СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до 18.06.2025
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
В данной презентации рассматриваются свойства биссектрисы и медианы треугольника, которые не изучаются в школьном курсе геометрии, но с помощью которых можно решить задачи повышенного и высокого уровня сложности на экзамене в 9 и 11 классах
Автор:
Сидорова А.В.
учитель математики
МБОУ СОШ № 31
г. Мурманска
В
А
С
D
А
D
В
С
В
О
А
С
В
Е
F
А
С
D
∠ ACB + ∠ BCD = 180⁰
∠ FCB = ACB
∠ FCB + ∠ ECB = ACB + DCB =
= ( ACB + DCB ) = ∙ 180⁰ = 90⁰
∠ ECB = DCB
В треугольнике биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
В
А
С
D
К
BD – биссектриса
Доказать:
Доказательство:
В
А
С
D
1. Проведем СК параллельно BD.
2. - соответственные при секущей АК.
3. - накрест лежащие при секущей ВС.
4.
Δ КВС – р/б
ВК = ВС
5. По обобщенной теореме Фалеса
ВК = ВС
Дано: ∆ АВС AL – биссектриса ВН – высота ВС =4, BО : ОН =5:3 Найти: R .
В
4
L
О
А
С
Н
Решение:
По теореме синусов
По свойству биссектрисы треугольника
Из Δ АВН :
Ответ: R =2,5.
Биссектриса внешнего угла треугольника делит продолжение противоположной стороны на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
D
С
А
В
BD – биссектриса ∠ CBF
Доказать:
Доказательство:
D
С
A
K
B
F
1. Проведем СК параллельно BD.
2. - соответственные при секущей AF.
3. - накрест лежащие при секущей ВС.
4.
Δ КВС – р/б
ВК = ВС
5.
ВК = ВС
L
A
K
C
B
F
х = 30
Пусть AL = х , тогда CL = x + 12
Ответ: AL = 30, CL = 42.
11
В
Найти: S ABD
Решение:
4
6
А
С
D
3x
2x
S ABD = AB ∙ AD ∙ sin A, S ABD =
S ABC = AB ∙ AC ∙ sin A, S ABC =
S ABC = AB ∙ BC ∙ sin B, S ABC = ∙ 4∙ 6 ∙ sin 30⁰ =6
=
S ABD = S ABC = ∙ 6 = 2,4
Ответ: 2,4
В
А
С
H
D
S ABD : S BDC = AD : DC .
AD : DC = AB : BC
S ABD : S BDC = AB : BC
В
4
6
А
С
D
Ответ: 2,4
B
Дано: Δ АВС, BD и AL – биссектрисы
BD ∩ AL = O, BО : OD = 3 : 2, АС = 12
Найти: Р АВС
Решение:
K
L
O
1. Из Δ ABD:
C
D
А
2. Из Δ CBD:
3.
+
4.
Ответ: 30
http:// math4school.ru/treugolniki.html#spr704
B
с
K
N
a
O
C
D
А
b
B
с
a
K
N
O
x
C
b - x
А
D
b
1. Пусть DC = x . Тогда по свойству биссектрисы из Δ BCD и Δ ABD
2. Аналогично доказываются и другие утверждения.
B
BD ∩ AL = O, BО : OD = 3 : 2, АС = 12
Найти: Р АВС
Решение:
L
О
А
С
D
Ответ: 30.
BD ∩ CE = O, АB = 14, BC = 6, AC = 10
Найти: OD
Решение:
B
14
E
6
О
1.
C
A
D
2. Из ∆ CBD:
10
3. По теореме косинусов из Δ АВС:
из Δ DВС:
В
AB = c , BC = a, AD = m, DC = n
с
a
l
А
С
m
n
D
1. Из Δ ABD по теореме косинусов
2. Из Δ СBD по теореме косинусов
3.
Разделим на ( а – с ), а ≠ с
А
Дано:Δ АВС, АВ = АС, BE – биссектриса, АЕ = 20, СЕ = 10
Найти: ВЕ
Решение:
Е
угла треугольника
В
С
2.
Ответ: .
