Свойства непрерывных функций - основа метода интервалов

Свойства непрерывных функций

Пусть функция y=f(x) непрерывна на всей своей области определения

у

у

у

х 0

х

х 0

х

х

Если непрерывная функция имеет нули , то она сохраняет свой знак на каждом промежутке между нулями функции

Если непрерывная функция не имеет нулей , то она имеет постоянный знак на всей своей области определения

! Непрерывная функция при переходе через свои нули может менять свой знак, а может и не менять.

Свойства непрерывных функций

Пусть функция y=f(x) непрерывная

у

y=

y=

у

у

y= 2x+4

0

х

-2

0

2

0

х

х

Непрерывная функция при переходе через нули нечётной кратности МЕНЯЕТ СВОЙ ЗНАК

Непрерывная функция при переходе через нули чётной кратности НЕ МЕНЯЕТ СВОЙ ЗНАК

Свойство непрерывных функций

Пусть функция y=f(x) непрерывная

Схема промежутков

знакопостоянства функции

у

-

-

-1

9

+

+

+

+

х

-5

5

9

-1

4

5

4

0

х

-1

-5

9

Пусть функция y=f(x) не является непрерывной

у

у

у

b

а

а

a

х

b

х

а

х

Если функция непрерывна на некотором промежутке и не имеет на нём нули,

то она сохраняет свой знак на каждом промежутке непрерывности .

Функция, не являющаяся непрерывной,

при переходе через точки разрыва и свои нули функции,

меняет свои знаки, согласно кратности точек разрыва и нулей функции.

Схема промежутков

знакопостоянства функции

Y= f(x)

у

-

+

-

+

+

8

0

-3

+

+

х

4

0

-7

5

-3

8

1)

2)

5

0

-7

х

8

-3

4

3)

Алгоритм «ОБОБЩЁННЫЙ МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ»

1. Привести неравенство к виду f(x) V 0;

2. Рассмотреть функцию y = f(x);

3. Найти область определения функции (точки разрыва функции);

4. Определить кратность точек разрыва, если они есть;

5. Найти нули функции;

6. Определить кратность нулей функции, если они есть;

7. Нанести на числовую прямую область определения функции (точки разрыва) и нули функции с учётом их кратности;

8. Взять контрольную точку (любое значение х из области определения) и определить знак функции в ней, подставив выбранное значение х в функцию.

9. Расставить знаки функции на каждом промежутке с учётом кратности нулей функции и точек разрыва.

10. Выбрать промежутки, удовлетворяющие неравенству. Записать ответ.