Тема Скрещивающиеся прямые

Дата: Класс:10 урок 9-10

Тема Скрещивающиеся прямые

Цель урока: Ввести понятие скрещивающихся прямых. Доказать признак скрещивающихся прямых.

Задачи:

1. Познакомить учащихся с возможным расположением прямых в пространстве.

2. Способствовать развитию мыслительных процессов: обобщение, систематизация; развитие памяти, аналитического и логического мышления.

3. Способствовать формированию умения рационально использовать рабочее время, адекватной самооценки.

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

наглядности

3 мин.

I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Атом и молекулы».

Ученики с помощью атомов и молекул объединяются в группы.

10 мин.

II. Проверка пройденного материала. Проверяет домашнюю работу по методу «Аквариум».

Демонстрируют свои знания и умения.

15 мин.

III. Актуализация знаний. Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По электронному учебнику учитель объясняет новую тему.

Ученики демонстрируют свои знания. Электронный учебник

Определение.Прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признаки скрещивающихся прямых

Признак 1. Если одна прямая лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то такие прямые скрещиваются.

Признак 2. Если две прямые проходят через четыре точки, не лежащие на одной прямой, то такие прямые скрещиваются.

Свойства скрещивающихся прямых

Теорема 1. Через одну из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой, и притом только одну.

Теорема 2. Через две скрещивающиеся прямые можно провести пару параллельных плоскостей, и притом только одну.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Определение. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок прямой, перпендикулярной обеим этим прямым, концы которого лежат на данных скрещивающихся прямых.

Теорема 3. Для любых двух скрещивающихся прямых существует общий перпендикуляр, и притом только один. Длина общего перпендикуляра не превосходит длины любого отрезка, концы которого принадлежат этим прямым.

Определение. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми принимается равным длине их общего перпендикуляра.

Теорема 4. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из этих прямых до плоскости, проходящей через другую из них параллельно первой.

Теорема 5. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию между двумя параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.

Теорема 6. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию между ортогональными проекциями этих прямых на плоскость перпендикулярную одной из этих прямых.

Способы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми

Пусть прямые и скрещиваются. Требуется найти расстояние между этими прямыми.

Способ 1 (векторный). Пусть и – направляющие векторы прямых и . Пусть – общий перпендикуляр этих скрещивающихся прямых, причем , . Выберем точки , . Тогда

,

где и – коэффициенты, которые определяются из условий и . Тогда .

Способ 2 (координатный). Пусть и – параллельные плоскости, проходящие через прямые и . Тогда эти плоскости будут иметь уравнения

Следовательно, .

Способ 3 (конструктивный). На прямой выберем точку и опустим из нее перпендикуляр на прямую . Через прямую и точку проведем плоскость . Из точки прямой ( ) опустим перпендикуляр на плоскость . Найдем точку пересечения прямой c прямой . Затем через точку параллельно прямой проведем прямую, которая пересечет прямую в точке . Построим параллелограмм . Плоскость будет перпендикулярна прямой . Ортогональной проекцией прямой на плоскость будет точка , а прямой – прямая . Значит,

,

здесь – основание высоты прямоугольного треугольника (

 Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Третий случай расположения прямых в пространстве.

Прямые a и b не лежат в одной плоскости.

4. Признак скрещивающихся прямых.

5. Закрепление изученной теоремы. Чертеж демонстрируется через видеопроектор.

Задание для группы

1 группа

Построить плоскость α, проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b.

Построение:

1. Через точку К провести прямую а₁ || а.

2. Через точку К провести прямую b₁ || b.

3. Через пересекающиеся прямые проведем плоскость α. α – искомая плоскость.

2. Задача № 34 (устно, по готовому чертеже, демонстрация чертежа через видеопроектор). При решении требовать, чтобы учащиеся проговаривали формулировки признака.

2 группа

Доказать, что b и с скрещивающиеся.

Чтобы доказать, что b и с скрещивающиеся, что надо доказать? (Что одна из них лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость.)

Через какие прямые мы можем провести плоскость? (Через пересекающиеся, через параллельные.)

Если мы проведем плоскость α. через пересекающиеся прямые a и с, то прямая b будет параллельная плоскости α. То есть нужно провести плоскость α через параллельные прямые a и b.

(Оформление решения.)

3 группа . Найти расстояние между скрещивающимися диагоналями смежных граней куба с ребром .

ие граней правильного тетраэдра с ребром .

4группа . В правильной треугольной призме все ребра равны . Найти расстояние между стороной основания и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани призмы.

10 мин.

IV. Закрепление урока. Предлагает ученикам тест на соответствие. По методу «Мозговой штурм» закрепляет урок.

Самостоятельное работа для группы

Задача 1 Квадрат со стороной перегнули по прямой ( – середина , – середина ) так, что образовавшийся двугранный угол равен . Найти расстояние между прямыми и .

Задача 2 – перпендикуляр, опущенный на плоскость . Проекция наклонной перпендикулярна прямой . Найти расстояние между прямыми и , если и .

Ученики соотносят вопросы с правильными ответами. Ученики демонстрируют свои знания.

Тест на соответствие

5 мин.

V. Итог урока. Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Проводит рефлексию.

Оценивают работу своих одноклассников.

Дерево Блоба

стикеры

2 мин.

VI. Домашняя работа. Объясняет особенности выполнения домашней работы.

Записывают домашнюю работу в дневниках.