Свойства функции

Что такое функция.

Определение. Соответствия, при которых каждому элементу одного множества сопоставляется единственный элемент другого множества называются функциями.

Пишут: у = f(x), x Є X.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом.

Множество всех допустимых значений независимой переменной является областью определения функции и обозначается D(y).

Переменную у – зависимой переменной .

Множество всех значений зависимой переменной является областью значений функции и обозначается Е(у ).

Способы задания функции

Существуют 4 способа задания функции.

1.Табличный способ. Удобен тем, что позволяет найти значения функции имеющихся в таблице значений аргумента без вычислений.

Х

2

У

4

3

4

6

5

8

10

2.Аналитический способ. Функция задается одной или несколькими формулами. Этот способ незаменим для исследования функции, установления ее свойств.

У=2х+5, у= х² -5х+1, у= |х+5|.

3. Графический способ . Функция задается своей геометрической моделью на координатной плоскости.

4. Описательный способ . Удобно использовать тогда, когда задание другими способами затруднительно.

§3

Свойства

функции

четность

нечетность

Монотонность:

непрерывность

Возрастание;

убывание

выпуклость

нули функции

( значения аргумента,

в которых значение

Функции равно нулю)

Наибольшее и

наименьшее

значения

функции

периодичность

Промежутки

знакопостоянства

(промежутки, в которых функция

принимает только положительные

или только отрицательные значения)

Экстремумы:

точка максимума,

точка минимума

Линейная функция.

О. Функция вида y=kx+b называется линейной.

Т. Графиком линейной функции y=kx+b, при k ≠0 является прямая, пересекающая

ось ординат в точке (0; b), ось абсцисс в точке (-b/ k; 0)

k0 k=0

D(f) = R

E(f) = R

• О. Функция вида у=к/х, где к ≠0, называется обратной пропорциональностью.
• График обратной пропорциональности (гипербола) получается из графика функции у=1/х с помощью растяжения (а при к

• D(f) = (-∞;0) U (0;+∞)
• E(f) = (-∞;0) U (0;+∞)

Степенная функция с целым показателем .

О. Функция вида у=х ⁿ , где n- натуральное число, называется степенной .

О. График степенной функции с показателем n называется параболой степени n.

n- четное число n- нечетное число

D(f) = (-∞;∞) D(f) = (-∞;∞)

E(f) = [0;∞) E(f) = (-∞;∞)

Функция у = ах² +вх+с

О.Функцией «корень n степени» называется функция вида

Т. Графики функций и у = хⁿ симметричны относительно прямой у = х

D(f) = (-∞;∞) E(f) = (-∞;∞)

Функция у = |х|

у= |х |= х, если х≥0

-х, если х Функция задается кусочно.

х

Т. Область определения функции

D( y)= (-∞; + ∞)

Множество значений функции

Е(у)= [0; + ∞)

Т. Функция у = |х | убывает

при х Є(-∞; 0]

возрастает при х Є [0; + ∞)

0. О. График дробно-линейной функции- гипербола , получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига. " width="640"

Дробно-линейная функция

О. Функция вида называется дробно-линейной , где с 0.

О. График дробно-линейной функции- гипербола , получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига.

Нахождение области определения функции

1.

2.

3.

Функция задана графиком. Укажите область определения.

Ответ:

X Є [-1;8]

Ответ:

X Є [1;5]

Множество значений функции

• у= 2sin ²x-cos2x

Решение: 2sin²x-cos2x=2sin²x-(1-2sin²x)=4sin²x-1

0 ≤ Sin²x ≤ 1, -1 ≤ 4sin²x-1 ≤ 3

Ответ: -1 ≤ у ≤ 3

• у = 1 - 2 |cosx|

Решение: -1 ≤ cosx ≤ 1 , 0 ≤ |cosx| ≤ 1 , -1 ≤ 1 - 2 |cosx| ≤ 1 ≤ 1

Ответ: -1 ≤ у ≤ 1

3.Функция задана графиком. Укажите множество значений этой функции.

E(f)=(-2;2] E(f)= [-3;1] E(f)= (-∞;4]

Решение неравенств

На рисунке изображены графики функций y= f (x) и y= g (x), заданных на промежутке. Укажите те значения х, для которых выполняется неравенство f(x) ≤ g(x)

Ответ: f(x)≤ g(x) на отрезке [-3;2]

На рисунке изображен график функции у =f(x), заданной на отрезке [-4;7]. Укажите те значения х, для которых выполняется неравенство f(x)≤-2

Ответ: [0; 2]

Какие из данных линий являются функцией?