Россия, Мурманск
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до 18.06.2025
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 02.05.2025 21:05
Сидорова Анна Викторовна
Учитель математики
11 752
3 352 
Местоположение
Специализация
Свойства биссектрисы и медианы треугольника
Категория:
Математика
29.05.2017 22:42
Просмотр содержимого документа
«Свойства биссектрисы и медианы треугольника»
- Свойства биссектрисы и медианы треугольника
Автор:
Сидорова А.В.
учитель математики
МБОУ СОШ № 31
г. Мурманска
- Что мы знаем о биссектрисе треугольника из школьного учебника?
- Определение
- Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы внутреннего угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.
В
А
С
D
- Свойства биссектрисы
А
D
- Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
- Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности.
В
С
В
О
А
С
- Биссектриса внешнего угла треугольника перпендикулярна биссектрисе смежного с ним внутреннего угла.
В
Е
- Дано: ∆ ABC , ∠ BСD — внешний угол при вершине C , CE — биссектриса ∠ BCD , CF — биссектриса ∠ ACB . Доказать: ∠ FCE =90º. Доказательство:
F
А
С
D
∠ ACB + ∠ BCD = 180⁰
∠ FCB = ACB
∠ FCB + ∠ ECB = ACB + DCB =
= ( ACB + DCB ) = ∙ 180⁰ = 90⁰
∠ ECB = DCB
- Свойство биссектрисы треугольника
В треугольнике биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
В
А
С
D
К
- Дано: Δ АВС
BD – биссектриса
Доказать:
Доказательство:
В
А
С
D
1. Проведем СК параллельно BD.
2. - соответственные при секущей АК.
3. - накрест лежащие при секущей ВС.
4.
Δ КВС – р/б
ВК = ВС
5. По обобщенной теореме Фалеса
ВК = ВС
- Задача 1. В треугольнике АВС биссектриса AL и высота ВН пересекаются в точке О . Найти радиус описанной вокруг треугольника АВС окружности, если известно, что ВС =4, а ВО : ОН =5:3.
Дано: ∆ АВС AL – биссектриса ВН – высота ВС =4, BО : ОН =5:3 Найти: R .
В
4
L
О
А
С
Н
Решение:
По теореме синусов
По свойству биссектрисы треугольника
Из Δ АВН :
Ответ: R =2,5.
- Свойство биссектрисы внешнего угла треугольника
Биссектриса внешнего угла треугольника делит продолжение противоположной стороны на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
D
С
А
В
- Дано: Δ АВС
BD – биссектриса ∠ CBF
Доказать:
Доказательство:
D
С
A
K
B
F
1. Проведем СК параллельно BD.
2. - соответственные при секущей AF.
3. - накрест лежащие при секущей ВС.
4.
Δ КВС – р/б
ВК = ВС
5.
ВК = ВС
- Задача 2. Биссектриса внутреннего угла В треугольника АВС рассекает сторону АС на отрезки АК = 5, КС = 7. На каком расстоянии от вершин А и С пересечет продолжение АС биссектриса внешнего угла В ?
L
- Дано: ∆ АВС BL – биссектриса ∠ АBF ВК - биссектриса ∠ АBС АК = 5, КС = 7
- Найти: AL , CL
- Решение:
A
K
C
B
F
х = 30
Пусть AL = х , тогда CL = x + 12
Ответ: AL = 30, CL = 42.
11
- Задача 3. Дан Δ АВС , в котором угол В равен 30⁰, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D . Определите площадь треугольника ABD .
В
- Дано: ∆ АВС, ∠ ABC = 30 ⁰ BD – биссектриса АB = 4, BС = 6
Найти: S ABD
Решение:
4
6
А
С
D
3x
2x
- По свойству биссектрисы
- Пусть AD = 2 х ; DC = З х .
S ABD = AB ∙ AD ∙ sin A, S ABD =
S ABC = AB ∙ AC ∙ sin A, S ABC =
S ABC = AB ∙ BC ∙ sin B, S ABC = ∙ 4∙ 6 ∙ sin 30⁰ =6
=
S ABD = S ABC = ∙ 6 = 2,4
Ответ: 2,4
- Биссектриса угла треугольника делит его площадь на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
В
- Дано: Δ ABC ; BD – биссектриса
- Доказать: S ABD : S BDC = AB : BC
- Доказательство:
А
С
H
D
- Δ ABD и Δ DBC имеют общую высоту BH ,
S ABD : S BDC = AD : DC .
- BD – биссектриса AD : DC = AB : BC .
- S ABD : S BDC = AD : DC
AD : DC = AB : BC
S ABD : S BDC = AB : BC
- Другое решение задачи 3. Дан Δ АВС , в котором угол В равен 30⁰, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D . Определите площадь треугольника ABD .
В
- Дано: ∆ АВС, ∠ ABC = 30 ⁰ BD – биссектриса АB = 4, BС = 6
- Найти: S ABD
- Решение:
4
6
А
С
D
- S ABC = AB ∙ BC ∙ sin B, S ABC =
- S ABD : S BDC = AВ : ВC = 2 : 3 S ABD = S ABC = ∙ 6 = 2,4
Ответ: 2,4
- Задача 4. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 12.
