СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до 18.06.2025

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Свойства биссектрисы и медианы треугольника

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

В данной презентации рассматриваются свойства биссектрисы и медианы треугольника, которые не изучаются в школьном курсе геометрии, но с помощью которых можно решить задачи повышенного и высокого уровня сложности на экзамене в 9 и 11 классах

Просмотр содержимого документа
«Свойства биссектрисы и медианы треугольника»

Свойства биссектрисы и медианы треугольника Автор: Сидорова А.В. учитель математики МБОУ СОШ № 31 г. Мурманска
  • Свойства биссектрисы и медианы треугольника

Автор:

Сидорова А.В.

учитель математики

МБОУ СОШ № 31

г. Мурманска

Что мы знаем о биссектрисе треугольника из школьного учебника?
  • Что мы знаем о биссектрисе треугольника из школьного учебника?
Определение Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы внутреннего угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника. В А С D
  • Определение
  • Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы внутреннего угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

В

А

С

D

Свойства биссектрисы А D Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности. В С В О А С
  • Свойства биссектрисы

А

D

  • Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
  • Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности.

В

С

В

О

А

С

Биссектриса внешнего угла треугольника перпендикулярна биссектрисе смежного с ним внутреннего угла.    В Е   Дано:  ∆  ABC , ∠ BСD — внешний угол при вершине C , CE — биссектриса ∠ BCD , CF — биссектриса ∠ ACB . Доказать: ∠ FCE =90º. Доказательство:  F А С D ∠ ACB + ∠ BCD = 180⁰   ∠ FCB = ACB ∠ FCB + ∠ ECB = ACB + DCB =   = ( ACB + DCB ) =  ∙ 180⁰ = 90⁰  ∠ ECB = DCB  
  • Биссектриса внешнего угла треугольника перпендикулярна биссектрисе смежного с ним внутреннего угла.

В

Е

  •   Дано:  ∆ ABC , ∠ BСD — внешний угол при вершине C , CE — биссектриса ∠ BCD , CF — биссектриса ∠ ACB . Доказать: ∠ FCE =90º. Доказательство: 

F

А

С

D

ACB + ∠ BCD = 180⁰

 

FCB = ACB

FCB + ∠ ECB = ACB + DCB =

 

= ( ACB + DCB ) = 180⁰ = 90⁰

ECB = DCB

 

Свойство биссектрисы треугольника В треугольнике биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В А С D
  • Свойство биссектрисы треугольника

В треугольнике биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

В

А

С

D

К Дано: Δ  АВС BD – биссектриса Доказать: Доказательство: В А С D 1. Проведем СК параллельно BD. 2. - соответственные при секущей АК. 3. - накрест лежащие при секущей ВС. 4. Δ  КВС – р/б ВК = ВС 5. По обобщенной теореме Фалеса ВК = ВС

К

  • Дано: Δ АВС

BD – биссектриса

Доказать:

Доказательство:

В

А

С

D

1. Проведем СК параллельно BD.

2. - соответственные при секущей АК.

3. - накрест лежащие при секущей ВС.

4.

Δ КВС – р/б

ВК = ВС

5. По обобщенной теореме Фалеса

ВК = ВС

Задача 1. В треугольнике АВС биссектриса AL и высота ВН пересекаются в точке О . Найти радиус описанной вокруг треугольника АВС окружности, если известно, что ВС =4, а ВО : ОН =5:3.  Дано: ∆  АВС   AL – биссектриса   ВН – высота   ВС =4, BО : ОН =5:3  Найти: R . В 4 L О А С Н Решение: По теореме синусов По свойству биссектрисы треугольника Из Δ  АВН : Ответ: R =2,5.
  • Задача 1. В треугольнике АВС биссектриса AL и высота ВН пересекаются в точке О . Найти радиус описанной вокруг треугольника АВС окружности, если известно, что ВС =4, а ВО : ОН =5:3.

Дано: АВС AL – биссектриса ВН – высота ВС =4, : ОН =5:3 Найти: R .

В

4

L

О

А

С

Н

Решение:

По теореме синусов

По свойству биссектрисы треугольника

Из Δ АВН :

Ответ: R =2,5.

