МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное АВТОНОМНОЕ образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» |
Московский областной политехнический колледж – филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» (МОПК НИЯУ МИФИ) |
Методическое пособие для студентов
(Краткий курс лекций)
«Свойства тригонометрических функций.
Графики тригонометрических функций и их свойства»
Рассмотрено на заседании ПЦК
физико-математических дисциплин
Протокол № ____ от «____» ____________ 20___ г.
Председатель ЦК Л.А. Кувшинова_____________
Разработал преподаватель математики
Е.Н. Лебедева ______________________________
г. Электросталь 2022 г.
Пояснительная записка
Настоящее пособие предназначено для студентов как дневных, так и заочных отделений колледжа, а также может быть использовано для самостоятельного изучения темы, овладения способами и методами решения задач в объеме действующей программы по математике для средних профессиональных учебных заведений.
Целью и основными задачами данной разработки являются пополнение знаний студентов основами математических знаний, умений и навыков в объеме, необходимом для их повседневной практической деятельности, для дальнейшей учебы и работы по специальности, для усвоения общетехнических и специальных предметов, а также для дальнейшего повышения квалификации путем самообразования, обеспечение выпускнику конкурентоспособности на рынке труда.
Процесс изучения графиков тригонометрических функций и их свойств способствует развитию таких мыслительных операций, как анализ, синтез, обобщение. Знание рациональных приемов построения графиков необходимо будущему специалисту среднего специального звена.
Пособие содержит программный материал. В данном пособии весь теоретический материал изложен кратко и, поэтому доступен для большинства учащихся. Это способствует решению важной педагогической задачи – научить работать с источником.
В работе представлены теоретические сведения, необходимые для усвоения материала и решения задач.
Особенностью представленного пособия является усиление роли самостоятельной работы студентов.
Изучив, данное пособие студент должен уметь обобщать полученные знания, строить графики тригонометрических функций
и описывать их свойства.
Свойства тригонометрических функций
Четность и нечетность функций
Определение. Функция
называется чётной, если для всех допустимых значений аргумента выполняется тождество
Определение. Функция
называется нечётной, если для всех допустимых значений аргумента выполняется тождество
При построении графиков четных и нечетных функций удобно пользоваться следующими свойствами:
-
График четной функции симметричен относительно оси
-
График нечетной функции симметричен относительно начала координат, т.е. относительно точки
Рассмотрим вопрос о чётности и нечётности тригонометрических функций.
П
ри повороте на угол
радиуса
вокруг точки
точка
переходит в точку
, а на угол
– в точку
. Соединим точки
и
отрезком. Получим равнобедренный треугольник
. Тогда
– медиана и, следовательно точки
и
симметричны относительно оси
.
Если
, то
и, следовательно
Вывод: Функция
является чётной,
функции
,
и
являются нечётными.
Периодичность функций
Функция
называется периодической с периодом
, если для каждой точки
из её области определения точки
также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство
Для периодической функции справедливо также равенство
где n – любое целое число.
Для построения периодических функций с периодом
достаточно провести построение на отрезке длинной
и затем перенести полученный график вдоль оси
вправо и влево на расстояние
.
Все тригонометрические функции являются периодическими.
Теорема .1 Главный (наименьший) период функций
и
равен
.
Теорема 2. Главный (наименьший) период функций
и
равен
.
Графики тригонометрических функций и их свойства
График функции
График функции называется синусоидой. Отрезок оси ординат
иногда называют линия синусов.
Построим график функции синус на отрезке
. Отметим на оси ординат точки
и
, а на оси абсцисс точку с абсциссой
. Слева нарисуем единичную окружность.
Теперь разделим единичную окружность и отрезок
на 16 равных частей и воспользуемся определением синуса для построения ее графика. Отметим точку
на единичной окружности и проведем через нее линию, параллельную оси абсцисс. Точка пересечения этой линии с прямой
и есть искомая точка графика функции синуса. Ее ордината совпадает с ординатой точки
, а функция
по определению и есть ордината точки
.
Для продолжения графика по оси
дальше, чем точка
, необходимо воспользоваться свойством периодичности функции
:
, где
– целое число. Таким образом, график синуса на всей числовой прямой получается путем параллельного переноса его части на отрезке
вдоль оси
на
, и т.д.
Свойства:
3°. Функция нечётная, т.к.
т.е. график симметричен относительно начала координат,
Функция периодическая с
Интервалы монотонности:
функция возрастает при
функция убывает при
. Промежутки знакопостоянства:
при
при
Наибольшее и наименьшее значение функции:
при
,
при
Точки пересечения с осями координат:
c осью
с осью
График функции
График функции называется косинусоида. Чаще график функции косинуса так же называется синусоидой.
Для построения графика функции
воспользуемся формулой приведения:
. Следовательно, график функции косинуса получается из графика синуса путем его параллельного переноса на
в отрицательном направлении оси абсцисс.
Свойства:
3°. Функция чётная, т.к.
т.е. график симметричен относительно оси
,
Функция периодическая с
Интервалы монотонности:
Функция возрастает при
функция убывает при
. Промежутки знакопостоянства:
при
при
Наибольшее и наименьшее значение функции:
при
,
при
Точки пересечения с осями координат:
c осью
с осью
График функции
График функции называется тангенсоида.
Построение графика
на интервале
аналогичен построению, описанному в случае синуса. (Значение функции
находят с помощью линии тангенса).
Из рисунка видно, что в точках
и
функция
не определена, следовательно в этих точках проходят асимптоты графика.
Определение. Асимптота – прямая, к которой неограниченно приближается точка некоторой кривой по мере того, как она удаляется в бесконечность.
И
спользуя периодичность, построить график функции
на всей области определения.
Свойства:
3°. Функция нечётная, т.к.
т.е. график симметричен относительно начала координат,
Функция периодическая с
т.е.
Интервалы монотонности:
Функция возрастает при
. Промежутки знакопостоянства:
при
при
Наибольшего и наименьшего значения функция не имеет,
Асимптоты:
вертикальная асимптота,
Точки пересечения с осями координат:
с осью
с осью
График функции
График функции называется котангенсоида.
Свойства:
3°. Функция нечётная, т.к.
т.е. график симметричен относительно начала координат,
Функция периодическая с
т.е.
Интервалы монотонности:
Функция убывает при
. Промежутки знакопостоянства:
при
при
Наибольшего и наименьшего значения функция не имеет,
Асимптоты:
вертикальная асимптота,
Точки пересечения с осями координат:
с осью
с осью
нет.
Рекомендуемая литература
Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов – М.: Дрофа, 2015.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер. – СПб.: Петроглиф, 2017.