Текстовые задачи, использующие уравнения в целых числах

Текстовые задачи, использующие уравнения в целых числах

Пример 3. Ваня и Петя ходили за грибами. Ваня нашёл 35 грибов, среди которых было несколько подосиновиков, а Петя грибов не нашёл. Ваня взял себе все белые грибы, а остальные отдал Пете. Петя, обнаружив среди них червивый подберёзовик, выкинул его. Сколько было найдено подосиновиков, если доля белых в найденных Ваней грибах оказалась равна доле подосиновиков в принесенных Петей домой грибах?

Решение. Обозначим число найденных Ваней подосиновиков за x, а белых грибов за y. Cогласно условиям задачи имеем следующее уравнение:

y35=x34-y,  x,y∈N.

x=y(34-y)35.

Так как 35 = 5 ∙7, а 5 и 7 – взаимно простые числа, то одно из чисел y и 34-y должно делиться на 5, а другое – на 7. Перебирая все возможные варианты, получаем, что либо у = 20 и 34 – у = 14, либо у = 14 и 34 – у = 20.

Тогда x=20∙1435=4∙2=8.  Таким образом, Ваня нашёл 8 подосиновиков.

Ответ: 8 подосиновиков.

Пример 4. Любая из трёх барж разной грузоподъёмности может при полной загрузке в каждом рейсе перевезти некоторый груз, причём баржа наименьшей грузоподъёмности – за 15 рейсов. Две другие баржи перевозят весь груз за 3 совместных рейса. Сколько рейсов необходимо барже наибольшей грузоподъемности для перевозки всего груза, если недогрузка барж запрещается?

Решение. Пусть х и у – количество рейсов, за которое перевозят весь груз баржи баржи средней и наибольшей грузоподъёмности (x, y ∈N;15>x>y), а  объём (или масса) всего груза равен единице. Тогда  1x и 1y- грузоподъёмности этих двух барж.

По условию задачи баржи средней и наибольшей грузоподъёмности перевозят весь груз за 3 рейса. Тогда имеем уравнение:

31x+1y=1

1x+1y=13

1y=13-1x

1y=x-33x

y=3xx-3=3+9x-3.

Из последнего равенства следует, что число x-3 должно быть делителем числа 9. Если  x-3=1, то х = 4, у = 12;  если x-3=3, то х = 6, у = 6;   если x-3=9, то х = 12, у = 4. Значит, решением уравнения служат пары (х, у) = {(12, 4); (6, 6); (4, 12)}, а решением задачи – пара х = 12, у = 4. Таким образом, баржа наибольшей грузоподъёмности сможет перевезти весь груз за 4 рейса.

Ответ: 4 рейса.

Пример 5. Тринадцать пиратов делят клад золотых монет на палубе шхуны. При попытке разделить клад поровну оказалось, что остаётся 8 монет. Налетевшим штормом двух пиратов смыло за борт. Когда оставшиеся пираты снова стали поровну делить клад, то лишними оказались 3 золотые монеты. Затем в перестрелке погибли ещё три пирата. Когда уцелевшие пираты опять стали делить клад, то на этот раз оказалось, что остаётся 5 монет. Из какого количества монет состоял клад, если для его переноски достаточно сундука, вмещающего 500 золотых монет?

Решение. Пусть S ≤ 500 – количество монет, из которых состоит клад, k, m и  n – число монет, которые достались бы каждому пирату при первом, втором и третьем делении соответственно. Согласно условиям задачи имеем следующую систему уравнений:

S=13k+8,S=11m+3,S=8n+5.  

Решим эту систему в целых числах. Рассмотрим сначала уравнение:

11m+3=8n+5

11m-8n=2

Найдем частное решение уравнения, им будет, например, m₀ = 6, n₀ = 8.  Вычитая из равенства 11m-8n=2  равенство 11·6 – 8·8 = 2, мы получим однородное уравнение: 11(m − 6) = 8(n − 8). Общее решение этого однородного уравнения в целых числах имеет вид: m − 6 = 8l, n − 8 = 11l, где l Î Z. Соответственно, общее решение исходного уравнения в целых числах имеет вид: m = 8l + 6, n =  11l + 8, где l Î Z.

Следовательно, S=11m+3=118l+6+3=88l+66+3=88l+69. Рассмотрим теперь уравнение 13k+8=88l+69  или  13k=88l+61.  Применим к этому уравнению алгоритм последовательного уменьшения модулей коэффициентов при неизвестных. Имеем:

1. 13k=88l+61=13∙6+10l+61=78l+10l+61,     13k-78l=10l+61.

Левая часть последнего уравнения делится на 13. Следовательно, и правая часть должна делиться на 13, то есть 10l+61=13p,   p∈ Z.

2. 10l=13p-61=10p+3p-61,    10l-10p=3p-61,  3p-61=10q,  q ∈Z.

3. 3p=10q+61=3∙3+1q+61=9q+q+61,  3p-9q=q+61,  q+61=3r,

r∈Z,   q=3r-61.

Вернёмся теперь к исходным переменным:

1. 3p=10q+61=103r-61+61=30r-610+61=30r-549,  p=10r-183.

2. 10l=13p-61=1310r-183-61=130r-2379-61=130r-2440, 

 l=13r-244.

3. S=88l+69=8813r-244+69=1144r-21472+69=1144r-21403

1144r-21403<500

1144r<500+21403

1144r<21903

r<219031144

r<191671144

При r=19  имеем S=1144∙19-21403=21736-21403=333,   при  r=18  имеем S=1144∙18-21403=20592-21403=-811- не является натуральным числом. Значит, в кладе было 333 монеты.

Ответ:  333 монеты.