Свойство биссектрисы внешнего угла треугольника   Биссектриса внешнего угла треугольника делит продолжение противоположной стороны на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. D С А В
  • Свойство биссектрисы внешнего угла треугольника

Биссектриса внешнего угла треугольника делит продолжение противоположной стороны на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

D

С

А

В

Дано: Δ  АВС BD – биссектриса ∠ CBF  Доказать: Доказательство: D С A K B F 1. Проведем СК параллельно BD. 2. - соответственные при секущей AF. 3. - накрест лежащие при секущей ВС. 4. Δ  КВС – р/б ВК = ВС 5. ВК = ВС
  • Дано: Δ АВС

BD – биссектриса ∠ CBF

Доказать:

Доказательство:

D

С

A

K

B

F

1. Проведем СК параллельно BD.

2. - соответственные при секущей AF.

3. - накрест лежащие при секущей ВС.

4.

Δ КВС – р/б

ВК = ВС

5.

ВК = ВС

Задача 2. Биссектриса внутреннего угла В треугольника АВС рассекает сторону АС на отрезки АК = 5, КС = 7. На каком расстоянии от вершин А и С пересечет продолжение АС биссектриса внешнего угла В ? L Дано: ∆  АВС   BL – биссектриса ∠ АBF    ВК - биссектриса ∠ АBС    АК = 5, КС = 7 Найти: AL , CL Решение: A K C B F х = 30 Пусть AL = х , тогда CL = x + 12 Ответ: AL = 30, CL = 42. 11
  • Задача 2. Биссектриса внутреннего угла В треугольника АВС рассекает сторону АС на отрезки АК = 5, КС = 7. На каком расстоянии от вершин А и С пересечет продолжение АС биссектриса внешнего угла В ?

L

  • Дано: АВС BL – биссектриса ∠ АBF ВК - биссектриса ∠ АBС АК = 5, КС = 7
  • Найти: AL , CL
  • Решение:

A

K

C

B

F

х = 30

Пусть AL = х , тогда CL = x + 12

Ответ: AL = 30, CL = 42.

11

Задача 3. Дан Δ АВС , в котором угол В равен 30⁰, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D . Определите площадь треугольника ABD . В Дано: ∆  АВС, ∠ ABC = 30  ⁰   BD – биссектриса   АB = 4, BС = 6  Найти: S ABD  Решение: 4 6 А С D 3x 2x По свойству биссектрисы  Пусть AD = 2 х ; DC = З х .    S ABD =  AB ∙ AD ∙ sin A, S ABD = S ABC =  AB ∙ AC ∙ sin A, S ABC = S ABC =  AB ∙ BC ∙ sin B, S ABC =  ∙ 4∙ 6 ∙ sin 30⁰ =6  =   S ABD =  S ABC  = ∙ 6 = 2,4   Ответ: 2,4
  • Задача 3. Дан Δ АВС , в котором угол В равен 30⁰, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D . Определите площадь треугольника ABD .

В

  • Дано: АВС,ABC = 30BD – биссектриса АB = 4, = 6

Найти: S ABD

Решение:

4

6

А

С

D

3x

2x

  • По свойству биссектрисы
  • Пусть AD = 2 х ; DC = З х .

 

S ABD = AB ∙ AD ∙ sin A, S ABD =

S ABC = AB ∙ AC ∙ sin A, S ABC =

S ABC = AB ∙ BC ∙ sin B, S ABC = ∙ 4∙ 6 ∙ sin 30⁰ =6

=

 

S ABD = S ABC = ∙ 6 = 2,4

 

Ответ: 2,4

Биссектриса угла треугольника делит его площадь на части, пропорциональные прилежащим сторонам. В Дано:   Δ  ABC ; BD – биссектриса Доказать:   S ABD   : S BDC   = AB : BC Доказательство:      А С H D Δ ABD и   Δ DBC имеют общую высоту BH ,  S ABD  :  S BDC   = AD : DC . BD – биссектриса AD : DC = AB : BC . S ABD   : S BDC  = AD : DC    AD : DC = AB : BC  S ABD  : S BDC  = AB : BC
  • Биссектриса угла треугольника делит его площадь на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

В

  • Дано:   Δ ABC ; BD – биссектриса
  • Доказать:   S ABD   : S BDC   = AB : BC
  • Доказательство:

А

С

H

D

  • Δ ABD и  Δ DBC имеют общую высоту BH ,

S ABD  : S BDC   = AD : DC .