B
Дано: Δ АВС, BD и AL – биссектрисы
BD ∩ AL = O, BО : OD = 3 : 2, АС = 12
Найти: Р АВС
Решение:
K
L
O
1. Из Δ ABD:
C
D
А
2. Из Δ CBD:
3.
+
4.
Ответ: 30
- Малоизвестные свойства биссектрисы треугольника
http:// math4school.ru/treugolniki.html#spr704
- Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
B
с
K
N
a
O
C
D
А
b
- Дано: ∆ АВС, AB = c , BC = a, AC =b, AN , BD, CK – биссектрисы
- Доказать:
- Доказательство:
B
с
a
K
N
O
x
C
b - x
А
D
b
1. Пусть DC = x . Тогда по свойству биссектрисы из Δ BCD и Δ ABD
2. Аналогично доказываются и другие утверждения.
- Другое решение задачи 4. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 12.
B
- Дано: Δ АВС, BD и AL – биссектрисы
BD ∩ AL = O, BО : OD = 3 : 2, АС = 12
Найти: Р АВС
Решение:
L
О
А
С
D
Ответ: 30.
- Задача 5. Биссектрисы BD и CE ∆ ABC пересекаются в точке О . АВ =14, ВС =6, АС =10. Найдите ОD .
- Дано: Δ АВС, BD и CE – биссектрисы
BD ∩ CE = O, АB = 14, BC = 6, AC = 10
Найти: OD
Решение:
B
14
E
6
О
1.
C
A
D
2. Из ∆ CBD:
10
3. По теореме косинусов из Δ АВС:
из Δ DВС:
- Формула длины биссектрисы:
В
- Дано: Δ ABC ; BD = l – биссектриса
AB = c , BC = a, AD = m, DC = n
- Доказать:
- Доказательство:
с
a
l
А
С
m
n
D
1. Из Δ ABD по теореме косинусов
2. Из Δ СBD по теореме косинусов
3.
Разделим на ( а – с ), а ≠ с
- Задача 6. В равнобедренном треугольнике АBC с основанием BС проведена биссектриса ВE . Известно, что АЕ = 20 и СE = 10. Найдите BE.
А
Дано:Δ АВС, АВ = АС, BE – биссектриса, АЕ = 20, СЕ = 10
Найти: ВЕ
Решение:
Е
- Используя свойство биссектрисы
угла треугольника
В
С
2.
Ответ: .
- Формула длины биссектрисы
В
- Дано: Δ ABC ; BD = l – биссектриса
AB = c , BC = a
- Доказать:
- Доказательство:
с
a
l
А
С
D
Биссектриса треугольника
равна произведению
среднего гармонического
прилежащих сторон
треугольника на косинус
половинного угла между ними.
- Задача 7. Определить площадь треугольника, если две его стороны равны 35 см и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см.
В
Дано:Δ АВС, BD – биссектриса, АB = 35, BC = 14, AD = 12
Найти : S АВС
Решение:
А
С
D
1.
2.
3.
Ответ: 235,2
- Формула нахождения длин отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника
В
- Дано: Δ ABC ; BD – биссектриса
AB = c , BC = a, AC = b, AD = m,
DC = n
- Доказать: ,
- Доказательство:
с
a
А
С
m
n
D
b
1.
2. Аналогично доказывается второе утверждение.
- Формула длины биссектрисы
В
- Дано: Δ ABC ; BD = l – биссектриса
AB = c , BC = a, AC = b
- Доказать:
- Доказательство:
с
a
l
А
С
n
m
D
b
- Формула длины биссектрисы
В
- Дано: Δ ABC ; BD = l – биссектриса
AB = c , BC = a, AC = b
Доказать:
Доказательство:
с
a
l
А
С
D
b
- Другое решение задачи 5. Биссектрисы BD и CE ∆ ABC пересекаются в точке О . АВ =14, ВС =6, АС =10. Найдите ОD .
- Дано: Δ АВС, BD и CE – биссектрисы
BD ∩ CE = O, АB = 14, BC = 6, AC = 10
Найти: OD
Решение:
B
14
E
6
О
1.
C
A
2. Воспользуемся формулой
D
10
Ответ: .
- Медиана треугольника
- Что мы знаем о медиане треугольника из школьного учебника?
- Определение
- Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны
В
А
С
D
- Свойства медианы
В
- Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.
AO : OE = BD : OD = CO : OF = 2 : 1
- Каждая медиана, проведенная в треугольнике делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с равными площадями), то есть S ABD = S DBC
F
E
О
А
С
D
В
А
С
D
- Задача. Площадь треугольника АВС равна 198. Биссектриса AL пересекает медиану ВМ в точке К . Найдите площадь четырехугольника MCLK , если известно, что BL : CL = 7 : 4.
