Тема 5. Логарифмическая функция

Логарифм числа.

Основное логарифмическое тождество.

Десятичный логарифм числа. Натуральный логарифм числа.

Логарифмирование

Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня – действия, гораздо более трудоемкие, чем сложение и вычитание, особенно тогда, когда нужно производить действия с многозначными числами.

Логарифмы позволяют свести умножение и деление чисел к сложению и вычитанию, а эти действия менее трудоемкие. Возведение в степень, извлечение корня, а также ряд других вычислений (например, тригонометрических) также значительно упрощаются.

История логарифмов

Потребность в действиях с многозначными числами впервые возникла в 16 веке в связи с развитием дальнего мореплавания, вызвавшим усовершенствование астрономических наблюдений и вычислений. Благодаря астрономическим расчетам на рубеже 16 и 17 веков возникли логарифмические вычисления.

Первые таблицы логарифмов были составлены швейцарским математиком Бюрги в 1590 году. Немного позднее, независимо от Бюрги, таблицы логарифмов также составил шотландский ученый Непер. Непер брал за основание логарифма число, очень близкое к единице но меньшее, чем единица. Непер опубликовал свои таблицы в 1614, а Бюрги в 1620 году.

Позднее Непер и его сотрудник Бригг совместными усилиями перевели первые таблицы Непера на новое основание — 10. После смерти Непера Бриг продолжил и закончил эту работу. Таблицы десятичных логарифмов были впервые опубликованы в 1624 году. Именно поэтому они также носят название Бригговы.

Определение логарифма числа

Множеством значений положительной функции является множество всех положительных чисел. Значит, для любого положительного числа b найдется такое значение аргумента с, что .

Такое значение аргумента единственное, так как если и , то верно равенство . Это единственное значение аргумента с называют логарифмом числа b по основанию а и обозначают , т.е. .

Пусть . Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Логарифмирование

Нахождение логарифма числа называется логарифмированием.

Основное логарифмическое тождество

Обозначим . Тогда, согласно определению логарифма, верно равенство , т.е.

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.

Основное логарифмическое тождество позволяет данное число b представить в виде степени с любым положительным основанием.

Десятичный логарифм

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом.

Десятичный логарифм единицы равен нулю.

Десятичный логарифм чисел 10, 100, 1000 равен соответственно 1, 2, 3, и т.д. т.е. имеют столько положительных единиц сколько нулей стоит после единицы.

Десятичный логарифм чисел 0.1, 0.01, 0.001 равен соответственно -1, -2,-3, и т.д. т.е. имеют столько отрицательных единиц сколько нулей стоит перед единицей, считая и ноль целых.

Десятичный логарифм других чисел имеет дробную часть.

Натуральный логарифм

Логарифм, взятый по основанию e, носит название — натуральный логарифм.

Часто такие логарифмы называют Неперовыми, что неверно.

Натуральные логарифмы принято обозначать так: 

Соответственно знак ln есть сокращение слов logarithm natural — натуральный логарифм

Основные свойства логарифмов:

логарифм произведения, частного, степени,

формула перехода к логарифму с новым основанием

1)Логарифм единицы равен нулю.

2)Логарифм от числа больше единицы имеет положительное значение.

3)Логарифм от числа меньше единицы имеет отрицательное значение.

4)Логарифм от числа меньше нуля является комплексным числом.

Дробная часть логарифма носит название мантисса.

Целая часть логарифма носит название характеристика.

Логарифм произведения

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

При любых положительных значениях b и c верно равенство

Если числа u и v одного знака, то имеет место равенство

Логарифм частного

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

При любых положительных значениях b и c верно равенство

Логарифм степени

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

При любых значениях n и положительных значениях b верно равенство

При любом целом k и имеет место равенство

Формула перехода к логарифму с новым основанием

При любых значениях верно равенство

Имеют место тождества

Вычисление логарифмов

Пример 1. Найдите значение выражения log₂₇81+log₂₇9.

Решение. Воспользуемся свойствами логарифмов: 

.

Пример 2. Вычислить (3log₇2 – log₇24) : (log₇3 – log₇9).

Решение: Используя свойства логарифмов, получим

(3log₇2 – log₇24) : (log₇3 + log₇9)=(log₇2³ – log₇24) : log₇27 = log₇3^–1: log₇3³ =

= – log₇3 : 3log₇3 =-(1/3).

Ответ: -1/3.

Логарифмическая функция, ее свойства и график

Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь.

Пьер Симон Лаплас

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция вида , где а – постоянная, .

Свойства логарифмической функции

1. Область определения логарифмической функции – это естественная область определения выражения , т.е. множество .

2. Множество значений логарифмической функции является множество R всех действительных чисел.

3. Логарифмическая функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

4. График логарифмической функции пересекается с осью абсцисс в точке (1; 0) и не пересекается с осью ординат.

5. Значение аргумента х = 1 является нулем логарифмической функции.

6. При логарифмическая функция принимает отрицательные значения на интервале (0; 1) и принимает положительные значения на интервале .

При логарифмическая функция принимает отрицательные значения на интервале и принимает положительные значения на интервале (0; 1).

1. Логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной.

2. При логарифмическая функция возрастает на всей области определения.

При логарифмическая функция убывает на всей области определения.

1. Логарифмическая функция не является периодической.