  • BD – биссектриса AD : DC = AB : BC .
  • S ABD   : S BDC  = AD : DC

AD : DC = AB : BC

S ABD  : S BDC  = AB : BC

Другое решение задачи 3. Дан Δ АВС , в котором угол В равен 30⁰, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D . Определите площадь треугольника ABD . В Дано: ∆  АВС, ∠ ABC = 30  ⁰   BD – биссектриса   АB = 4, BС = 6 Найти: S ABD Решение: 4 6 А С D S ABC =  AB ∙ BC ∙ sin B, S ABC =   S ABD   : S BDC   = AВ : ВC = 2 : 3 S ABD =  S ABC = ∙ 6 = 2,4 Ответ: 2,4
  • Другое решение задачи 3. Дан Δ АВС , в котором угол В равен 30⁰, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D . Определите площадь треугольника ABD .

В

  • Дано: АВС,ABC = 30BD – биссектриса АB = 4, = 6
  • Найти: S ABD
  • Решение:

4

6

А

С

D

  • S ABC = AB ∙ BC ∙ sin B, S ABC =

 

  • S ABD   : S BDC   = : ВC = 2 : 3 S ABD = S ABC = 6 = 2,4

Ответ: 2,4

Задача 4. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 12.   B Дано: Δ  АВС, BD и AL – биссектрисы  BD ∩ AL = O, BО : OD = 3 : 2, АС = 12  Найти: Р АВС  Решение: K L O   1. Из Δ ABD: C D А 2. Из Δ CBD: 3. + 4. Ответ: 30
  • Задача 4. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 12.

B

Дано: Δ АВС, BD и AL – биссектрисы

BDAL = O, BО : OD = 3 : 2, АС = 12

Найти: Р АВС

Решение:

K

L

O

1. Из Δ ABD:

C

D

А

2. Из Δ CBD:

3.

+

4.

Ответ: 30

Малоизвестные свойства биссектрисы треугольника http:// math4school.ru/treugolniki.html#spr704
  • Малоизвестные свойства биссектрисы треугольника

http:// math4school.ru/treugolniki.html#spr704

Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины. B с K N a O C D А b
  • Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.

B

с

K

N

a

O

C

D

А

b

Дано: ∆  АВС, AB = c , BC = a, AC =b, AN , BD, CK – биссектрисы Доказать: Доказательство: B с a K N O x C b - x А D b 1. Пусть DC = x . Тогда по свойству биссектрисы из Δ BCD и Δ ABD 2. Аналогично доказываются и другие утверждения.
  • Дано: АВС, AB = c , BC = a, AC =b, AN , BD, CK – биссектрисы
  • Доказать:
  • Доказательство:

B

с

a

K

N

O

x

C

b - x

А

D

b

1. Пусть DC = x . Тогда по свойству биссектрисы из Δ BCD и Δ ABD

2. Аналогично доказываются и другие утверждения.

Другое решение задачи 4. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 12.   B Дано: Δ  АВС, BD и AL – биссектрисы  BD ∩ AL = O, BО : OD = 3 : 2, АС = 12  Найти: Р АВС  Решение:  L О А С D Ответ: 30.
  • Другое решение задачи 4. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 12.

B

  • Дано: Δ АВС, BD и AL – биссектрисы

BDAL = O, BО : OD = 3 : 2, АС = 12

Найти: Р АВС

Решение:

L

О

А

С

D

Ответ: 30.

Задача 5. Биссектрисы BD и CE  ∆ ABC пересекаются в точке О . АВ =14, ВС =6, АС =10. Найдите ОD .   Дано: Δ  АВС, BD и CE – биссектрисы  BD ∩ CE = O, АB = 14, BC = 6, AC = 10  Найти: OD  Решение:  B 14 E 6 О 1. C A D 2. Из ∆ CBD: 10 3. По теореме косинусов из Δ  АВС:  из Δ  DВС:
  • Задача 5. Биссектрисы BD и CE ABC пересекаются в точке О . АВ =14, ВС =6, АС =10. Найдите ОD .
  • Дано: Δ АВС, BD и CE – биссектрисы

BDCE = O, АB = 14, BC = 6, AC = 10

Найти: OD

Решение:

B

14

E

6

О

1.

