Свойства параллельных прямых

Свойства параллельных прямых

Теорема

условие (что дано) заключение (что нужно доказать)

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы.

Теорема 1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Дано:

1. a‖b, ∠1 и ∠2 – накрест лежащие

CD – секущая

Доказать: ∠1 = ∠2

Док-во:

1. Допустим, ∠1 ∠2.

2. Проведем прямую ЕС так, что ∠ ECD = ∠ 2.

3. Рассмотрим прямые ЕС и b и секущую CD

∠ ECD и ∠ 2 – накрест лежащие

∠ ECD = ∠ 2 ⟹ ЕС ‖ b

1. Через точку С проходит две прямые, параллельные прямой b ( ЕС и а), что противоречит аксиоме параллельных прямых.

2. Значит, предположение, что ∠1 ∠2 неверно ⟹ ∠1 = ∠2 .

Следствие из Т.1. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой прямой.

а a‖b

b c⏊ a ⟹ c ⏊b

c

Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано:

a‖b, ∠1 и ∠2 – соответственные

с – секущая

Доказать: ∠1 = ∠2

Док-во:

1. Т.к. a‖b, то по Т.1. ∠2 = ∠3 (как накрест лежащие)

2. ∠ 1 = ∠ 3 (как вертикальные) ⟹∠1 = ∠2

Теорема 3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

Дано:

a‖b, ∠1 и ∠2 – односторонние

с – секущая

Доказать: ∠1 + ∠2 = 180⁰

Док-во:

1. Так как а || b, то по Т.2. ∠ 1 = ∠ 3 (как соотв.).

2. ∠ 2 + ∠ 3 =180° (как смежные). ⟹ ∠ 1 + ∠ 2 = 180°.