Свойство алгебраических операций

ПРОВЕРИЛ

_______/______/

«__»______20__г.

Сообщение по теме: «Свойство алгебраических операций»

Выполнила:

Студентка Ш-21 группы

Никипорец Олеся

Преподаватель:

Великановская Л. А.

Ейск, 2019г.

Известно, что сложение и умножение чисел обладает свойствами коммутативности, ассоциативности, умножение дистрибутивно относительно сложения. Аналогичными свойствами обладают объединение и пересечение множеств.

Рассмотрим свойства алгебраических операций, определив их в общем виде. При этом условимся алгебраические операции обозначать символами: * (читается - «звездочка») и о (читается - «кружок»).

Важнейшим свойством алгебраических операций является свойство ассоциативности.

Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множестве X, называется ассоциативной, если для любых элементов х, у и z из множества X выполняется равенство (x*y)*z=x*(y*z).

Если операция * обладает свойством ассоциативности, то можно опускать скобки и писать x*у*z вместо (х*у)*z и х*(у*z).

Например, ассоциативно сложение натуральных чисел: для любых натуральных чисел х, у и z выполняется равенство (х + у) + z = x + (у + z). Ассоциативно сложение рациональных и действительных чисел. Поэтому сумму нескольких чисел можно записывать без скобок.

Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством ассоциативности. Так, не является ассоциативным вычитание целых чисел: существуют целые числа х, у и z, для которых (х - у) - z ≠ х - (у - z). Например, (12 - 7) - 3 ≠ 12 - (7 - 3).

Ассоциативность алгебраической операции * позволяет записывать без скобок все выражения, содержащие лишь эту операцию, но переставлять входящие в это выражение элементы, вообще говоря, нельзя. Перестановка элементов возможна лишь в случае, когда операция * коммутативна.

Определение. Алгебраическая операция * на множестве X называется коммутативной, если для любых двух элементов х и у из множества X выполняется равенство х*у = у*х.

Примерами коммутативных операций могут служить сложение и умножение натуральных чисел, поскольку для любых натуральных чисел х и у выполняются равенства х + у = у + х, х · у = у · х. Эти равенства справедливы не только для натуральных чисел, но и для любых действительных чисел, следовательно, на множестве действительных чисел сложение и умножение тоже коммутативны.

Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством коммутативности. Так, не является коммутативным вычитание целых чисел: существуют целые числа х и у, для которых х - у ≠ у - х. Например:12-7≠7-12.

Если на множестве X заданы две алгебраические операции * и о, то они могут быть связаны друг с другом свойством дистрибутивности.

Определение. Алгебраическая операция о называется дистрибутивной относительно алгебраической операции *, если для любых элементов х, у и z из множества X выполняются равенства:

(х*y)оz = (x o z)*(y o z) и 2) z o (х*у) = (z o х)*(z о у).

Если выполняется только равенство

1) то операцию о называют дистрибутивной справа относительно операции *; если же выполняется только равенство

2) то операцию о называют дистрибутивной слева относительно операции *.

Выясним, в каких случаях различают дистрибутивность справа и слева.

Рассмотрим на множестве натуральных чисел две операции: возведение в степень (она соответствует операции о в равенствах 1 и 2) и умножение (она соответствует операции * в равенствах 1 и 2). Тогда, согласно равенству 1, имеем: (х·у)z - = хz-уz. Как известно из алгебры, полученное равенство справедливо для любых натуральных чисел х, у и z, т.е. возведение в степень дистрибутивно справа относительно умножения. В соответствии с равенством 2, получаем х уz = ху-хz. Но это равенство выполняется не всегда, т.е. операция возведения в степень не является дистрибутивной слева относительно умножения. Такая ситуация является следствием того, что возведение в степень - операция, не обладающая свойством коммутативности.

Если взять сложение и умножение натуральных чисел, то, как известно, умножение дистрибутивно относительно сложения: для любых натуральных чисел х, у и z выполняются равенства (x+y)·z + x·z + y·z и z·(x+y) = z·x + z·y

А так как умножение коммутативно, то не имеет значения, где писать множитель z - справа от суммы х + у или слева от нее. Поэтому в школьном курсе математики не различают дистрибутивность слева и справа, а говорят просто о дистрибутивности умножения относительно сложения.

Выясним роль свойства дистрибутивности в преобразованиях выражений. Если операция о дистрибутивна относительно операции * и обе операции ассоциативны, то в любом выражении, содержащем лишь эти две операции, можно раскрыть все скобки, перед которыми (или за которыми) стоит знак °. Проиллюстрируем сказанное на примере преобразования выражения (x + у)·(z + р). Так как умножение дистрибутивно относительно сложения, то

(x + у)·(z + р)= x·(z + р) + у·(z + р)= (x·z + x·р) + (у·z + y·р).

А поскольку сложение ассоциативно, то последнюю запись можно записать без скобок. Следовательно, (x + у)·(z + р)= )=x·z + x·р +у·z + y·р.

Часто в множестве, на котором рассматривается алгебраическая операция, выделяются особые элементы, называемые в алгебре нейтральными и поглощающими.

Определение. Элемент е из множества X называется нейтральным относительно алгебраической операции *, если для любого элемента х из множества X выполняются равенства х*е=е*х =х.

Доказано, что если нейтральный элемент относительно алгебраической операции существует, то он единственный.

Определение. Элемент р из множества X называется поглощающим относительно алгебраической операции *, если для любого элемента х из множества X выполняются равенства х*р=р*х=р.

Если поглощающий элемент относительно алгебраической операции существует, то он единственный.

Так, в множестве Zо целых неотрицательных чисел нуль является нейтральным элементом относительно сложения, поскольку для любого х из множества Zо выполняются равенства х + 0 = 0 + х = х. Это же число нуль является поглощающим элементом относительно умножения: для любого x из множества Zо верны равенства: х·0 = 0·х = 0.

Как известно, вычитание чисел является операцией, обратной сложению. Но чтобы дать определение обратной операции в общем виде, надоопределить понятие сократимой операции.

Определение. Алгебраическая операция * заданная на множестве X, называется сократимой, если из условия, а*х =а*у и х*а =у*а следует, х =у.

Например, сократимо сложение натуральных чисел: из равенств, а+х=а+у и х+а=у+а следует, что х= у.

Определение. Пусть * - сократимая и коммутативная алгебраическая операция, заданная на множестве X. Тогда операция о называется обратной для операции *, если х о у = z тогда и только тогда, когда у * z = х.