C

A

D

2. Из ∆ CBD:

10

3. По теореме косинусов из Δ АВС:

из Δ DВС:

Формула длины биссектрисы: В Дано:   Δ  ABC ; BD = l – биссектриса  AB = c , BC = a, AD = m, DC = n Доказать:   Доказательство:      с a l А С m n D 1. Из Δ ABD по теореме косинусов 2. Из Δ СBD по теореме косинусов 3. Разделим на ( а – с ), а  ≠ с
  • Формула длины биссектрисы:

В

  • Дано:   Δ ABC ; BD = l – биссектриса

AB = c , BC = a, AD = m, DC = n

  • Доказать:  
  • Доказательство:

с

a

l

А

С

m

n

D

1. Из Δ ABD по теореме косинусов

2. Из Δ СBD по теореме косинусов

3.

Разделим на ( ас ), ас

Задача 6. В равнобедренном треугольнике АBC с основанием BС проведена биссектриса ВE . Известно, что АЕ = 20 и СE = 10. Найдите BE. А Дано:Δ АВС, АВ = АС, BE – биссектриса, АЕ = 20, СЕ = 10 Найти: ВЕ Решение: Е Используя свойство биссектрисы  угла треугольника В С 2. Ответ: .
  • Задача 6. В равнобедренном треугольнике АBC с основанием проведена биссектриса ВE . Известно, что АЕ = 20 и СE = 10. Найдите BE.

А

Дано:Δ АВС, АВ = АС, BE – биссектриса, АЕ = 20, СЕ = 10

Найти: ВЕ

Решение:

Е

  • Используя свойство биссектрисы

угла треугольника

В

С

2.

Ответ: .

Формула длины биссектрисы В Дано:   Δ  ABC ; BD = l – биссектриса  AB = c , BC = a Доказать:    Доказательство:      с a l А С D  Биссектриса треугольника  равна произведению  среднего гармонического  прилежащих сторон  треугольника на косинус  половинного угла между ними.
  • Формула длины биссектрисы

В

  • Дано:   Δ ABC ; BD = l – биссектриса

AB = c , BC = a

  • Доказать:  

  • Доказательство:

с

a

l

А

С

D

Биссектриса треугольника

равна произведению

среднего гармонического

прилежащих сторон

треугольника на косинус

половинного угла между ними.

Задача 7. Определить площадь треугольника, если две его стороны равны 35 см и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см. В Дано:Δ АВС, BD – биссектриса, АB = 35, BC = 14, AD = 12 Найти : S АВС Решение:  А С D 1.  2.  3.  Ответ: 235,2
  • Задача 7. Определить площадь треугольника, если две его стороны равны 35 см и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см.

В

Дано:Δ АВС, BD – биссектриса, АB = 35, BC = 14, AD = 12

Найти : S АВС

Решение:

А

С

D

1.

2.

3.

Ответ: 235,2

Формула нахождения длин отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника   В Дано:   Δ  ABC ; BD – биссектриса  AB = c , BC = a, AC = b, AD = m,  DC = n Доказать:   , Доказательство:      с a А С m n D b 1. 2. Аналогично доказывается второе утверждение.
  • Формула нахождения длин отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника

В

  • Дано:   Δ ABC ; BD – биссектриса

AB = c , BC = a, AC = b, AD = m,

DC = n

  • Доказать:   ,
  • Доказательство:

с

a

А

С

m

n

D

b

1.

2. Аналогично доказывается второе утверждение.

