Степенная функция, её свойства и график.

10 класс

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Степенной называется функция, заданная формулой  где , p – некоторое действительное число.

I. Показатель - чётное натуральное число. Тогда степенная функция где n – натуральное число, обладает следующими свойствами:

1) Область определения функции - множество всех действительных чисел: D(y)=(−; +).

2) Область значений функции – множество неотрицательных чисел, если :

множество неположительных чисел, если :

3) ). Значит, функция является чётной, её график симметричен относительно оси Oy.

4) Если , то функция убывает при х (- ; 0] и возрастает при х [0; + ).

Если , то функция возрастает при х (- ; 0] и убывает при х [0; + ).

Графиком степенной функции с чётным натуральным показателем является парабола п-ой степени, симметричная относительно оси ординат, с вершиной в начале координат (в точке ), ветви которой направлены вверх, если , и вниз, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 a 1.

На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с чётным натуральным показателем, а на правом рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

II. Показатель - нечётное натуральное число. Тогда степенная функция где n – натуральное число, обладает следующими свойствами:

1) Область определения функции - множество всех действительных чисел: D(y)=(−; +).

2) Область значений функции – множество всех действительных чисел: Е(y) = (−; +).

3) Значит, функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.

4) Если , функция возрастает при х (- ; +).

Если , функция убывает при х (- ; +).

Графиком степенной функции с нечётным натуральным показателем является парабола п-ой степени с вершиной в начале координат (точке (0;0)), симметричная относительно начала координат, ветви которой расположены в I и III четвертях, если ; и во II и IV четвертях, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 a 1.

На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с нечётным натуральным показателем, а на правом – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

III. Показатель - чётное целое отрицательное число. Тогда степенная функция где n – натуральное число, обладает следующими свойствами:

1) Область определения функции: .

2) Область значений функции - множество всех положительных чисел, если : Е(y) =(0; +);

множество всех отрицательных чисел, если : Е(y) =(-; 0).

3) Значит, функция является чётной, её график симметричен относительно оси Оу.

4) Если , функция возрастает при х (- ; 0), убывает при х (0; + ).

Если функция убывает при х (- ; 0), возрастает при х (0; + ).

Графиком степенной функции является гипербола п-ой степени, симметричная относительно оси Оу, не пересекающая оси координат и её ветви расположены в I и II четвертях, если , и в III и IV четвертях, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 a 1.

На первом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с чётным целым отрицательным показателем, а на втором рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

IV. Показатель - нечётное целое отрицательное число. Тогда степенная функция где n – натуральное число, обладает следующими свойствами:

1) Область определения функции:

2) Область значений функции:

3) Значит, функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.

4) Если , функция убывает при х .

Если , функция возрастает при х .

Графиком степенной функции является гипербола п-ой степени, симметричная относительно начала координат, не пересекающая оси координат и его ветви расположены в I и III четвертях, если , и во II и IV четвертях, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 a 1.

На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с нечётным целым отрицательным показателем, а на правом рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

V. Показатель – положительная правильная дробь . Тогда степенная функция где m – целое положительное число, n 1 – натуральное число, обладает следующими свойствами:

1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:

2) Область значений функции - множество неотрицательных чисел, если :

множество неположительных чисел, если : .

3) Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.

4) Если , функция возрастает при х ;

Если , функция убывает при х .

График степенной функции расположен в I четверти, если , и в IV четверти, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 a 1.

На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде положительной правильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

VI. Показатель – положительная неправильная дробь . Тогда степенная функция где m – целое положительное число, n 1 – натуральное число, обладает следующими свойствами:

1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:

2) Область значений функции - множество неотрицательных чисел, если :

множество неположительных чисел, если : .

3) Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.

4) Если , функция возрастает при х ;

Если , функция убывает при х .

График степенной функции расположен в I четверти, если , и в IV четверти, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 a 1.

На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде положительной неправильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

VII. Показатель – отрицательная правильная дробь . Тогда степенная функция где m – целое отрицательное число, n 1 – натуральное число, обладает следующими свойствами:

1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:

2) Область значений функции - множество неотрицательных чисел, если :

множество неположительных чисел, если : .

3) Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.

4) Если , функция убывает при х ;

Если функция возрастает при х .

График степенной функции расположен в I четверти, если , и в IV четверти, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 a 1.

На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде отрицательной правильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

VIII. Показатель – отрицательная неправильная дробь . Тогда степенная функция где m – целое отрицательное число, n 1 – натуральное число, обладает следующими свойствами:

1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:

2) Область значений функции - множество неотрицательных чисел, если :

множество неположительных чисел, если : .

3) Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.

4) Если функция убывает при х ;

Если функция возрастает при х .

График степенной функции расположен в I четверти, если , и в IV четверти, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 a 1.

На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде отрицательной неправильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

3