"Тела вращения"

Тела

вращения

Геометрия. Тела вращения.

Цилиндр

Круговой цилиндр – тело, которое состоит из двух равных кругов, лежащих в параллельных плоскостях, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Основания кругового цилиндра – круги.

Образующие – отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов.

Геометрия. Тела вращения.

Цилиндр

Прямой круговой цилиндр (или просто цилиндр) – круговой цилиндр, образующие которого перпендикулярны основаниям.

Радиус цилиндра – радиус его оснований.

Высота цилиндра – расстояние между плоскостями оснований.

Ось цилиндра – прямая, проходящая через центры оснований.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг его стороны.

Геометрия. Тела вращения.

Цилиндром называется тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг оси, проходящей через одну из его сторон.

Основные свойства

• Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях.
• Образующие цилиндра параллельны и равны.

O 1

• Боковая поверхность цилиндра составлена из образующих.
• Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности.

O

• Развертка цилиндра представляет собой прямоугольник и два круга

O

5

Цилиндр

Площадь

Sбп = 2Пrh.

Sпп = Sбп + 2Sкр = 2Пrh + 2Пr = 2Пr(h + r).

2

Sпп = 2Пr(h + r).

Геометрия. Тела вращения.

Объём цилиндра

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

5

Конус

Круговой конус – тело, состоящее из круга – основания конуса , точки, не лежащей в плоскости основания, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания.

Образующие конуса – отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания.

Геометрия. Тела вращения.

Конус

Прямой круговой конус (или просто конус ) – круговой конус, у которого прямая, соединяющая его вершину с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

вершина

ось

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета.

Высота конуса – перпендикуляр,

опущенный из его вершины

на плоскость основания.

Ось прямого кругового конуса – прямая, содержащая его высоту.

Геометрия. Тела вращения.

Основные определения

Основанием конуса называется круг, полученный в результате вращения катета, перпендикулярного стороне, принадлежащей оси вращения.

Вершиной конуса называется точка, не лежащая в плоскости этого круга.

А

Радиусом конуса называется радиус его основания.

Н

Образующими конуса называются отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания.

О

R

В

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.

• Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту.

5

»

5

Основные свойства

• Конус называется прямым , если прямая соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

А

L

Н

• Образующие прямого конуса равны.

Боковая поверхность составлена из образующих.

О

R

В

А

• Полная поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

L

Развертка конуса представляет собой круговой сектор, радиусом которого является образующая, и круг.

О

R

11

Конус

Площадь

2

ПL a

Sбп = ;

0

360

ПL

a

AB = 2Пr = ;

180

0

360 r

0

0

360 Пr

a = = ;

ПL

L

2

360 r

0

ПL

.

Sбп = ;

360

0

L

Sбп = ПrL;

Sпп = Sб + Sкр = Пr (L + r).

Геометрия. Тела вращения.

Объём конуса

Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

11

Сфера

Сфера – поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии (r) от данной точки(О).

Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг диаметра.

Центр сферы – данная точка О.

Хорда сферы – отрезок, соединяющий две точки сферы.

Диаметр сферы – хорда, проходящая через центр сферы.

Шар – тело, ограниченное сферой.

Геометрия. Тела вращения.

Сфера и шар

• Множество всех точек пространства, одинаково удаленных на расстояние R от данной точки O , называется сферой .
• Множество всех точек пространства, удаленных от данной точки O на расстояние, не большее R , называется шаром .

Элементы сферы и шара

• Точка O называется центром сферы (шара) .
• Отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой, называется радиусом сферы (шара) .
• Отрезок, соединяющий любые две точки сферы, называется хордой сферы (шара) .
• Хорда, проходящая через центр сферы, называется ее диаметром .
• При пересечении сферы плоскостью наибольшая окружность образуется, если плоскость проходит через центр сферы. Линия пересечения называется большой окружностью сферы . Соответствующее сечение шара называется большим кругом шара .

O

Объем и площади поверхностей шара и сферы

• Площадь сферы радиуса R: S=4 πR²
• Площадь сферического сегмента радиуса R и высоты Н: S= 2πRH
• Объем шара: V= 4 / 3 πR 3
• Объем шарового сектора: V=⅔πR²H