Свойства и графики тригонометрических функций

Методическое пособие для студентов

(Краткий курс лекций)

«Свойства тригонометрических функций.

Графики тригонометрических функций и их свойства»

Рассмотрено на заседании ПЦК

физико-математических дисциплин

Протокол № ____ от «____» ____________ 20___ г.

Председатель ЦК Л.А. Кувшинова_____________

Разработал преподаватель математики

Е.Н. Лебедева ______________________________

г. Электросталь 2022 г.

Пояснительная записка

Настоящее пособие предназначено для студентов как дневных, так и заочных отделений колледжа, а также может быть использовано для самостоятельного изучения темы, овладения способами и методами решения задач в объеме действующей программы по математике для средних профессиональных учебных заведений.

Целью и основными задачами данной разработки являются пополнение знаний студентов основами математических знаний, умений и навыков в объеме, необходимом для их повседневной практической деятельности, для дальнейшей учебы и работы по специальности, для усвоения общетехнических и специальных предметов, а также для дальнейшего повышения квалификации путем самообразования, обеспечение выпускнику конкурентоспособности на рынке труда.

Процесс изучения графиков тригонометрических функций и их свойств способствует развитию таких мыслительных операций, как анализ, синтез, обобщение. Знание рациональных приемов построения графиков необходимо будущему специалисту среднего специального звена.

Пособие содержит программный материал. В данном пособии весь теоретический материал изложен кратко и, поэтому доступен для большинства учащихся. Это способствует решению важной педагогической задачи – научить работать с источником.

В работе представлены теоретические сведения, необходимые для усвоения материала и решения задач.

Особенностью представленного пособия является усиление роли самостоятельной работы студентов.

Изучив, данное пособие студент должен уметь обобщать полученные знания, строить графики тригонометрических функций и описывать их свойства.

Свойства тригонометрических функций

Четность и нечетность функций

Определение. Функция называется чётной, если для всех допустимых значений аргумента выполняется тождество

Определение. Функция называется нечётной, если для всех допустимых значений аргумента выполняется тождество

При построении графиков четных и нечетных функций удобно пользоваться следующими свойствами:

1. График четной функции симметричен относительно оси

2. График нечетной функции симметричен относительно начала координат, т.е. относительно точки

Рассмотрим вопрос о чётности и нечётности тригонометрических функций.

П ри повороте на угол радиуса вокруг точки точка переходит в точку , а на угол – в точку . Соединим точки и отрезком. Получим равнобедренный треугольник . Тогда – медиана и, следовательно точки и симметричны относительно оси .

Если , то и, следовательно

Вывод: Функция является чётной,

функции , и являются нечётными.

Периодичность функций

Функция называется периодической с периодом , если для каждой точки из её области определения точки также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство

Для периодической функции справедливо также равенство

где n – любое целое число.

Для построения периодических функций с периодом достаточно провести построение на отрезке длинной и затем перенести полученный график вдоль оси вправо и влево на расстояние .

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Теорема .1 Главный (наименьший) период функций и равен .

Теорема 2. Главный (наименьший) период функций и равен .

Графики тригонометрических функций и их свойства

График функции

График функции называется синусоидой. Отрезок оси ординат иногда называют линия синусов.

Построим график функции синус на отрезке . Отметим на оси ординат точки и , а на оси абсцисс точку с абсциссой . Слева нарисуем единичную окружность.

Теперь разделим единичную окружность и отрезок на 16 равных частей и воспользуемся определением синуса для построения ее графика. Отметим точку на единичной окружности и проведем через нее линию, параллельную оси абсцисс. Точка пересечения этой линии с прямой и есть искомая точка графика функции синуса. Ее ордината совпадает с ординатой точки , а функция по определению и есть ордината точки .

Для продолжения графика по оси дальше, чем точка , необходимо воспользоваться свойством периодичности функции : , где – целое число. Таким образом, график синуса на всей числовой прямой получается путем параллельного переноса его части на отрезке вдоль оси на , и т.д.

Свойства:

3°. Функция нечётная, т.к. т.е. график симметричен относительно начала координат,

Функция периодическая с

Интервалы монотонности:

функция возрастает при

функция убывает при

. Промежутки знакопостоянства:

при

при

Наибольшее и наименьшее значение функции:

при ,

при

Точки пересечения с осями координат:

c осью

с осью

График функции

График функции называется косинусоида. Чаще график функции косинуса так же называется синусоидой.

Для построения графика функции воспользуемся формулой приведения: . Следовательно, график функции косинуса получается из графика синуса путем его параллельного переноса на в отрицательном направлении оси абсцисс.

Свойства:

3°. Функция чётная, т.к. т.е. график симметричен относительно оси ,

Функция периодическая с

Интервалы монотонности:

Функция возрастает при

функция убывает при

. Промежутки знакопостоянства:

при

при

Наибольшее и наименьшее значение функции:

при ,

при

Точки пересечения с осями координат:

c осью

с осью

График функции

График функции называется тангенсоида.

Построение графика на интервале аналогичен построению, описанному в случае синуса. (Значение функции находят с помощью линии тангенса).

Из рисунка видно, что в точках и функция не определена, следовательно в этих точках проходят асимптоты графика.

Определение. Асимптота – прямая, к которой неограниченно приближается точка некоторой кривой по мере того, как она удаляется в бесконечность.

И спользуя периодичность, построить график функции на всей области определения.

Свойства:

3°. Функция нечётная, т.к. т.е. график симметричен относительно начала координат,

Функция периодическая с т.е.

Интервалы монотонности:

Функция возрастает при

. Промежутки знакопостоянства:

при

при

Наибольшего и наименьшего значения функция не имеет,

Асимптоты: вертикальная асимптота,

Точки пересечения с осями координат:

с осью

с осью

График функции

График функции называется котангенсоида.

Свойства:

3°. Функция нечётная, т.к. т.е. график симметричен относительно начала координат,

Функция периодическая с т.е.

Интервалы монотонности:

Функция убывает при

. Промежутки знакопостоянства:

при

при

Наибольшего и наименьшего значения функция не имеет,

Асимптоты: вертикальная асимптота,

Точки пересечения с осями координат:

с осью

с осью нет.

Рекомендуемая литература

Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов – М.: Дрофа, 2015.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер. – СПб.: Петроглиф, 2017.