Свойства степени с действительным показателем

Тема урока: Свойства степени с действительным показателем

План

1.Повторение понятия степени с действительным показателем

2.Свойства степени с действительным показателем

3. Д/З Изучить §5, выписать свойства степени, выполнить №№57-59 с.31 (Алгебра и начала математического анализа 10-11. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и др.)

Опредление степени с действительным показателем.

При любом действительном х   и любом положительном а  ) степень   является положительным числом:

Но если основание степени а=0, то степень  определяют только при  и считают, что 

При   выражение   не имеет смысла.

Для степени с действительным показателем сохраняются все известные свойства степени с рациональным показателем, из которых следует теорема.

Теорема. Пусть   и  . Тогда  .

Доказательство:

По условию  . Поэтому, по свойству 1 имеем
а^(х₂) . Умножив обе части этого равенства на положительное число  , получим  . По свойству умножения степеней получаем:  , т.е.  .

Из данной теоремы вытекают три следствия:

1. Пусть   Тогда 

2. Пусть   и 

.

1. Пусть  и 

.

Эти теорема и следствия помогают при решении уравнений и неравенств, сравнении чисел.

Свойства степени с действительным показателем

Если в основании степени лежит положительное число, а в качестве показателя используются действительные числа, то можно пользоваться следующими формулами:

1. Так как в основании степени используется положительное число, то, несмотря на знак показателя степени, результат всегда будет числом положительным.

2. Если показатель степени является отрицательным числом, то его можно заменить на равный по модулю положительный показатель, а основание дроби перевернуть.

3. При умножении чисел с одинаковыми основаниями, действительные показатели степени следует сложить.

4. При делении чисел с одинаковыми основаниями, действительные показатели степени вычитаются:

5. При возведении числа в степени в дополнительную степень показатели умножаются.

6. При возведении произведения некоторых чисел в действительную степень можно возвести каждое число по отдельности в данную степень и только после этого перемножить.

7. При возведении частного некоторых чисел в действительную степень можно возвести каждое число по отдельности в данную дробь и только после этого разделить.