График логарифмической функции

При график логарифмической функции имеет вид

При график логарифмической функции имеет вид

Графики логарифмической и показательной функций

Рассмотрим графики функций

Рассмотрим графики функций

Преобразование графиков логарифмической функций

Получить график логарифмической функции

П олучить график логарифмической функции

Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

Самые разнообразные выражения с иксами располагаются исключительно внутри логарифмов. 

Если, вдруг, в уравнении обнаружится икс где-нибудь снаружи, например - это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Кстати, попадаются уравнения, где внутри логарифмов только числа. Например: .

Логарифм с числами - это какое-то число. Достаточно знать свойства логарифмов, чтобы решить такое уравнение. Знания специальных правил, приёмов, приспособленных именно для решения логарифмических уравнений, здесь не требуется.

Как решать логарифмические уравнения?

Решение логарифмических уравнений - штука, вообще-то, не очень простая. Требуется приличный запас знаний по всяким смежным темам. Кроме того, существует в этих уравнениях особая фишка. И фишка это настолько важная, что её смело можно назвать главной проблемой в решении логарифмических уравнений. 

А сейчас - не волнуйтесь. Мы пойдём правильным путём, от простого к сложному. На конкретных примерах. Начнём с самых элементарных, простейших уравнений.

При решении логарифмических уравнений часто будет использоваться следующее утверждение:

Пусть . Если , то .

Простейшие логарифмические уравнения

Это уравнения вида:

1.   log₃х = log₃9

2.   log₇(2х-3) = log₇х

3.   log₇(50х-1) = 2

4.   log_х-18 = 1

И так далее.

Процесс решения любого логарифмического уравнения заключается в переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них. В простейших уравнениях этот переход осуществляется в один шаг.

И решаются такие логарифмические уравнения на удивление просто.

Пример 1. Решите уравнение .

Решим данное уравнение используя определение

, т.е. .

Ответ: 9.

Ликвидация логарифмов подобным образом - один из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция называется потенцирование. Есть, конечно, свои правила на такую ликвидацию, но их мало. Запоминаем:

Ликвидировать логарифмы безо всяких опасений можно, если у них:

а) одинаковые числовые основания

в) логарифмы слева-справа чистые (безо всяких коэффициентов) и находятся в гордом одиночестве.

Поясню последний пункт. В уравнении, скажем,

Убирать логарифмы нельзя. Двойка справа не позволяет.

Уравнение тоже нельзя потенцировать уравнение. В левой части нет одинокого логарифма. Их там два.

Убирать логарифмы можно, если уравнение выглядит так и только так:

В скобках, где многоточие, могут быть какие угодно выражения. Простые, суперсложные, всякие. Какие угодно. Важно то, что после ликвидации логарифмов у нас остаётся более простое уравнение.

Теперь легко можно решить пример 2:

Решение:

Ответ: 3.

Логарифмическая часть решения уравнения заключается только в ликвидации логарифмов... А дальше идёт решение оставшегося уравнения уже без них.

Пример 3. Решить уравнение

Видим, что слева стоит логарифм. Этот логарифм - какое-то число, в которое надо возвести основание (т.е. семь), чтобы получить выражение, стоящее под знаком логарифма.

Ответ: 1.

Решение логарифмических уравнений

При решении логарифмических уравнений часто используются следующие утверждения

Логарифмические неравенства

Неравенства, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим неравенством.

Простейшим логарифмическим неравенством является уравнение вида

Как решать логарифмические неравенства?

При решении логарифмических неравенств часто будет использоваться следующее утверждение:

Пусть . Если , то .

Пусть . Если , то .

Решение логарифмических неравенства

При решении логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения

1. Пусть , тогда

1. Пусть , тогда

1. Уравнение вида

Обобщение и систематизация знаний по разделу

«Показательная функция. Логарифмическая функция»

Показательная функция

Показательной функцией называется функция вида , где а – постоянная, .

Свойства показательной функции

1. Область определения – множество действительных чисел

2. Область значений – множество всех положительных действительных чисел

3. При а 1 функция возрастает на всей числовой прямой, при 0

4. При любых действительных значениях х и у справедливы равенства

Показательные уравнения

При решении показательных уравнений полезно будет следствие из теоремы о свойствах показательной функции:

Пусть . Если степени с основанием равны, то их показатели равны, т.е. если , то .

Показательные неравенства

Показательными неравенствами называются неравенства, содержащие переменную в показателе степени.

При решении показательных неравенств полезно будет следствие из теоремы о свойствах показательной функции:

Пусть . Если , то .

Пусть . Если , то .

Определение логарифма числа

Пусть . Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Нахождение логарифма числа называется логарифмированием.

Обозначим . Тогда, согласно определению логарифма, верно равенство , т.е.

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом.

Логарифм, взятый по основанию e, носит название — натуральный логарифм.

Свойства логарифмов

При любых положительных значениях b и c верно равенство

При любых положительных значениях b и c верно равенство

При любых значениях n и положительных значениях b верно равенство

При любых значениях верно равенство

Решение логарифмических уравнений

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

При решении логарифмических уравнений часто будет использоваться следующее утверждение:

Пусть . Если , то .

При решении логарифмических уравнений часто используются следующие утверждения

Решение логарифмических неравенств

При решении логарифмических неравенств часто будет использоваться следующее утверждение:

Пусть . Если , то .

Пусть . Если , то .

При решении логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения

1. Пусть , тогда

1. Пусть , тогда

1. Уравнение вида