Текстовые задачи, использующие уравнения в целых числах

Текстовые задачи, использующие уравнения в целых числах

Пример 1. Длина дороги, соединяющей пункты А и В, равна 2 км. По этой дороге курсируют два автобуса. Достигнув пункта А или пункта В, каждый из автобусов немедленно разворачивается и следует без остановок к другому пункту. Первый автобус движется со скоростью 51 км/час, а второй – 42 км/час. Сколько раз за 8 часов движения автобусы встретятся в пункте В, если известно, что первый стартует из пункта А, а второй – из пункта В?

Решение. Первый автобус проезжает путь между А и В за 2 :51=251часа, второй – за 1 :21=121часа. Если оба автобуса встретились в пункте В, то за одинаковое время первый проехал этот путь нечетное число раз, второй – четное число раз. Имеем:

251∙2n+1=121∙2k≤8;  n,k∈N.

14n+7=17k,k≤84.            

7(2n+1)=17k,k≤84.               

Из последнего уравнения видно, то k нечетно и кратно 7. Таких чисел в интервале от 1 до 84 шесть, это 7, 21, 35, 49, 63 и 77. Каждому такому k соответствует целое значение n. Таким образом, за 8 часов движения автобусы встретятся в пункте В шесть раз.

Ответ: 6 раз.

Пример 2. Мастер делает за 1 час целое число деталей, большее 5, а ученик – на 2 детали меньше. Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а два ученика вместе – на 1 час быстрее. Из какого количества деталей состоит заказ?

Решение. Пусть x > 5 деталей делает мастер за 1 час, тогда ученик за один час делает x – 2 детали. Пусть также мастер выполняет заказ за t часов, где t – целое число. Согласно условиям задачи имеем уравнение:

                                                   xt = 2(x – 2)(t – 1).

xt=2xt-2x-4t+4.

xt-4t=2x-4.

(x-4)t=2x-4.

t=2x-4x-4=2+4x-4.

Дробь 4x-4 должна быть целым числом. При x > 5 это возможно, когда x=6 или x=8. 

Если x=6, то t=2+46-4=2+2=4 часов, 6 ∙4=24 детали в заказе.

Если x=8, то t=2+48-4=2+1=3 часа, 8 ∙3=24 детали в заказе.

Ответ: из 24 деталей