Формула длины биссектрисы В Дано:   Δ  ABC ; BD = l – биссектриса  AB = c , BC = a, AC = b Доказать:   Доказательство:      с a l А С n m D b
  • Формула длины биссектрисы

В

  • Дано:   Δ ABC ; BD = l – биссектриса

AB = c , BC = a, AC = b

  • Доказать:  
  • Доказательство:

с

a

l

А

С

n

m

D

b

Формула длины биссектрисы В Дано:  Δ  ABC ; BD = l – биссектриса  AB = c , BC = a, AC = b  Доказать:     Доказательство:   с a l А С D b
  • Формула длины биссектрисы

В

  • Дано:  Δ ABC ; BD = l – биссектриса

AB = c , BC = a, AC = b

Доказать:  

Доказательство:

с

a

l

А

С

D

b

Другое решение задачи 5. Биссектрисы BD и CE  ∆ ABC пересекаются в точке О . АВ =14, ВС =6, АС =10. Найдите ОD .   Дано: Δ  АВС, BD и CE – биссектрисы  BD ∩ CE = O, АB = 14, BC = 6, AC = 10  Найти: OD  Решение:  B 14 E 6 О 1. C A 2. Воспользуемся формулой D 10 Ответ: .
  • Другое решение задачи 5. Биссектрисы BD и CE ABC пересекаются в точке О . АВ =14, ВС =6, АС =10. Найдите ОD .
  • Дано: Δ АВС, BD и CE – биссектрисы

BDCE = O, АB = 14, BC = 6, AC = 10

Найти: OD

Решение:

B

14

E

6

О

1.

C

A

2. Воспользуемся формулой

D

10

Ответ: .

Медиана треугольника
  • Медиана треугольника
Что мы знаем о медиане треугольника из школьного учебника?
  • Что мы знаем о медиане треугольника из школьного учебника?
Определение Медиана треугольника  – это отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны В А С D
  • Определение
  • Медиана треугольника  – это отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны

В

А

С

D

Свойства медианы В Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.  AO : OE = BD : OD = CO : OF = 2 : 1 Каждая медиана, проведенная в треугольнике делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с равными площадями), то есть  S ABD = S DBC F E О А С D В А С D
  • Свойства медианы

В

  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

AO : OE = BD : OD = CO : OF = 2 : 1

  • Каждая медиана, проведенная в треугольнике делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с равными площадями), то есть  S ABD = S DBC

F

E

О

А

С

D

В

А

С

D

Задача. Площадь треугольника АВС равна 198. Биссектриса AL пересекает медиану ВМ в точке К . Найдите площадь четырехугольника MCLK , если известно, что BL : CL = 7 : 4. В Дано:Δ АВС, АВ = АС, BМ – медиана,  АL – биссектриса, S ABC = 198  BM ∩ AL = K, BL : CL = 7 : 4 Найти: S MCLK Решение: L K А С M   1. По свойству медианы треугольника S ABM =S MBC = ∙ 198  = 99  2. По свойству биссектрисы треугольника  AB : AC = BL : CL = 7 : 4  AC = 2 AM 3. S ABL : S ALC =BL : CL = 7 : 4 S AKM = S ABM = 22    AB : AM = 7 : 2 S ALC =  S ABC = ∙ 198 = 72   4. S MCLK = S ALC – S AKM = 72 – 22 = 50    Ответ: 50
  • Задача. Площадь треугольника АВС равна 198. Биссектриса AL пересекает медиану ВМ в точке К . Найдите площадь четырехугольника MCLK , если известно, что BL : CL = 7 : 4.

В

Дано:Δ АВС, АВ = АС, BМ – медиана,

АL – биссектриса, S ABC = 198

BMAL = K, BL : CL = 7 : 4

Найти: S MCLK

Решение:

L

K

А

С

M

 

1. По свойству медианы треугольника S ABM =S MBC = 198 = 99

2. По свойству биссектрисы треугольника

AB : AC = BL : CL = 7 : 4

AC = 2 AM

3. S ABL : S ALC =BL : CL = 7 : 4

S AKM = S ABM = 22

 

AB : AM = 7 : 2

S ALC = S ABC = 198 = 72

 