В
AB = c , BC = a
с
a
l
А
С
D
Биссектриса треугольника
равна произведению
среднего гармонического
прилежащих сторон
треугольника на косинус
половинного угла между ними.
В
Дано:Δ АВС, BD – биссектриса, АB = 35, BC = 14, AD = 12
Найти : S АВС
Решение:
А
С
D
1.
2.
3.
Ответ: 235,2
В
AB = c , BC = a, AC = b, AD = m,
DC = n
с
a
А
С
m
n
D
b
1.
2. Аналогично доказывается второе утверждение.
В
AB = c , BC = a, AC = b
с
a
l
А
С
n
m
D
b
В
AB = c , BC = a, AC = b
Доказать:
Доказательство:
с
a
l
А
С
D
b
BD ∩ CE = O, АB = 14, BC = 6, AC = 10
Найти: OD
Решение:
B
14
E
6
О
1.
C
A
2. Воспользуемся формулой
D
10
Ответ: .
В
А
С
D
В
AO : OE = BD : OD = CO : OF = 2 : 1
F
E
О
А
С
D
В
А
С
D
В
Дано:Δ АВС, АВ = АС, BМ – медиана,
АL – биссектриса, S ABC = 198
BM ∩ AL = K, BL : CL = 7 : 4
Найти: S MCLK
Решение:
L
K
А
С
M
1. По свойству медианы треугольника S ABM =S MBC = ∙ 198 = 99
2. По свойству биссектрисы треугольника
AB : AC = BL : CL = 7 : 4
AC = 2 AM
3. S ABL : S ALC =BL : CL = 7 : 4
S AKM = S ABM = 22
AB : AM = 7 : 2
S ALC = S ABC = ∙ 198 = 72
4. S MCLK = S ALC – S AKM = 72 – 22 = 50
Ответ: 50
В
Доказать:
S АOF = S АOD = S BOF = S BOE = S COE = S COD
Доказательство:
F
E
О
О
А
С
1. S АOD = S DOC , т.к. AD = DC и у этих треугольников общая высота, проведенная из вершины О .
D
Аналогично S AOF = S OFB, S BOE = S OEC
2. S АOD = АO ∙ OD ∙ sin AOD =
∙ AE ∙ BD ∙ sin AOD =
= ∙ AE ∙ BD ∙ sin AOD =
OE ∙ OB ∙sin BOE = S BOE
sin BOE
Аналогично получаем S AOF = S COE , S BOF = S COD.
BЕ ∩ CВ = К, ВС = 20, АC = 12, ∠ АСВ = 135 ⁰
Найти: S АDКЕ
Решение:
В
D
M
K
1. Проведём медиану АМ.
А
С
2. S АВС = АС ∙ СВ ∙ sin ACB
E
S АВС = ∙ 12 ∙ 20 ∙ sin 135⁰ =
3. S АDK = S АEK = S BDK = S BMK = S CMK = S CEK = S АВС = ∙
4. S АDKE = 2 S АEK =
Ответ: .
В
Найти: BD
Решение:
a
b
d 2
до параллелограмма АВСЕ .
А
С
d 1
D
2. Воспользуемся формулой
2( a 2 + b 2 )= d 1 2 + d 2 2 .
Пусть d 2 = х , 2( 8 2 + 9 2 ) = 13 2 + x 2
х = 11
Е
BD = ∙ 11 = 5,5
3 . BD = d 2 ,
Ответ : 5,5
В
Доказать:
Доказательство:
с
a
m b
π - α
α
А
С
D
для Δ DВС и Δ АВD:
2. Сложим полученные равенства:
http:// www.resolventa.ru/spr/planimetry/mediana.htm
Другое решение задачи 9. Стороны треугольника равны 8, 9 и 13. К наибольшей стороне треугольника проведена медиана. Определите длину этой медиану треугольника.
В
Найти: BD
Решение:
8
9
А
С
D
13
Ответ : 5,5
В
Доказать:
Доказательство:
D
M
K
А
С
E
+
В
с
Доказательство:
a
m b
А
С
D
Воспользуемся формулой
и теоремой косинусов для стороны b
Найти: S ABC
Решение:
В
А
С
D
Ответ : 480
© 2017, Сидорова Анна Викторовна 17839 287