В
Дано:Δ АВС, АВ = АС, BМ – медиана,
АL – биссектриса, S ABC = 198
BM ∩ AL = K, BL : CL = 7 : 4
Найти: S MCLK
Решение:
L
K
А
С
M
1. По свойству медианы треугольника S ABM =S MBC = ∙ 198 = 99
2. По свойству биссектрисы треугольника
AB : AC = BL : CL = 7 : 4
AC = 2 AM
3. S ABL : S ALC =BL : CL = 7 : 4
S AKM = S ABM = 22
AB : AM = 7 : 2
S ALC = S ABC = ∙ 198 = 72
4. S MCLK = S ALC – S AKM = 72 – 22 = 50
Ответ: 50
- Малоизвестные свойства медианы треугольника
- Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
В
- Дано: Δ АВС, AE, BD, CF, – медианы
Доказать:
S АOF = S АOD = S BOF = S BOE = S COE = S COD
Доказательство:
F
E
О
О
А
С
1. S АOD = S DOC , т.к. AD = DC и у этих треугольников общая высота, проведенная из вершины О .
D
Аналогично S AOF = S OFB, S BOE = S OEC
2. S АOD = АO ∙ OD ∙ sin AOD =
∙ AE ∙ BD ∙ sin AOD =
= ∙ AE ∙ BD ∙ sin AOD =
OE ∙ OB ∙sin BOE = S BOE
sin BOE
Аналогично получаем S AOF = S COE , S BOF = S COD.
- Задача 8. В треугольнике ABC медианы CD и BE пересекаются в точке К. Найдите площадь четырехугольника ADKE, если BC = 20, AC = 12, а ∠ ACB =135 ⁰ .
- Дано: Δ АВС, BE, CD – медианы
BЕ ∩ CВ = К, ВС = 20, АC = 12, ∠ АСВ = 135 ⁰
Найти: S АDКЕ
Решение:
В
D
M
K
1. Проведём медиану АМ.
А
С
2. S АВС = АС ∙ СВ ∙ sin ACB
E
S АВС = ∙ 12 ∙ 20 ∙ sin 135⁰ =
3. S АDK = S АEK = S BDK = S BMK = S CMK = S CEK = S АВС = ∙
4. S АDKE = 2 S АEK =
Ответ: .
- Задача 9 . Стороны треугольника равны 8, 9 и 13. К наибольшей стороне треугольника проведена медиана. Определите длину этой медиану треугольника.
В
- Дано: Δ АВС, АВ = 8, ВС = 9, АC = 13, BD – медиана
Найти: BD
Решение:
a
b
d 2
- Достроим Δ АВС
до параллелограмма АВСЕ .
А
С
d 1
D
2. Воспользуемся формулой
2( a 2 + b 2 )= d 1 2 + d 2 2 .
Пусть d 2 = х , 2( 8 2 + 9 2 ) = 13 2 + x 2
х = 11
Е
BD = ∙ 11 = 5,5
3 . BD = d 2 ,
Ответ : 5,5
- Формула длины медианы через три стороны .
В
- Дано: Δ АВС, AB = c, BC = a, AC = b, BD = m b – медиана
Доказать:
Доказательство:
с
a
m b
π - α
α
А
С
D
- Воспользуемся теоремой косинусов
для Δ DВС и Δ АВD:
2. Сложим полученные равенства:
http:// www.resolventa.ru/spr/planimetry/mediana.htm
Другое решение задачи 9. Стороны треугольника равны 8, 9 и 13. К наибольшей стороне треугольника проведена медиана. Определите длину этой медиану треугольника.
В
- Дано: Δ АВС, АВ = 8, ВС = 9, АC = 13, BD – медиана
Найти: BD
Решение:
8
9
А
С
D
13
Ответ : 5,5
- Следствие. Длины медиан и длины сторон треугольника связаны формулой
В
- Дано: Δ АВС, AB = c, BC = a, AC = b, AM = m a , BE = m b, CD = m c – медианы
Доказать:
Доказательство:
D
M
K
А
С
E
+
- Формула длины медианы через две стороны и угол между ними
В
с
- Дано: Δ АВС, AB = c, BC = a, AC = b, BD = m b – медиана, ∠ ABC = β Доказать:
Доказательство:
a
m b
А
С
D
Воспользуемся формулой
и теоремой косинусов для стороны b
- Задача 10. Две стороны треугольника равны 34 и 32, а медиана, проведенная к третьей, равна 17. Найдите площадь .
- Дано: Δ АВС, АВ = 34, ВС = 32, BD = 17 – медиана
Найти: S ABC
Решение:
В
А
С
D
Ответ : 480
- Две стороны треугольника равны 6 и 8. Медианы, проведенные к серединам этих сторон, пересекаются под прямым углом. Найти третью сторону треугольника.
- Периметр равнобедренного треугольника равен 16. Медиана, проведенная к боковой стороне, равна √17 . Найти стороны треугольника
- В треугольнике ABC точка K – середина медианы BM. Известно, что AB =7; BC = 5; AK = 6. Найти: CK.
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