4. S MCLK = S ALC – S AKM = 72 – 22 = 50

Ответ: 50

Малоизвестные свойства медианы треугольника
  • Малоизвестные свойства медианы треугольника
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.   В Дано: Δ  АВС, AE, BD, CF, – медианы Доказать: S АOF = S АOD = S BOF = S BOE = S COE = S COD  Доказательство:  F E О О А С 1. S АOD = S DOC , т.к. AD = DC и у этих треугольников общая высота, проведенная из вершины О . D Аналогично S AOF = S OFB, S BOE = S OEC   2. S АOD =  АO ∙ OD ∙ sin AOD = ∙ AE ∙ BD ∙ sin AOD =         =  ∙ AE ∙ BD ∙ sin AOD = OE ∙ OB ∙sin BOE = S BOE   sin BOE Аналогично получаем S AOF = S COE , S BOF = S COD.
  • Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

В

  • Дано: Δ АВС, AE, BD, CF, – медианы

Доказать:

S АOF = S АOD = S BOF = S BOE = S COE = S COD

Доказательство:

F

E

О

О

А

С

1. S АOD = S DOC , т.к. AD = DC и у этих треугольников общая высота, проведенная из вершины О .

D

Аналогично S AOF = S OFB, S BOE = S OEC

 

2. S АOD = АO ∙ OD ∙ sin AOD =

AE ∙ BD ∙ sin AOD =

 

 

 

 

= AE BD ∙ sin AOD =

OE ∙ OB ∙sin BOE = S BOE

 

sin BOE

Аналогично получаем S AOF = S COE , S BOF = S COD.

Задача 8.  В треугольнике ABC медианы CD и BE пересекаются в точке К. Найдите площадь четырехугольника ADKE, если BC = 20, AC = 12, а ∠ ACB =135 ⁰ .    Дано: Δ  АВС, BE, CD – медианы  BЕ ∩ CВ = К, ВС = 20, АC = 12, ∠ АСВ = 135 ⁰  Найти: S АDКЕ  Решение:  В D M K 1. Проведём медиану АМ. А С   2. S АВС = АС ∙ СВ ∙ sin ACB E  S АВС = ∙ 12 ∙ 20 ∙ sin 135⁰ =   3. S АDK = S АEK = S BDK = S BMK = S CMK = S CEK = S АВС = ∙   4. S АDKE = 2 S АEK = Ответ: .
  • Задача 8.  В треугольнике ABC медианы CD и BE пересекаются в точке К. Найдите площадь четырехугольника ADKE, если BC = 20, AC = 12, а ACB =135 ⁰ . 
  • Дано: Δ АВС, BE, CD – медианы

= К, ВС = 20, АC = 12,АСВ = 135

Найти: S АDКЕ

Решение:

В

D

M

K

1. Проведём медиану АМ.

А

С

 

2. S АВС = АС ∙ СВ ∙ sin ACB

E

S АВС = ∙ 12 ∙ 20 ∙ sin 135⁰ =

 

3. S АDK = S АEK = S BDK = S BMK = S CMK = S CEK = S АВС =

 

4. S АDKE = 2 S АEK =

Ответ: .

Задача 9 . Стороны треугольника равны 8, 9 и 13. К наибольшей стороне треугольника проведена медиана. Определите длину этой медиану треугольника.    В Дано: Δ  АВС, АВ = 8, ВС = 9, АC = 13, BD – медиана Найти: BD Решение:  a b d 2 Достроим Δ  АВС  до параллелограмма АВСЕ . А С d 1 D 2. Воспользуемся формулой  2( a 2 + b 2 )= d 1 2 + d 2 2 . Пусть  d 2 = х , 2( 8 2  + 9 2  ) = 13 2  + x 2  х = 11  Е   BD = ∙ 11 = 5,5   3 . BD = d 2 , Ответ : 5,5
  • Задача 9 . Стороны треугольника равны 8, 9 и 13. К наибольшей стороне треугольника проведена медиана. Определите длину этой медиану треугольника. 

В

  • Дано: Δ АВС, АВ = 8, ВС = 9, АC = 13, BD – медиана

Найти: BD

Решение:

a

b

d 2

  • Достроим Δ АВС

до параллелограмма АВСЕ .

А

С

d 1

D

2. Воспользуемся формулой

2( a 2 + b 2 )= d 1 2 + d 2 2 .

