Стереометрия. Перпендикулярность в пространстве.

• Теорема о трех перпендикулярах

Опрос теории и проверка домашнего задания

• а) Дайте определение перпендикуляра, основания перпендикуляра, расстояния от точки до плоскости, наклонной, основания наклонной, проекции наклонной. б) Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. в) Сформулируйте теорему, обратную теореме о свойстве медианы в равнобедренном треугольнике.
• Задачи №138(б) и №139(б,в)

Задача №1 1) АА1 = 5 – перпендикуляр к плоскости а , АВ – наклонная. А1В=12. Найти АВ= х.

Задача№2 Прямая а перпендикулярна плоскости АВС, угол АСВ равен 90о, АС = 4, МD=3. Найти МС.

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.

AH - перпенд к пл α.

AM это наклонная к пл α; a - прямая в плоскости α через т. М

a перпенд. HM.

Доказать, что прямая а перпенд. АМ

Теорема о трех перпендикулярах

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.

Доказательство:

1)АВ- перпендикуляр,

АС- наклонная,

2) Проводим СА ´║ АВ.

( по свойству перпендикулярных прямой и плоскости)

3)АВ и А ´ С определяют

(признак перпендикулярности прямой и плоскости)

4)

5)

Если

то

следовательно

и

6)Аналогично , если

следовательно

Задача

Через центр вписанной в треугольник окружности

проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Доказать, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.

Решение:

1 )А,В,С- точки касания сторон треугольника с окружностью,

S - точка на перпендикуляре

О- центр окружности,

2 ) Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника,

то по теореме о трех перпендикулярах: S А- перпендикуляр к этой стороне

3 )По теореме Пифагора:

S

где r- радиус вписанной окружности

4 )

5 )

Т.е. расстояния от S до сторон треугольника равны

Задача. Прямая а (АВС). MD = 13. АС = 15, ВС = 20. АС ВС, МD АВ. Найти MC.

Решение:

• Из треугольника АВС найдем гипотенузу АВ. АВ=25;
• Соединим точки С и D. По теореме о трех перпендикулярах CD перпендикулярно AB;
• Следовательно, AB : AC = AC : AD. Отсюда AВ = 9;
• Из треугольника ADC найдем катет DC = 12;
• Из треугольника MDC по теореме Пифагора найдем МС;
• MC = 5.
• Задание на дом: п. 19, п.20,№140, №143, №144(решена), 153(решена)