Технологическая карта урока на тему: "Деление"

Теорема (общий признак делимости на составное число): 

Для того, чтобы натуральное число х делилось на составное число n = bc, где числа b  и c таковы, что D(b.c) = 1, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на  b и на c.

Доказательство: Пусть число х делится на n. Тогда, из того, что х делится на n и n делится  на b (по свойству транзитивности отношения делимости) следует, что х делится на  b. Из того, что х делится на n и n делится  на с (по свойству транзитивности отношения делимости) следует, что х делится на с. Таким образом, мы показали, что для того, чтобы натуральное число х делилось на составное число n = bc, необходимо, чтобы оно делилось на b и на c.

Докажем достаточность условия. Так как х делится на b и на c, то х – общее кратное чисел b и c. Но любое общее кратное делится на их наименьшее общее кратно. Значит, х делится на К(b, c). Поскольку D(b.c) = 1, то  К(b, c) = х. Следовательно, х делится на  n.

Признак делимости на 6:

Для того, чтобы число х делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3.

Признак делимости на 12:

Для того, чтобы число х делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 4.

Признак делимости на 15:

Для того, чтобы число х делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 5.

Доказательство этих признаков вытекает из доказательств общего признака делимости на составное число.

Заметим, что выше данную теорему можно применять многократно. Рассмотрим, например, признак делимости на 60. Для того, чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4 и на 15. Но в свою очередь, число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5. Поэтому признак делимости на 60 может быть сформулирован иначе: для того, чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4, на 3, на 5.

Признаки делимости суммы на произведение и число

Если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Значит, если a делится на некоторое число с, то и ab также делится на это число с.

Пример:

рассмотрим сумму чисел 12 и 21, т. е. (12+21).

В этой сумме каждое из слагаемых делится на 3. Проверяя делимость суммы на 3, получим, что сумма 33 тоже делится на 3.

Итак, признаки делимости суммы и разности чисел.

Свойство 1

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число, т. е.,

если a делится на b и c делится на b, то (a+c) делится на b.

Свойство 2

Если одно слагаемое делится на некоторое число, а другое слагаемое не делится на это число, то и вся сумма не делится на это число, т. е.,

если a делится на b, а c не делится на b, то (a+c) не делится на b.

Пример:

12 делится на 3, а 22 не делится на 3, следовательно, (12+22) не делится на 3. 

Свойство 3

Если одно слагаемое делится на некоторое число и сумма делится на это же число, то другое слагаемое тоже делится на это число, т. е.,

если a делится на b и (a+c) делится на b, то c делится на b.

Пример:

12 делится на 3, и (12+21) делится на 3, следовательно, 21 делится на 3.

Свойство 4

Если одно число делится на некоторое другое число, которое делится на третье число, то первое число делится на третье число, т. е.,

если a делится на c и c делится на b, то a делится на b.

Пример:

48 делится на 12, и 12 делится на 3, следовательно, 48 делится на 3.

Свойство 5

Если и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на некоторое число, то и разность делится на это число.

Пример:

разность (35−20) делится на 5, т. к. 35 делится на 5 и 20 делится на 5.

Признаки делимости суммы на

произведение и число

студентки Ш-31 группы

Самойленко Светланы

Преподаватель: Великановская Л. А.

ЕЙСК, 2019 г.

Признаки делимости на составные числа

студентки Ш-31 группы

Самойленко Светланы

Преподаватель: Великановская Л. А.

ЕЙСК, 2019 г.