Пусть d 2 = х , 2( 8 2  + 9 2  ) = 13 2  + x 2

х = 11 

Е

 

BD = 11 = 5,5

 

3 . BD = d 2 ,

Ответ : 5,5

Формула длины медианы через три стороны . В Дано: Δ  АВС, AB = c, BC = a, AC = b, BD = m b – медиана Доказать: Доказательство:  с a m b π - α α А С D     Воспользуемся теоремой косинусов  для Δ  DВС и  Δ  АВD: 2. Сложим полученные равенства: http:// www.resolventa.ru/spr/planimetry/mediana.htm
  • Формула длины медианы через три стороны .

В

  • Дано: Δ АВС, AB = c, BC = a, AC = b, BD = m b – медиана

Доказать:

Доказательство:

с

a

m b

π - α

α

А

С

D

 

 

  • Воспользуемся теоремой косинусов

для Δ DВС и Δ АВD:

2. Сложим полученные равенства:

http:// www.resolventa.ru/spr/planimetry/mediana.htm

Другое решение задачи 9.  Стороны треугольника равны 8, 9 и 13. К наибольшей стороне треугольника проведена медиана. Определите длину этой медиану треугольника.     В Дано: Δ  АВС, АВ = 8, ВС = 9, АC = 13, BD – медиана Найти: BD Решение:  8 9 А С D 13 Ответ : 5,5

Другое решение задачи 9.  Стороны треугольника равны 8, 9 и 13. К наибольшей стороне треугольника проведена медиана. Определите длину этой медиану треугольника. 

В

  • Дано: Δ АВС, АВ = 8, ВС = 9, АC = 13, BD – медиана

Найти: BD

Решение:

8

9

А

С

D

13

Ответ : 5,5

Следствие. Длины медиан и длины сторон треугольника связаны формулой   В Дано: Δ  АВС, AB = c, BC = a, AC = b, AM = m a , BE = m b, CD = m c – медианы Доказать: Доказательство:  D M K А С E +
  • Следствие. Длины медиан и длины сторон треугольника связаны формулой

В

  • Дано: Δ АВС, AB = c, BC = a, AC = b, AM = m a , BE = m b, CD = m c – медианы

Доказать:

Доказательство:

D

M

K

А

С

E

+

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними В с Дано: Δ  АВС, AB = c, BC = a, AC = b, BD = m b – медиана, ∠ ABC = β  Доказать: Доказательство:  a m b А С D     Воспользуемся формулой и теоремой косинусов для стороны b
  • Формула длины медианы через две стороны и угол между ними

В

с

  • Дано: Δ АВС, AB = c, BC = a, AC = b, BD = m b – медиана, ∠ ABC = β Доказать:

Доказательство:

a

m b

А

С

D

 

 

Воспользуемся формулой

и теоремой косинусов для стороны b

 Задача 10. Две стороны треугольника равны 34 и 32, а медиана, проведенная к третьей, равна 17. Найдите площадь . Дано: Δ  АВС, АВ = 34, ВС = 32, BD = 17 – медиана Найти: S ABC  Решение:  В А С D Ответ : 480
  • Задача 10. Две стороны треугольника равны 34 и 32, а медиана, проведенная к третьей, равна 17. Найдите площадь .
  • Дано: Δ АВС, АВ = 34, ВС = 32, BD = 17 – медиана

Найти: S ABC

Решение:

В

А

С

D

Ответ : 480

Две стороны треугольника равны 6 и 8. Медианы, проведенные к серединам этих сторон, пересекаются под прямым углом.   Найти третью сторону треугольника. Периметр равнобедренного треугольника равен 16. Медиана, проведенная к боковой стороне, равна √17  . Найти стороны треугольника В треугольнике ABC точка K – середина медианы BM. Известно, что AB =7; BC = 5; AK = 6. Найти: CK.
  • Две стороны треугольника равны 6 и 8. Медианы, проведенные к серединам этих сторон, пересекаются под прямым углом.  Найти третью сторону треугольника.
  • Периметр равнобедренного треугольника равен 16. Медиана, проведенная к боковой стороне, равна √17 . Найти стороны треугольника
  • В треугольнике ABC точка K – середина медианы BM. Известно, что AB =7; BC = 5; AK = 6. Найти: CK.


Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!

Поделитесь с друзьями
ВКонтактеОдноклассникиTwitterМой МирLiveJournalGoogle PlusЯндекс