ли 4 различных положительных числа x, y, a, b таких, что

Пусть такие 4 числа существуют, причем эти числа различные.

Тогда из формул учитывая, что все числа положительные, то есть , получаем:

Отсюда значит,

Проведем рассуждения, аналогичные рассуждениям задания 4. Пусть По теореме, обратной теореме Виета, x и y , а также a и b – корни квадратного уравнения . Но это уравнение не может иметь более двух корней, то есть множества этих корней совпадают, вследствие чего различных четырех положительных чисел, удовлетворяющих условию, не существует.

Задание 7. При каких значениях а четыре корня уравнения

являются последовательными членами арифметической прогрессии?

Обратим внимание на то, что данное уравнение биквадратное. Обозначим Получим уравнение По теореме Виета Пусть для определенности

Тогда корни исходного уравнения имеют вид Так как в указанном порядке эти корни образуют арифметическую прогрессию, то . Отсюда то есть . Подставив данное равенство в соотношения между корнями (теорему Виета), получаем, что

и .

Таким образом, корни исходного уравнения являются последовательными членами арифметической прогрессии при и . (Проверьте!)

Приведем теперь теорему Виета для уравнений п – ой степени.

Обобщенная теорема Виета: Пусть х₁, х₂, …, х_п – корни многочлена

Тогда справедливы равенства

Для приведенного уравнения третьей степени вида

по теореме Виета

где – корни уравнения.

Соответствующие равенства можно записать и для уравнения четвертой степени.

Задание 8. Определите все значения а, при каждом из которых три различных корня уравнения

образуют геометрическую прогрессию. Найдите эти корни.

Запишем теорему Виета для корней данного уравнения:

Так как корни образуют геометрическую прогрессию, то

Тогда из равенства следует, что 64, откудаПодставив данное значение корня в исходное уравнение, получаем, что Но при исходноеуравнение имеет лишь один действительный корень.

Далее можно подставить значение в исходное уравнение и, зная, что один из корней равен 4, по схеме Горнера или делением «уголком», прийти к квадратному уравнению Оставшиеся два корня равны 2 и 8.

Это же квадратное уравнение для оставшихся корней можно получить из соотношений теоремы Виета, подставив в соответствующие равенства ; (

Итак, корни образуют геометрическую прогрессию и равны 2, 4, 8 при

Задание 9. Решите систему уравнений:

Для решения системы 9а) обратим внимание на то, что по теореме, обратной теореме Виета, x, y и z – корни следующего кубического уравнения Корни этого уравнения Поэтому решения этой системы ,

Чтобы решить систему 9б), используем формулу

и получим, что . Тогда по теореме, обратной теореме Виета, x, y и z – корни такого . Дальнейшее решение системы очевидно.

Задание 10. Известно, что

Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство

Для доказательства обозначим , . Используя формулу (1), получаем: . Обозначим . Рассмотрим уравнение Это уравнение имеет не более трех корней. Но x, y, z и a, b, c – соответствующие корни этого уравнения, поэтому множества корней этого уравнения совпадают, то есть при любом натуральном n.

Задание 11. Числа x , y , z удовлетворяют системе

Докажите, что хотя бы одно из этих чисел равняется а.

Если привести второе равенство к общему знаменателю, то получим, что Обозначим Тогда По теореме, обратной теореме Виета, x, y и z – корни следующего уравнения третьей степени . Учитывая, что , получаем что наше уравнение преобразуется к виду Очевидно, что один из корней этого уравнения , поэтому хотя бы одно из чисел x , y , z равняется а.

Задание 12. Решить систему

Рассмотрим многочлен Этот многочлен имеет не более трех корней. Но по условию Тогда a, b, c – корни этого многочлена. Поэтому по теореме Виета

Тогда решение системы:

Задание 13. Один из корней уравнения с целыми коэффициентами

равен Найти a, b и остальные корни.

Рассмотрим несколько способов решения этого задания.

Но вначале заметим, что если уравнение имеет целые коэффициенты, то корни этого уравнения будут сопряженными, то есть

Тогда

Способ 1. По теореме, обратной теореме Виета, х₁ та х₂ – корни квадратного трехчлена а многочлен делится на этот трехчлен. Поэтому, если разделить «уголком» многочлен, то частное будет , а остаток будет равен нулю, тогда

Из уравнения получаем, что

Способ 2. Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям способа 1, учтем, что многочлен делится на . Используем метод неопределенных коэффициентов.

Запишем После раскрытия скобок получаем, что .

Способ 3. Используем теорему Виета для уравнения четвертой степени.

тогда

потому

По теореме Виета

По теореме, обратной теореме Виета, х₃ та х₄ – корни квадратного уравнения , откуда мы и находим х₃ и х₄.

Все приведенные выше задания – только малая часть примеров, способных привлечь внимание учителей к использованию такой яркой и красивой теоремы, как теорема Виета. Считаю, что эта небольшая статья будет полезна учителям, работающим в классах математического профиля, классах с углубленным изучением математики и учителям, готовящим учащихся к ГИА, ЕГЭ и ВНО и олимпиадам разных уровней.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. – М.: МЦНМО, 2005.

2. Дорофеев Г.В., Пчелинцев С.В. Многочлены с одной переменной. Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 2001.

3. Козко А.И. и др. ЕГЭ 2010. Математика. Задача С5. – М.: МЦНМО, 2010.

4. Математика для поступающих в десятый лицейский класс: Варианты вступительных заданий. – М.: Издательство «Экзамен», 2006.

5. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра. Учебник для 8 класса с углубленным изучением математики. - Харьков: Гимназия, 2008.

6. Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 класса с углубленным изучением математики. - Харьков: Гимназия, 2010.